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Hola, muchas gracias por vuestra atención. En todos los teoremas de cálculo que he visto, siempre dicen: f(x) continua en [a,b] y derivable en (a,b). Mi pregunta es: ¿por qué cuando expresamos derivabilidad en ese intervalo, lo escribimos como intervalo abierto y no cerrado?
Saluditos y muchas gracias por vuestro tiempo.
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Es una sutileza, que siempre aparece.
Un motivo podría ser la definición de derivada, que necesita que uno se acerque a ambos lados del punto donde está calculando la derivada.
Si x = a, el extremo del intervalo, no puedo acercarme por izquierda en el límite del cociente incremental.
Aún así eso no sería mayor problema, porque uno podría aceptar que en el extremo la función sea derivable tan sólo por derecha, lo cual tiene sentido.
Así que el otro motivo que se me ocurre es que, para los teoremas que se están demostrando, es suficiente pedir continuidad en el intervalo para que el teorema sea cierto.
O sea, no hace falta pedir la condición más fuerte de derivabilidad, y el teorema es aún cierto.
Como consecuencia de eso, hay que tener cuidado dentro de la demostración del teorema, de que cuando se habla de la derivada de un punto, prestar atención a que ese punto no sea uno de los extremos.
Es algo técnico.
Un ejemplo concreto sería la función \( f(x)=[sen(x)]^{1/2} \), en el intervalo \( [0,\pi] \).
Fijate que es continua en el intervalo \( [0,\pi] \) pero es derivable solamente en \( (0,\pi) \).
Si quisiéramos calcular su derivada en los extremos, nos da pendiente vertical (derivada infinita), o sea que no existe.
Podrías comprobarlo en detalle.
Aún así, los teoremas correspondientes deben ser válidos para esa función.
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Hola, de verdad te agradezco mucho tu ayuda. Estudio arqutiectura y estoy estudiando muchas cosas estas vacaciones para llegar al nivel. Soy autodidacta. Gracias por tu tiempo.
Saluditos.
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Hola
Por complementar un poco más lo de argentinator, aunque está perfectamente explicado ya por él, date cuenta, que cuando te dicen:
Es derivable en (a,b) significa que existe la derivada en todos y cada uno de los puntos pertenecientes al intervalo.
La derivada, es un límite, aunque en el colegio te enseñan (nos) a derivar con reglas, después (seguro que ya te lo han explicado mejor que yo) se define derivada como un límite.
Y esto es lo importante: Existe un teorema denominado de unicidad del límite, es decir: un límite sólo existe si sus límites laterales existen y tienen el mismo valor.
Entonces, en un intervalo cerrado, como argentinator te ha comentado, en los extremos, que en tu caso son dos puntos, no existe la derivada en ninguno de ellos, ya que trivialmente se ve que no puedes "acercarte" lateralmente y todo esto implica, que no puedas considerar un intervalo cerrado como el que has puesto como derivable.
Aunque se podría redefinir la función de tal modo que los extremos no fueran problema, en general, suele ser esta la causa de imponer derivable en un abierto. Aunque depende del contexto donde te encuentres esto, es decir, no es una norma general.
un saludo
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Es una sutileza, que siempre aparece.
Un motivo podría ser la definición de derivada, que necesita que uno se acerque a ambos lados del punto donde está calculando la derivada.
Si x = a, el extremo del intervalo, no puedo acercarme por izquierda en el límite del cociente incremental.
Hola argentinator
¿Me puedes explicar esta última frase?. No la entiendo. Si el intervalo es \( [a,b] \), son dos números. ¿Qué relación tiene con el hecho de que si \( x=a \) en el extremo del intervalo, no pueda acercarme por la izquierda en el límite del cociente incremental?; ¿cómo puedo entender la frase?.
Me presento: estoy estudiando un libro de matemáticas de acceso a la universidad. Estoy matriculado en la Universidad Nacional de Educación a Distancia. Desde la adolescencia tengo afición por las matemáticas.
