[Luis Fuentes]

Hola

Teorema de Rolle superextendido.
Sea    \( f:A\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función cualquiera verificando que existen    \( u,v\in{A},\;\;\; (u<v) \)    donde    \( f \)    es continua en    \( [u,v]\subset{A} \),    derivable en    \( (u,v) \)    y tiene un extremo relativo en    \( [u,v] \).
Entonces existe    \( c\in{A} \)    tal que    \( f'(c)=0 \).

No se si querías poner otra cosa, pero eso Teorema es falso. Por ejemplo \( f:[0,1]\to \Bbb R \), \( f(x)=x \) cumple las hipótesis pero no la tesis.

Por otra parte la condición de existencia de extremo es relativo en  \( [u,v] \) es reiterativa; se sigue inmediatamente de la continuidad.

Saludos.

[Buscón]

Hola

Teorema de Rolle superextendido.
Sea    \( f:A\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función cualquiera verificando que existen    \( u,v\in{A},\;\;\; (u<v) \)    donde    \( f \)    es continua en    \( [u,v]\subset{A} \),    derivable en    \( (u,v) \)    y tiene un extremo relativo en    \( [u,v] \).
Entonces existe    \( c\in{A} \)    tal que    \( f'(c)=0 \).

No se si querías poner otra cosa, pero eso Teorema es falso. Por ejemplo \( f:[0,1]\to \Bbb R \), \( f(x)=x \) cumple las hipótesis pero no la tesis.

Por otra parte la condición de existencia de extremo es relativo en  \( [u,v] \) es reiterativa; se sigue inmediatamente de la continuidad.

Saludos.

\( f \)    no tiene extremos relativos en    \( [0,1] \). Tiene extremos absolutos en    \( [0,1] \).

 

[Luis Fuentes]

Hola

\( f \)    no tiene extremos relativos en    \( [0,1] \). Tiene extremos absolutos en    \( [0,1] \).

Todo extremo absoluto es también un extremo relativo. Un extremo relativo es un extremo en un entorno del punto; adicionalmente será o no absoluto si es extremo en todo el dominio de la función.

Saludos.

[Buscón]

Hola

\( f \)    no tiene extremos relativos en    \( [0,1] \). Tiene extremos absolutos en    \( [0,1] \).

Todo extremo absoluto es también un extremo relativo. Un extremo relativo es un extremo en un entorno del punto; adicionalmente será o no absoluto si es extremo en todo el dominio de la función.

Saludos.

¿Y así?

Teorema de Rolle superextendido.
Sea    \( f:A\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función cualquiera verificando que existen    \( u,v\in{\color{red}\mathcal{int}\color{black}(A)},\;\;\; (u<v) \)    donde    \( f \)    es continua en    \( [u,v]\subset{A} \),    derivable en    \( (u,v) \)    y tiene un extremo relativo en    \( [u,v] \).
Entonces existe    \( c\in{A} \)    tal que    \( f'(c)=0 \).

Demostración.
Basta aplicar el Teorema de Rolle al intervalo    \( [u,v] \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Y así?

Teorema de Rolle superextendido.
Sea    \( f:A\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función cualquiera verificando que existen    \( u,v\in{\color{red}\mathcal{int}\color{black}(A)},\;\;\; (u<v) \)    donde    \( f \)    es continua en    \( [u,v]\subset{A} \),    derivable en    \( (u,v) \)    y tiene un extremo relativo en    \( [u,v] \).
Entonces existe    \( c\in{A} \)    tal que    \( f'(c)=0 \).

No. ¿Qué pasa por ejemplo con \( f:A=\Bbb R\to \Bbb R \), \( f(x)=x \) y \( [u,v]=[0,1] \).

Demostración.
Basta aplicar el Teorema de Rolle al intervalo    \( [u,v] \).

No puedes aplicar Rolle en \( [u,v] \) sin tener garantizado que \( f(u)=f(v) \) cosa que no se sigue de las hipótesis que has puesto.

Saludos.

[Buscón]

Hola

¿Y así?

Teorema de Rolle superextendido.
Sea    \( f:A\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función cualquiera verificando que existen    \( u,v\in{\color{red}\mathcal{int}\color{black}(A)},\;\;\; (u<v) \)    donde    \( f \)    es continua en    \( [u,v]\subset{A} \),    derivable en    \( (u,v) \)    y tiene un extremo relativo en    \( \color{red}(\color{black}u,v\color{red}) \).
Entonces existe    \( c\in{A} \)    tal que    \( f'(c)=0 \).

No. ¿Qué pasa por ejemplo con \( f:A=\Bbb R\to \Bbb R \), \( f(x)=x \) y \( [u,v]=[0,1] \).

