Hola
Pero entonces se puede llegar a la conclusión de que la función valor absoluto no es derivable en \( x=0 \) y es derivable en \( x=0 \). Es absurdo.
Pero una función consta de tres partes: dominio, codominio y regla de correspondencia o fórmula (la gran mayoría).
Si no especificás las dos primeras es como que yo diga que la función \( f(x)=x^2 \) es biyectiva. ¿Lo es? Pues no lo sabremos hasta que el dominio y codominio queden absolutamente determinados (sea que lo digamos de forma implícita o explícita).
Saludos
Pero el ejemplo que pones no se ajusta al problema. El cero es común al dominio de \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) y al dominio de \( g:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \) dadas por \( f(x)=g(x)=|x| \), (la expresión es también común a ambas funciones).
El punto \( x=1 \) no presenta ese problema.
Es un poco "raro" que la derivabilidad de una función en un punto dependa del dominio considerado.
Que la biyectividad dependa del dominio no "chirría" si se elige un ejemplo más ajustado al problema:
Tanto la función \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) como la función \( g:[-1,+\infty)\rightarrow{\mathbb{R}} \) dadas por \( f(x)=x^2 \) verifican que \( f(x)=g(x)=f(-x)=g(-x) \) para todo \( x\in{[0,1]} \), esto es, ninguna de ellas, restringidas al intervalo \( [-1,1] \) (intervalo común al dominio de ambas), son biyectivas y ambas lo son si se restringen al intervalo \( [0,1] \) (intervalo también común a sus dominios).
Dicho de otra manera ¿Podrías encontrar un ejemplo en el que dos funciones con la misma expresión sean, una biyectiva y la otra no en un dominio común?
Saludos.
EDITADO.
El caso es que efectivamente como apunta Juan Pablo Sancho, se definen también las derivadas laterales.
¿Como resolver la paradoja?
Dada la función \( f:[-1,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \) determinada por \( f(x)=|x| \) resulta que:
- La derivada lateral derecha de \( f \) en \( x=0 \) es \( f'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=1 \)
- La derivada lateral izquierda de \( f \) en \( x=0 \) es \( f'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=-1 \)
- \( f \) no es derivable en \( x=0 \).