Y eso, a ver si puedo robarte un poco de tu tiempo. Tengo la misma duda que tuvo Brandinton, y he leido este hilo un montón de veces, y al final he decidido escribirte.
Un saludo
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Es una sutileza, que siempre aparece.
Un motivo podría ser la definición de derivada, que necesita que uno se acerque a ambos lados del punto donde está calculando la derivada.
Si x = a, el extremo del intervalo, no puedo acercarme por izquierda en el límite del cociente incremental.
Hola argentinator
¿Me puedes explicar esta última frase?. No la entiendo. Si el intervalo es \( [a,b] \), son dos números. ¿Qué relación tiene con el hecho de que si \( x=a \) en el extremo del intervalo, no pueda acercarme por la izquierda en el límite del cociente incremental?; ¿cómo puedo entender la frase?.
Me presento: estoy estudiando un libro de matemáticas de acceso a la universidad. Estoy matriculado en la Universidad Nacional de Educación a Distancia. Desde la adolescencia tengo afición por las matemáticas.
Y eso, a ver si puedo robarte un poco de tu tiempo. Tengo la misma duda que tuvo Brandinton, y he leido este hilo un montón de veces, y al final he decidido escribirte.
Un saludo
Argentinator ahí se refiere a que no es posible acercarse por la izquierda de \( a \) si la función tiene dominio \( [a,b] \), ya que la función no está definida fuera de su dominio.
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Hola, Marcos.
Esto del spoiler no vale
Spoiler
Una condición necesaria de la tangente a una curva es que siempre podamos tomar un trozo de dicha curva, tan corto como sea necesario, de manera que la tangente sólo toque en ese punto del trozo de curva sin cortarlo (sin atraversarlo, rozándolo).
Si existieran otras rectas que tocaran a la curva en ese punto sin cortarla tal como entendemos, la unicidad de la tangente sería difícil de asegurar, quizá habría que definir algo nuevo, considerar alguna restricción.... Como se ve en el dibujo, eso es lo que ocurre si pensamos en la recta “tangente” que pasa justo por un punto donde termina la curva, habría muchas que, sin atravesar la sección elegida de la curva, tocarían en el mismo punto.
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=23786.0;attach=21378)
Si dejamos un margen a ambos lados, eso no pasa; pues esas rectas ajenas cortarían, partirían en dos trozos, por pequeños o grandes que fueran, la porción de curva.
Y esos márgenes a ambos lados se representan así (a,b) como también así otras veces ]a,b[;
intuitivamente es eso.
Lo que se pregunta, y lo que ocurre, es esto:
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=23786.0;attach=21388)
Lo cual es evidente por sí mismo.
Saludos.
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Hola feriva, Masacroso
Voy a imprimir este hilo y voy a preguntarle al tutor el martes. Os contaré
Un saludo
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Hola
Una condición necesaria de la tangente a una curva es que siempre podamos tomar un trozo de dicha curva, tan corto como sea necesario, de manera que la tangente sólo toque en ese punto del trozo de curva sin cortarlo (sin atraversarlo, rozándolo).
Si existieran otras rectas que tocaran a la curva en ese punto sin cortarla tal como entendemos, la unicidad de la tangente sería difícil de asegurar, quizá habría que definir algo nuevo, considerar alguna restricción.... Como se ve en el dibujo, eso es lo que ocurre si pensamos en la recta “tangente” que pasa justo por un punto donde termina la curva, habría muchas que, sin atravesar la sección elegida de la curva, tocarían en el mismo punto.
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=23786.0;attach=21378)
Si dejamos un margen a ambos lados, eso no pasa; pues esas rectas ajenas cortarían, partirían en dos trozos, por pequeños o grandes que fueran, la porción de curva.
Y esos márgenes a ambos lados se representan así (a,b) como también así otras veces ]a,b[;
intuitivamente es eso.
Esta idea intuitiva está MAL.
Si consideras la curva \( y=x^3 \), en el punto \( x_0=0 \) la tangente es la recta \( y=0 \) que corta en "dos trozos" a la curva igual que cualquier otra recta en ese punto.
