Hola.
Sea \( E \) un cuerpo de extension de \( F \) y \( \alpha \in{E} \). Entonces \( \alpha \) es trascendente sobre \( F \) si y solo si \( F(\alpha) \) es isomorfo a \( F(x) \), el cuerpo de fracciones de \( F[X] \).
La demostracion del teorema la comprendo, pero hay un paso, que ademas aparece en varios teoremas que no entiendo. La demostracion empieza por el homomorfismo evaluacion en \( \alpha \):
\( {\phi}_{\alpha}:F[X]\rightarrow{E} \).
Entonces \( \alpha \) es trascendente sobre \( F \) si y solo si \( {\phi}_{\alpha}(p(X))=p(\alpha)\neq 0 \) para todo polinomio no constante \( p(X)\in{F[X]} \), y esto es verdadero si y solo si \( ker_{{\phi}_{\alpha}}=0 \). Y dice: esto sucede cuando \( {\phi}_{\alpha} \) es \( 1-1 \).
Que yo sepa, eso sucede cuando \( {\phi}_{\alpha} \) es inyectivo. Esta dando por sentado entonces que el homomorfismo evaluacion es sobreyectivo?. Esto es asi para cualquier cuerpo y su extension?. Es siempre el homomorfismo evaluacion sobreyectivo?.
Besos.
