Date cuenta que siempre es posible encontrar un cambio de variable de la forma \( x=X+X_v \) (una traslación horizontal) que lleve el vértice de la parábola al eje Y (que es lo mismo que anular el término de primer grado):
\( ax^2+bx+c=a(X+X_v)^2+b(X+X_v)+c=aX^2+Y_v \)
ecuación de la que obtenemos facilmente:
\( 2aX_v+b=0 \) \( Y_v=c+aX_v^2+bX_v \)
ó bien:
\( X_v=-\displaystyle\frac{b}{2a} \) \( Y_v=c-\displaystyle\frac{b^2}{4a} \)
que son las coordenadas del vértice de la parábola original como ya nos adelantó yapa, aunque yo he preferido darte la justificación de dichos datos.
Saludos, Jabato.