La noción más intuitiva de tangente (o al menos una de ellas) es como límite de secantes. Es decir si fijamos un punto de una curva \( P_0=(x_0,f(x_0)) \) y consideramos otros puntos de la misma \( P_n=(x_n,f(x_n)) \) las rectas secantes \( P_0P_n \) se aproximan a la tangente cuando \( x_n \)se aproxima a \( x_0 \).
Y no hay ningún problema para definir la noción de recta tangente en el extremo del dominio de una curva definida sobre un intervalo cerrado; no hay ningún problema para aplicar esa noción intuitiva ni la formalización analítica que hay detrás.
La razón más fuerte por la que no se exige derivabilidad en los extremos del intervalo en esos teoremas es la segunda que apuntaba argentinator: porque no hace falta.
Un motivo podría ser la definición de derivada, que necesita que uno se acerque a ambos lados del punto donde está calculando la derivada.
Si x = a, el extremo del intervalo, no puedo acercarme por izquierda en el límite del cociente incremental.
Aún así eso no sería mayor problema, porque uno podría aceptar que en el extremo la función sea derivable tan sólo por derecha, lo cual tiene sentido.
Así que el otro motivo que se me ocurre es que, para los teoremas que se están demostrando, es suficiente pedir continuidad en el intervalo para que el teorema sea cierto.
O sea, no hace falta pedir la condición más fuerte de derivabilidad, y el teorema es aún cierto.
Saludos.
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Hola, Luis.
Esta idea intuitiva está MAL.
Si consideras la curva \( y=x^3 \), en el punto \( x_0=0 \) la tangente es la recta \( y=0 \) que corta en "dos trozos" a la curva igual que cualquier otra recta en ese punto.
Al igual que en las otras respuestas, e independientemente de cosas relacionadas, estaba viendo al revés la cuestión.
Seguro que tienes razón, pero, por aclararlo (porque quizá como lo digo se entiende otra cosa).
A lo que me refiero es a dos cosas en realidad: primero digo que dada una curva siempre podemos tomar un trozo tan pequeño como queramos (independientemente del que se considere después en un intervalo (a,b)) de tal forma que la tangente sólo toque en un punto al trozo. Tuve en cuenta eso, aunque yo no estaba pensando en la que pones, pero si estaba pensando en una función tipo la del seno, que la tangente puede tocar en varios máximos, sin embargo, puedo cortarla y quedarme sólo con una “onda”. Entonces, para poner la condición de que toque sólo en un punto, digo que siempre me puedo quedar con un trozo del tamaño necesario que sea (no infinitesimal, salvo una curva muy puñetera que no sé ni siquiera si se podría considerar normalmente). A ése es al trozo que me refiero yo. Así, puedo cortar en un punto dentro de (a,b) que esté cerca de “a”, lo que sea necesario para que la tangente no parta el “subtrozo”.
Ésa es la aclaración; y ahora una pregunta: con esa condición, ¿se puede hacer para y=x³ lo que digo? Porque he visto la gráfica en Wolfram y es tan recta por el centro que a lo mejor toca más de punto, no estoy seguro de ello; en cuyo caso mi restricción no sirve, claro. ¿Es posible que no se pueda elegir un trozo tan pequeño como se quiera -pero no infintesimalmente pequeño- tal que la tangente siempre toque sólo en punto?
Hola otra vez, Luis.
Yo diría que en (0,0) existe la derivada, la función tangente, pero lo que es la recta en sí, no es tangente a la gráfica, (a la curva dibujada tal como está) es tangente por la simetría del lado convexo o bien del otro lado (por simetría al menos en un entorno cercano al punto) y por esa razón, intuyo (otra intuición) queda definida. ¿Puede tener sentido?
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=23786.0;attach=21380)
Saludos.
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Hola
Seguro que tienes razón, pero, por aclararlo (porque quizá como lo digo se entiende otra cosa).
