[Luis Fuentes]

Hola

Si, me he precipitado. Me di cuenta en cuanto publiqué. Te ruego que por favor me disculpes. Ten en cuenta que también me despistó un poco tu error al omitir que esos límites debían coincidir. No estoy con ello tratando de disculpar mi grave error conceptual al creer que la existencia del límite de una función en un punto implica la continuidad de la función en dicho punto.

Pero yo no te critico por tus errores. Todos los cometemos. Y como bien dices se aprende de ellos. Critico tu excesiva precipitación en plasmar tus ideas poco masticadas en el foro. Eso hace que hagan falta 6 mensajes intermedios para descartar errores tontos, que en el fondo tu mismo habrías detectado y llegar a las cuestiones más interesantes y profundas.

O por ejemplo: un mensaje para decir que no serías capaz de demostrarlo. Otro para responderte que creo que si. Otro para tu intento de demostración... ¡Directamente podrías haber intentado una demostracion!, y de nuevo el hilo se haría más amable para el lector.

Una cosa lleva a otra. Todo contribuye al aprendizaje. Todo el mundo puede leer los hilos y su longitud no influye en su precio.

Lo bueno si breve dos veces bueno. La excesiva longitud es un defecto. ¿Qué a veces surge por lo intrincado del debate?. Bien. Pero como te dije antes a veces hay giros y vueltas por simple precipitación.

Se te olvida algo fundamental, quien no se equivoca no aprende. ¿Porqué? Pues por que lo que está haciendo ya lo tiene bien aprendido y no falla.

De acuerdo, pero ya te dije que no es esa la cuestión.

Yo veo este foro como una manera amena de aprender temas que a veces parecen de lo más engorrosos. Quizás en eso también me estoy equivocando, ya me dirás.

No estás equivocado. De acuerdo.

se deduce que Luis ha querido decir que existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{f(x)} \), \( \lim_{x \to b^-}{f(x)} \), que tienen el mismo valor (digamos \( A \)), y que apliques el teorema de Rolle a la función

       \( F(x)=\begin{cases}{A}&\text{si}&  x=a \\ {A}&\text{si}&  x=b\\f(x) & \text{si}& a<x<b.\end{cases} \)

Vale, gracias. Adaptando un poco la notación para sentirme más cómodo:

¿¡Pero por qué no sigues el camino qué te propuse usando la función auxiliar \( F \) que tienes ahí arriba!?.

Spoiler

Sería:
1) Definirla (lo tienes hecho arriba).
2) Comprobar que cumple las hipótesis del Teorema de Rolle clásico.
3) Deducir que existe \( c\in (a,b) \) tal que \( F'(c)=0 \).
4) Dado que \( F=f \) en \( (a,b) \) concluir de lo anterior que también \( f'(c)=F'(c)=0 \).

[cerrar]

Teorema de Rolle modificado
Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función continua en    \( (a,b) \),    derivable en    \( (a,b) \)    y verificando que    \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)}=L \).    Entonces existe algún punto    \( c\in{(a,b)} \)    tal que    \( f'(c)=0. \)

Demostración.

Por casos. En primer lugar para el caso en que    \( f(a)=f(b)=L \)    la función     \( f \)    es continua en    \( [a,b] \)    y el Teorema de Rolle modificado se reduce al Teorema de Rolle.

En segundo lugar, suponiendo que     \( f(a)=f(b)\neq L \)    y    \( f \)    constante se tiene que

\( \forall{\,\epsilon>0}.\;\exists{\,\delta>0}:\;\;\;\left.\begin{matrix}|x-a|<\delta\\\\x\in{(a,b)}\end{matrix}\right\}\Rightarrow{\big|f(x)-L\big|<\epsilon} \)

de donde, por ser    \( f \)    constante,

Pero no entiendo esa distinción de casos. Si \( f \) es constante todo es trivial; el caso carece de interés.

Saludos.

