[petras]

Un niño está en el punto P en un jardín con forma de triángulo equilátero. Debe tocar dos cercas en este jardín y luego llegar a un punto Q. Suponiendo que el triángulo equilátero tiene vértices A, B y C, ese punto P es el baricentro del triángulo ABC y ese punto Q es el punto medio entre P y A, el La distancia más corta que el niño puede recorrer para salir de P, tocar la cerca BC, luego la cerca AC y llegar al punto Q tiene una longitud X.
¿Cuál es el valor de X?


PM+MD+DQ es el camino más corto pero hay otro camino PM +MN +NQ que sería más largo que el camino anterior. Ambos tienen secciones perpendiculares al lado AC. ¿Es necesario hacer los 2 tramos o hay alguna forma de identificar el camino más corto?

[Luis Fuentes]

Hola

 Dos cosas:

 1) ¿El enunciado obliga a ir primero a la arista \( BC \), luego a la \( AC \) y luego a \( Q \)? Porque si se va primero a la arista \( AB \), luego a la \( AC \) y luego a \( Q \) igualmente se tocan dos cercas del jardín y se llega a \( Q \) y el camino es más corto.

 2) En cualquiera de los dos casos si haces el simétrico del triángulo por cada lado que cruza el camino, basta tener en cuenta que el camino más corto entre dos puntos es la línea recta.

 Observa el dibujo. Si va a la arista  a la arista \( BC \), luego a la \( AC \) y luego a \( Q \) el camino más corto es el ROJO. Si va primero a la arista \( AB \), luego a la \( AC \) y luego a \( Q \), el más corto (y menor que el anterior) es el azul:



Saludos.

[petras]

Hola

 Dos cosas:

 1) ¿El enunciado obliga a ir primero a la arista \( BC \), luego a la \( AC \) y luego a \( Q \)? Porque si se va primero a la arista \( AB \), luego a la \( AC \) y luego a \( Q \) igualmente se tocan dos cercas del jardín y se llega a \( Q \) y el camino es más corto.

 2) En cualquiera de los dos casos si haces el simétrico del triángulo por cada lado que cruza el camino, basta tener en cuenta que el camino más corto entre dos puntos es la línea recta.

 Observa el dibujo. Si va a la arista  a la arista \( BC \), luego a la \( AC \) y luego a \( Q \) el camino más corto es el ROJO. Si va primero a la arista \( AB \), luego a la \( AC \) y luego a \( Q \), el más corto (y menor que el anterior) es el azul:



Saludos.

Agadecido

1) Sí, está escrito en la declaración que se debe seguir la orden.

P -> BC-AC-Q

 Observa el dibujo. ..."Si va primero a la arista AB, luego a la AC y luego a Q, el más corto (y menor que el anterior) es el azul.."
Este camino no está permitido, debemos partir de P a AC y luego BC para llegar a Q

Saludos

[petras]

Hola

 Dos cosas:

 1) ¿El enunciado obliga a ir primero a la arista \( BC \), luego a la \( AC \) y luego a \( Q \)? Porque si se va primero a la arista \( AB \), luego a la \( AC \) y luego a \( Q \) igualmente se tocan dos cercas del jardín y se llega a \( Q \) y el camino es más corto.

 2) En cualquiera de los dos casos si haces el simétrico del triángulo por cada lado que cruza el camino, basta tener en cuenta que el camino más corto entre dos puntos es la línea recta.

 Observa el dibujo. Si va a la arista  a la arista \( BC \), luego a la \( AC \) y luego a \( Q \) el camino más corto es el ROJO. Si va primero a la arista \( AB \), luego a la \( AC \) y luego a \( Q \), el más corto (y menor que el anterior) es el azul:



Saludos.

Sé que la distancia más corta entre 2 puntos es una línea recta. No entendí muy bien la cuestión de la simetría de dos triángulos.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Sé que la distancia más corta entre 2 puntos es una línea recta. No entendí muy bien la cuestión de la simetría de dos triángulos.
Saludos

Observa el dibujo:


El triángulo original es el verde. El triángulo azul es el simétrico del verde respecto a la arista \( BC \). El triángulo rojo es el simétrico del azul respecto de la arista \( AC \).