A lo que me refiero es a dos cosas en realidad: primero digo que dada una curva siempre podemos tomar un trozo tan pequeño como queramos (independientemente del que se considere después en un intervalo (a,b)) de tal forma que la tangente sólo toque en un punto al trozo.
No estoy seguro de que significado estás dando a "toque"; si es simplemente "corte", es decir que tenga un único punto en común, eso pasa con la tangente y con cualquier recta. En un trozo suficientemente pequeño cualquier recta solo cortará en un punto (a no ser que la propia curva sea una recta y tomemos precisamente esa recta).
Hola otra vez, Luis.
Yo diría que en (0,0) existe la derivada, la función tangente, pero lo que es la recta en sí, no es tangente a la gráfica, (a la curva dibujada tal como está) es tangente por la simetría del lado convexo o bien del otro lado (por simetría al menos en un entorno cercano al punto) y por esa razón, intuyo (otra intuición) queda definida. ¿Puede tener sentido?
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=23786.0;attach=21380)
Esto confirma que tu noción intuitiva de tangente es totalmente errada; la recta \( y=0 \) es tangente a \( y=x^3 \) en el origen con cualquier noción de recta tangente conocida: geométrica, analítica, algebraica,... A mi me parece que estás entendiendo que para una tangente toda la curva en un entorno del punto debe de quedar en uno sólo de los dos semiplanos definidos por la recta y esto no tiene porque ser así.
Como he dicho la noción más intuitiva de tangente es como límite de secantes.
Saludos.
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Esto confirma que tu noción intuitiva de tangente es totalmente errada; la recta \( y=0 \) es tangente a \( y=x^3 \) en el origen con cualquier noción de recta tangente conocida: geométrica, analítica, algebraica,... A mi me parece que estás entendiendo que para una tangente toda la curva en un entorno del punto debe de quedar en uno sólo de los dos semiplanos definidos por la recta y esto no tiene porque ser así.
EDITADO
Muchas gracias, Luis.
Veo que lo de trocear rectas no sirve para distinguir la tangente; pero puedo suprimirlo y decirlo de otra manera sin cortes ni "tocamientos", no me rindo tan fácilmente :)
Vuelvo a considerar como posibilidad la recta tangente que pasa por un extremo cualquiera del trozo [a,b].
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=23786.0;attach=21381)
Lo que digo aquí es producto de ver al revés el encaje de los intervalos; por tanto, independientemente del concepto de tangente y todo lo demás, lo dicho no sirve para nada porque es un ERROR MÍO DE INTERPRETACIÓN en la cuestión principal del hilo
Como no se sabe cómo sigue la curva (o no queremos saberlo porque hemos definido sólo ese trozo) podría continuar, a partir de los extremos, curvándose de distintas maneras, de tal forma que la tangente podría ser la recta verde, la azul u otras. En esos esos casos será derivable sea cual sea la función porque estamos diciendo que hay alguna tangente, sin embargo, existen infinitos casos en los cuales a partir del último punto puede seguir una recta formando un pico. En estas condiciones, se puede decir que no es cierto en general que exista la recta tangente (y en consecuencia tampoco la función en general). Con ello, por falta de la necesaria definición en ese caso, en general no es derivable en los extremos a,b; simplmente porque no sabemos enteramente de qué función estamos hablamos. Opino que puede ser por eso que entonces se escriba el intervalo así [a,b], para indicar esa falta de generalidad ante las distintas posibilidades. Creo que lo razonable es que, si se sabe que la función es alguna función derivable en esos puntos, se escriba (a,b) y no [a,b].
Aunque sea una redudancia, la función es derivable en los puntos a,b cuando la función es derivable en los puntos “a,b” (y siempre cabe escribir (a,b)) y la función no es derivable en a,b cuando la función no es derivable en a,b; circunstancia en la cual opino que no cabe en ninǵun caso escribir (a,b).
¿Puede valer? Espero que, aunque sea, esté menos mal que antes.
Saludos.