[Buscón]

se deduce que Luis ha querido decir que existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{f(x)} \), \( \lim_{x \to b^-}{f(x)} \), que tienen el mismo valor (digamos \( A \)), y que apliques el teorema de Rolle a la función

       \( F(x)=\begin{cases}{A}&\text{si}&  x=a \\ {A}&\text{si}&  x=b\\f(x) & \text{si}& a<x<b.\end{cases} \)

Vale, gracias. Adaptando un poco la notación para sentirme más cómodo:

¿¡Pero por qué no sigues el camino qué te propuse usando la función auxiliar \( F \) que tienes ahí arriba!?.

Spoiler

Sería:
1) Definirla (lo tienes hecho arriba).
2) Comprobar que cumple las hipótesis del Teorema de Rolle clásico.
3) Deducir que existe \( c\in (a,b) \) tal que \( F'(c)=0 \).
4) Dado que \( F=f \) en \( (a,b) \) concluir de lo anterior que también \( f'(c)=F'(c)=0 \).

[cerrar]

Eh? ¿Deducir que    \( F \)    es continua en    \( [a,b] \)    y que    \( F(a)=F(b) \)?    No entiendo.

Teorema de Rolle modificado
Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función continua en    \( (a,b) \),    derivable en    \( (a,b) \)    y verificando que    \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)}=L \).    Entonces existe algún punto    \( c\in{(a,b)} \)    tal que    \( f'(c)=0. \)

Demostración.

Por casos. En primer lugar para el caso en que    \( f(a)=f(b)=L \)    la función     \( f \)    es continua en    \( [a,b] \)    y el Teorema de Rolle modificado se reduce al Teorema de Rolle.

En segundo lugar, suponiendo que     \( f(a)=f(b)\neq L \)    y    \( f \)    constante se tiene que

\( \forall{\,\epsilon>0}.\;\exists{\,\delta>0}:\;\;\;\left.\begin{matrix}|x-a|<\delta\\\\x\in{(a,b)}\end{matrix}\right\}\Rightarrow{\big|f(x)-L\big|<\epsilon} \)

de donde, por ser    \( f \)    constante,

Pero no entiendo esa distinción de casos. Si \( f \) es constante todo es trivial; el caso carece de interés.

Saludos.

Pues por coger el toro por algún cuerno. Un teorema no se formula y demuestra para una función en particular, es una generalización de algún resultado y debe contemplar todos los posibles.

[Luis Fuentes]

Hola

Eh? ¿Deducir que    \( F \)    es continua en    \( [a,b] \)    y que    \( F(a)=F(b) \)?    No entiendo.

¿Pero exactamente qué no entiendes?

Veamos, el problema del "Teorema de Rolle modificado" es que la función \( f \) pudiera no ser continua en los extremos \( a \) y \( b \).

Se te propone que tomes una función alternativa que \( F \), igualita que \( f \) en el interior \( (a,b) \), pero precisamente modificando su valor en los extremos \( a \) y \( b \). ¿Cómo lo modificamos? Precisamente para garantizar la continuidad dando en los extremos el valor límite de la función en cada uno de ellos. Más allá del formalismo, ¿entiendes la idea?. REFLEXIONA y pregunta.

Saludos.

[Buscón]

Hola

Eh? ¿Deducir que    \( F \)    es continua en    \( [a,b] \)    y que    \( F(a)=F(b) \)?    No entiendo.

¿Pero exactamente qué no entiendes?

Veamos, el problema del "Teorema de Rolle modificado" es que la función \( f \) pudiera no ser continua en los extremos \( a \) y \( b \).

Se te propone que tomes una función alternativa que \( F \), igualita que \( f \) en el interior \( (a,b) \), pero precisamente modificando su valor en los extremos \( a \) y \( b \). ¿Cómo lo modificamos? Precisamente para garantizar la continuidad dando en los extremos el valor límite de la función en cada uno de ellos. Más allá del formalismo, ¿entiendes la idea?. REFLEXIONA y pregunta.

