Hola
Otro ejemplo para liar o aclarar:
La función \( f:(0,2)\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=\lfloor x\rfloor \), (parte entera), no puede ser derivable en \( x=1 \) porque es contradictorio con que toda función derivable en un punto es continua en dicho punto. Sin embargo existe
\( \displaystyle\lim_{h \to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}=\displaystyle\frac{1-1}{h}=0 \).
Es que esa función NO es derivable en el punto \( x=1 \) con ninguna de las definiciones razonables de derivabilidad; desde luego no con la que te puse arriba y que es válida también para puntos extremos. Lo que yo digo simplemente es considerar el límite en el dominio de la función. Pero tu ahí, no se porqué, te acercas sólo por la derecha, cuando a la izquierda también hay puntos en el dominio de la función.
Para entender mejor lo que digo, recordemos primero como está definido el límite de una función con dominio un subconjunto de los reales (y más en general sería un caso particular de la definición de límite de una función definida en cualquier espacio topológico).
Sea \( f:D\to \Bbb R \) una función, con \( D\subset \Bbb R \) y \( x_0 \) un punto de acumulación de \( D \). Entonces decimos que \displaystyle\lim_{x \to x_0}{}f(x)=a si:
\( \forall \epsilon>0,\quad \exists \delta>0 \) tal que si \( 0<|x-x_0|<\delta,\,\color{blue}x\in D\color{black} \), entonces \( |f(x)-a|<\epsilon \)
La parte en azul es clave en lo que digo. Eso por ejemplo te permite decir que el límite de la función \( f:[0,1]\to \Bbb R \) definida como \( f(x)=x^2 \) en el punto \( x_0=1 \) es \( 1 \).
Pues ahora si \( f:D\to \Bbb R \) una función, con \( D\subset \Bbb R \) y \( x_0\in D \) un punto de acumulación de \( D \), decimos que \( f \) es derivable en \( x_0 \) si existe el límite:
\( \displaystyle\lim_{x \to x_0}{}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \)
Eso te permite aplicar la definición para una función definida en \( [0,1] \) indistintamente en un punto interior o en un punto de los extremos.
Saludos.
P.D.
Independientemente de lo entresijos que tenga eso (que yo no sé, Luis dirá) está claro que las funciones no son derivables en los extremos;
feriva esa frase es bastante confusa. Hay funciones que si son derivables en los extremos y otras que no lo son. Como hay funciones que si son derivable en puntos interiores y otras que no son. Como hay funciones continuas y otras que no lo son. Pero nadie se refiere a ese hecho diciendo "está claro que las funciones no son continuas".