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Hola
Como no se sabe cómo sigue la curva (o no queremos saberlo porque hemos definido sólo ese trozo) podría continuar, a partir de los extremos, curvándose de distintas maneras, de tal forma que la tangente podría ser la recta verde, la azul u otras.
Si no se sabe como se comporta la curva por un lado, lo razonable es utilizar como se comporta por el otro y ahí su puede tomar uno perfectamente la tangente como límite de secantes.
No existe la recta tangente (y en consecuencia tampoco la función) en ese punto o, como poco, se puede afirmar que, si existe, no es única. Con ello la función no es derivable en los extremos a,b y ,por tanto, no lo es en todos los puntos de [a,b].
Aquí no se que decirte; todo depende de la definición rigurosa que quieras dar de "tangente" y "derivable".
¿Puede valer? Espero que, aunque sea, esté menos mal que antes.
Ahí parece que quieres encajar si o si un argumento que te permita defender que no existe tangente en el extremo. ¡Allá cada uno!. En este caso no te digo ni si ni no; depende de la definición. Lo de los mensajes anteriores estaba mal porque usabas ideas que ni siquiera encajaban en puntos del interior del intervalo. Aquí si quieres basarte en que no conocemos el comportamiento de la curva en el extremos por uno de sus lados... pues vale.
Saludos.
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Ahí parece que quieres encajar si o si un argumento que te permita defender que no existe tangente en el extremo. ¡Allá cada uno!. En este caso no te digo ni si ni no; depende de la definición. Lo de los mensajes anteriores estaba mal porque usabas ideas que ni siquiera encajaban en puntos del interior del intervalo. Aquí si quieres basarte en que no conocemos el comportamiento de la curva en el extremos por uno de sus lados... pues vale.
Saludos.
Muchas gracias, Luis. De acuerdo.
Un saludo.
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Hola feriva, Masacroso, Luis
He estado con el tutor de la Uned del curso de acceso a la universidad para acceder al grado de Matemáticas, y le he hecho la misma pregunta con la que Brandinton empezaba el hilo: "En todos los teoremas de cálculo que he visto, siempre dicen: \( f(x) \) continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \). Mi pregunta es: ¿por qué cuando expresamos derivabilidad en ese intervalo, lo escribimos como intervalo abierto y no cerrado?."
Y el tutor me ha respondido: derivadas laterales.
Me ha estado explicando funciones y puntos donde dichas funciones no son derivables. Y ese ha sido el germen de mis reflexiones. No sé si están correctas, son de mi cosecha. Ahí van:
La derivabilidad sólo puede ser afirmada en intervalos abiertos. Si es en todo \( \mathbf{R} \), es derivable en \( (-\infty,+\infty) \). Si está definida en \( [a,b] \), no está definida fuera de su dominio, es decir, \( a\leq{x}\leq{b} \). Esto quiere decir que no es posible acercarse por la izquierda de \( a \) ni por la derecha de \( b \) en el límite del cociente incremental. Afirmo que para expresar la derivabilidad de un intervalo \( [a,b] \), éste es derivable en \( (a,b) \). El motivo es que si no conozco, por ejemplo, en el caso de \( x=a \) (análogamente por la derecha en \( x=b \)) el límite del cociente incremental a su izquierda, no sé si es derivable. Puede serlo, y puede no serlo. Pongamos
\( \begin{array}{rccc}f&:[1,+\infty)&\longrightarrow&\mathbf{R}\\&x&\mapsto&x^2\end{array} \).
Pongamos que a la izquierda de \( x=1 \) siga siendo \( f(x)=x^2 \). Entonces lo es en \( x=1 \). Pongamos sin embargo la función definida a trozos
\( f(x)=\begin{cases}{|x|}&\text{si}&-\infty<x<1\\x^2&\text{si}&1\leq{x}<+\infty\end{cases} \).
Entonces no lo es en \( x=1 \). En resumen, no sabemos si la función \( f(x)=x^2 \) es derivable en \( x=1 \), porque no tenemos información. Por eso debe ser derivable en \( (1,+\infty) \).