Saludos.

No sé si lo que propones es redefinir    \( F \)    y hacer    \( F(a)=F(b)=\displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{\color{red}\cancel{\color{black}F}\color{red}f\color{black}(x)}=\lim_{x \to{b}\\x<b}{\color{red}\cancel{\color{black}F}\color{red}f\color{black}(x)} \).    ¿Es eso?

CORREGIDO.

[Juan Pablo Sancho]

No, mas bien:

 \( \color{red} F(a)=F(b)=\displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{\color{red} f(x)\color{black}}=\lim_{x \to{b}\\x<b}{\color{red} f(x)\color{black}} \).   

[Buscón]

No, mas bien:

 \( \color{red} F(a)=F(b)=\displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{\color{red} f(x)\color{black}}=\lim_{x \to{b}\\x<b}{\color{red} f(x)\color{black}} \).   

Si gracias, eso quería poner. ¿Es eso?

[Juan Pablo Sancho]

Si.

[Buscón]

Si.

Ah vale, pero no acabo de ver la utilidad como teorema. Se usa el teorema de Rolle usual, valga la redundancia, para probar que una función concreta que no verifica sus hipótesis también puede verificar el teorema si se transforma de la manera adecuada para que verifique esas hipótesis.

No sé, un poco extraño y enrevesado. No es lo mismo que imponer la condición de derivabilidad en el abierto o en el cerrado. Al imponer la derivabilidad en el abierto el teorema se extiende sin más, sin necesidad de transformar las funciones ni usar el teorema más restringido para probarlo.

Me parece mucho más enriquecedor, sin quitarle mérito al camino propuesto por Luis Fuentes, probar este

Teorema de Rolle modificado
Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función continua en    \( (a,b) \),    derivable en    \( (a,b) \)    y verificando que    \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)}=L \).    Entonces existe algún punto    \( c\in{(a,b)} \)    tal que    \( f'(c)=0. \)

que también propuso, sin utilizar el Teorema de Rolle usual.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Ah vale, pero no acabo de ver la utilidad como teorema.

La "utilidad" de la versión del Teorema de Rolle modificado que te propuse es mostrarte que igual que pueden enunciarse variantes con hipótesis más exigentes, se pueden enunciar variantes con hipótesis menos exigentes. Esto venía a cuento porque en algún momento me pareció que defendía que el Teorema de Rolle usual tenía las justas y necesarias y que ni más ni menos era "adecuado" o "válido".

Se usa el teorema de Rolle usual, valga la redundancia, para probar que una función concreta que no verifica sus hipótesis también puede verificar el teorema si se transforma de la manera adecuada para que verifique esas hipótesis.

No sé, un poco extraño y enrevesado. No es lo mismo que imponer la condición de derivabilidad en el abierto o en el cerrado. Al imponer la derivabilidad en el abierto el teorema se extiende sin más, sin necesidad de transformar las funciones ni usar el teorema más restringido para probarlo.

Me parece mucho más enriquecedor, sin quitarle mérito al camino propuesto por Luis Fuentes, probar este

Teorema de Rolle modificado
Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función continua en    \( (a,b) \),    derivable en    \( (a,b) \)    y verificando que    \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)}=L \).    Entonces existe algún punto    \( c\in{(a,b)} \)    tal que    \( f'(c)=0. \)

que también propuso, sin utilizar el Teorema de Rolle usual.

mmmm...todo esto me hace dudar de que hayas entendido la demostración que hemos propuesto.

Hablas de "Me parece mucho más enriquecedor [...] probar este [...] que también propuso", como si fuese distinto de otra cosa que yo haya propuesto o del resultado que se demuestra como te indicamos. Yo sólo he propuesto ESE teorema que indicas; y te hemos indicado como probar ESE teorema y NO otro.