Que los extremos del intervalo pueden ser extremos absolutos y por lo tanto también relativos sin ser puntos interiores.

Demostración.
Basta aplicar el Teorema de Rolle al intervalo    \( [u,v] \).

No puedes aplicar Rolle en \( [u,v] \) sin tener garantizado que \( f(u)=f(v) \) cosa que no se sigue de las hipótesis que has puesto.

Saludos.

Si en    \( c\in{(u,v)} \)    hay un extremo relativo, en    \( [c-r,c+r]\subset{(u,v)} \),    \( r>0 \),    sí se puede.

CORREGIDO.

[Luis Fuentes]

Hola

Si en    \( c\in{(u,v)} \)    hay un extremo relativo, en    \( [c-r,c+r]\subset{(u,v)} \),    \( r>0 \),    sí se puede.

CORREGIDO.

Es cierto que si en un punto \( c \) del interior del domino hay un extremo relativo, puede encontrarse un intervalo \( [p,q] \) cerrado que lo contenga cumpliendo \( f(p)=f(q) \) y por tanto donde aplicar directamente el Teorema de Rolle. Pero tendrías que probarlo rigurosamente. En cualquier caso no sería la forma lógica de probar tu resultado; bastaría usar la propiedad conocida de que si una función tiene un extremo relativo en un punto del interior donde es diferenciable entonces la derivada se anula.

Saludos.

[Buscón]

Hola

Si en    \( c\in{(u,v)} \)    hay un extremo relativo, en    \( [c-r,c+r]\subset{(u,v)} \),    \( r>0 \),    sí se puede.

CORREGIDO.

Es cierto que si en un punto \( c \) del interior del domino hay un extremo relativo, puede encontrarse un intervalo \( [p,q] \) cerrado que lo contenga cumpliendo \( f(p)=f(q) \) y por tanto donde aplicar directamente el Teorema de Rolle. Pero tendrías que probarlo rigurosamente.

El teorema del valor intermedio garantiza que existe    \( z_0\in{(c-r,c+r)\subset{(u,v)}} \)    tal que    \( f(z_0)=\max\{f(c-r),f(c+r)\} \)     (resp.    \( f(z_0)=\min\{f(c-r),f(c+r)\} \))     si    \( f(c) \)    es un máximo relativo (resp. mínimo relativo), de    \( f \)    en    \( (u,v) \),     

En cualquier caso no sería la forma lógica de probar tu resultado; bastaría usar la propiedad conocida de que si una función tiene un extremo relativo en un punto del interior donde es diferenciable entonces la derivada se anula.

Saludos.

Ya, pero tampoco es lógico el teorema de Rolle superextendido. Buscar una estrategia para poder aplicar el Teorema de Rolle a una función que en principio no verifica las hipótesis del teorema no modifica para nada el Teorema de Rolle.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

El teorema del valor intermedio garantiza que existe    \( z_0\in{(c-r,c+r)\subset{(u,v)}} \)    tal que    \( f(z_0)=\max\{f(c-r),f(c+r)\} \)     (resp.    \( f(z_0)=\min\{f(c-r),f(c+r)\} \))     si    \( f(c) \)    es un máximo relativo (resp. mínimo relativo), de    \( f \)    en    \( (u,v) \),     

Bueno... más o menos.

Ya, pero tampoco es lógico el teorema de Rolle superextendido. Buscar una estrategia para poder aplicar el Teorema de Rolle a una función que en principio no verifica las hipótesis del teorema no modifica para nada el Teorema de Rolle.

No se que decirte. El que te has metido con eso del "Teorema de Rolle superxtendido" eres tú. No se porqué. Tampoco sé que significado das "a no ser lógico" ahí (no ser interesante, no ser razonable, ser una falacia lógica). Tampoco sé a que viene esa reflexión en rojo.

En resumen: no sé a que vienen tus últimos mensajes.

Saludos.

[Buscón]

Ya, pero tampoco es lógico el teorema de Rolle superextendido. Buscar una estrategia para poder aplicar el Teorema de Rolle a una función que en principio no verifica las hipótesis del teorema no modifica para nada el Teorema de Rolle.

No se que decirte. El que te has metido con eso del "Teorema de Rolle superxtendido" eres tú. No se porqué. Tampoco sé que significado das "a no ser lógico" ahí (no ser interesante, no ser razonable, ser una falacia lógica). Tampoco sé a que viene esa reflexión en rojo.

En resumen: no sé a que vienen tus últimos mensajes.

Son derivaciones a las que se ha llegado debidas a la cuestión original. ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?

¿Sigues pensando que el hecho de que así se abarcan más supuestos no tiene nada que ver?