Entonces un camino que una un punto de \( BC \) con uno en \( CA \) se refleja en un tramo de igual longitud en el triángulo azul. Y uno que una un punto de \( CA \) con \( Q \), corresponde a un tramo análogo en el triángulo rojo.

Entonces hacer ese camino: \( P\to BC\to CA\to Q \) en el triángulo inicial, equivale a hacerlo desde el punto \( P \) del triángulo verde hasta el punto \( Q \) del triángulo rojo.

Y la forma más corta de hacerlo es la línea recta.

En el gráfico puedes mover los punto morados marcados con un rombo sobre las aristas \( BC \) y \( CA \) y ver como el camino que los une sobre el triángulo verde corresponde a una línea poligonal de igual longitud que une \( P \) del triángulo verde con el punto \( Q \) del triángulo rojo.

El camino mínimo está marcado con tres tramos uno de cada color, tanto en línea recta como en el triángulo original.

Saludos.

[petras]

Hola

Sé que la distancia más corta entre 2 puntos es una línea recta. No entendí muy bien la cuestión de la simetría de dos triángulos.
Saludos

Observa el dibujo:


El triángulo original es el verde. El triángulo azul es el simétrico del verde respecto a la arista \( BC \). El triángulo rojo es el simétrico del azul respecto de la arista \( AC \).

Entonces un camino que una un punto de \( BC \) con uno en \( CA \) se refleja en un tramo de igual longitud en el triángulo azul. Y uno que una un punto de \( CA \) con \( Q \), corresponde a un tramo análogo en el triángulo rojo.

Entonces hacer ese camino: \( P\to BC\to CA\to Q \) en el triángulo inicial, equivale a hacerlo desde el punto \( P \) del triángulo verde hasta el punto \( Q \) del triángulo rojo.

Y la forma más corta de hacerlo es la línea recta.

En el gráfico puedes mover los punto morados marcados con un rombo sobre las aristas \( BC \) y \( CA \) y ver como el camino que los une sobre el triángulo verde corresponde a una línea poligonal de igual longitud que une \( P \) del triángulo verde con el punto \( Q \) del triángulo rojo.

El camino mínimo está marcado con tres tramos uno de cada color, tanto en línea recta como en el triángulo original.

Saludos.

Gracias, interesante enfoque.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Por completar la idea, hallar la longitud \( d \) de ese camino mínimo es muy sencilla. El segemento que une el punto \( P \) del triángulo verde con el punto \( Q \) del triángulo rojo, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto "horizontal" mide \( \dfrac{3}{4}L \) y el "vertical" \( \dfrac{5}{6}H \) siendo \( L,H \) repectivamente el lado y altura del triángulo equilátero. Por tanto:

\( d^2=\dfrac{9}{16}L^2+\dfrac{25}{36}H^2=\dfrac{9}{16}L^2+\dfrac{25}{36}\cdot \dfrac{3}{4}L^2=\dfrac{13}{12}L^2 \)

y así:

\( d=\dfrac{\sqrt{39}}{6}L \)

Saludos.

[petras]

Hola

 Por completar la idea, hallar la longitud \( d \) de ese camino mínimo es muy sencilla. El segemento que une el punto \( P \) del triángulo verde con el punto \( Q \) del triángulo rojo, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto "horizontal" mide \( \dfrac{3}{4}L \) y el "vertical" \( \dfrac{5}{6}H \) siendo \( L,H \) repectivamente el lado y altura del triángulo equilátero. Por tanto:

\( d^2=\dfrac{9}{16}L^2+\dfrac{25}{36}H^2=\dfrac{9}{16}L^2+\dfrac{25}{36}\cdot \dfrac{3}{4}L^2=\dfrac{13}{12}L^2 \)

y así:

\( d=\dfrac{\sqrt{39}}{6}L \)

Saludos.

Agradecido