La función auxiliar \( F \) se utiliza de manera transitoria en la demostración, pero sirve para probar que finalmente \( f \) tiene el punto \( c \) donde \( f'(c)=0 \). No me queda claro que hayas entendido esa cuestión.

El que se use en esa prueba el Teorema de Rolle clásico y a ti no te guste... pues no sé, es subjetivo. Uno podría evitar usarlo, aplicando sobre \( F \) la misma demostración que se hace del Teorema de Rolle clásico. Pero eso es liarse innecesariamente y buscarle tres pies al gato.

Por ejemplo el Teorema del valor medio de Lagrange (que no deja de ser una generalización del Teorema de Rolle) se prueba normalmente construyendo una función auxiliar y aplicando sobre la misma el Teorema de Rolle.

La variante del Teorema de Rolle que te propuse tiene un interés muy limitado a los motivos que te indiqué al principio de esta respuesta; y su demostración es casi lo de menos. En ese sentido sería bueno que entendiese la idea de la demostración, más que la formalices al 100%. Porque la idea es muy clara y en el fondo dice que esa reformulación del Teorema que hice es en realidad un pequeño maquillaje del Teorema original.

Saludos.

[Buscón]

mmmm...todo esto me hace dudar de que hayas entendido la demostración que hemos propuesto.

Hablas de "Me parece mucho más enriquecedor [...] probar este [...] que también propuso", como si fuese distinto de otra cosa que yo haya propuesto o del resultado que se demuestra como te indicamos. Yo sólo he propuesto ESE teorema que indicas; y te hemos indicado como probar ESE teorema y NO otro.

Si. Queda mucho mejor y para el caso que ocupa es más adecuado. Pero no sé, no me convence. Eso no es otra cosa que aplicar el Teorema de Rolle. No es enunciar un teorema más extenso y probarlo. Por el camino que indicas la función que propones verifica el Teorema de Rolle sin tocarle ni un pelo al teorema. Incluso una función que no sea continua lo puede verificar sin tocarle ni un pelo.

Sea    \( f:[-1,1]\rightarrow{\mathbb{R}}( \)    dada por     \( f(x)=\begin{cases}\sen(x),&\textrm{si }x\neq \pi/4\\\\0,&\textrm{si }x=\pi/4\end{cases} \)

Sólo hay que definir la función    \( F(x)=f(x) \)    en    \( [0,\pi/4)\cup{(\pi/4,\pi]} \)    y    \( F(\pi/4)=\sen(\pi/4) \)    y comprobar que    \( F \)   verifica el Teorema de Rolle y por lo tanto...

El que se use en esa prueba el Teorema de Rolle clásico y a ti no te guste... pues no sé, es subjetivo. Uno podría evitar usarlo, aplicando sobre \( F \) la misma demostración que se hace del Teorema de Rolle clásico. Pero eso es liarse innecesariamente y buscarle tres pies al gato.

Totalmente subjetivo. Estoy de acuerdo.

Por ejemplo el Teorema del valor medio de Lagrange (que no deja de ser una generalización del Teorema de Rolle) se prueba normalmente construyendo una función auxiliar y aplicando sobre la misma el Teorema de Rolle.

No es lo mismo, se usa el teorema de Rolle y una función auxiliar para probar el Teorema del valor o medio, no para probar que la función auxiliar verifica el teorema de Rolle.

La variante del Teorema de Rolle que te propuse tiene un interés muy limitado a los motivos que te indiqué al principio de esta respuesta; y su demostración es casi lo de menos. En ese sentido sería bueno que entendiese la idea de la demostración, más que la formalices al 100%. Porque la idea es muy clara y en el fondo dice que esa reformulación del Teorema que hice es en realidad un pequeño maquillaje del Teorema original.

Si, gracias, no estaría demás intentar demostrarlo.

Una vez en este punto y ciñéndonos a la cuestión planteada en el hilo.

¿Porqué en el teorema de Rolle se exige derivabilidad en    \( (a,b) \)    en vez de derivabilidad en    \( [a,b] \)?