¿Correcto?
Un saludo
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Hola, Marcos.
Entonces no lo es en \( x=1 \). En resumen, no sabemos si la función \( f(x)=x^2 \) es derivable en \( x=1 \), porque no tenemos información. Por eso debe ser derivable en \( (1,+\infty) \).
¿Correcto?
Un saludo
Esto del spoiler no tenía nada que ver con lo que se trataba en el hilo, estaba viendo al revés la interpretación de los intervalos por pura dislexia mental
Spoiler
Claro, entiendo que sí, porque, de hecho, esto \( f(x)=x^2 \) es la fórmula de un trozo de función, no tiene por qué ser la de toda la función; después, en los otros trozos, puede venir esa misma u otras.
Mira, la curva del dibujo es la misma desde arriba hasta los puntos rojos; y ahí está claro lo que pasa. Pues ahora imagina que existen ambas posibilidades; y otras muchas más, como que la función sea discontinua en esos puntos o que siga la curva de otra manera. Ante la duda, esto [a,b] vale, porque los puntos, estar están en cualquiera de los casos, sea derivable o no puedes considerar ese intervalo, pero si consideras esto, (a,b) ante la posibilidad de que no sea derivable (que existe tanto como la otra posibilidad) no es admisible, porque en ese caso no existen esas "prolongaciones suaves" más allá de los puntos
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=23786.0;attach=21385)
Saludos.
-
Hola
Hola feriva, Masacroso, Luis
He estado con el tutor de la Uned del curso de acceso a la universidad para acceder al grado de Matemáticas, y le he hecho la misma pregunta con la que Brandinton empezaba el hilo: "En todos los teoremas de cálculo que he visto, siempre dicen: \( f(x) \) continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \). Mi pregunta es: ¿por qué cuando expresamos derivabilidad en ese intervalo, lo escribimos como intervalo abierto y no cerrado?."
Y el tutor me ha respondido: derivadas laterales.
Me ha estado explicando funciones y puntos donde dichas funciones no son derivables. Y ese ha sido el germen de mis reflexiones. No sé si están correctas, son de mi cosecha. Ahí van:
La derivabilidad sólo puede ser afirmada en intervalos abiertos.
Eso es a gusto del consumidor. Como he venido diciendo no hay ningún inconveniente en definir la derivada en un extremo de un intervalo, tomando el límite lateral o incluso simplemente tomando el límite restringido al domino de la función.
Todas las disquisiciones que haces después y que hace también feriva, no me convencen demasiado en el sentido que explicaré ahora:
Spoiler
Si es en todo \( \mathbf{R} \), es derivable en \( (-\infty,+\infty) \). Si está definida en \( [a,b] \), no está definida fuera de su dominio, es decir, \( a\leq{x}\leq{b} \). Esto quiere decir que no es posible acercarse por la izquierda de \( a \) ni por la derecha de \( b \) en el límite del cociente incremental. Afirmo que para expresar la derivabilidad de un intervalo \( [a,b] \), éste es derivable en \( (a,b) \). El motivo es que si no conozco, por ejemplo, en el caso de \( x=a \) (análogamente por la derecha en \( x=b \)) el límite del cociente incremental a su izquierda, no sé si es derivable. Puede serlo, y puede no serlo. Pongamos
\( \begin{array}{rccc}f&:[1,+\infty)&\longrightarrow&\mathbf{R}\\&x&\mapsto&x^2\end{array} \).
Pongamos que a la izquierda de \( x=1 \) siga siendo \( f(x)=x^2 \). Entonces lo es en \( x=1 \). Pongamos sin embargo la función definida a trozos
\( f(x)=\begin{cases}{|x|}&\text{si}&-\infty<x<1\\x^2&\text{si}&1\leq{x}<+\infty\end{cases} \).
Entonces no lo es en \( x=1 \). En resumen, no sabemos si la función \( f(x)=x^2 \) es derivable en \( x=1 \), porque no tenemos información. Por eso debe ser derivable en \( (1,+\infty) \).
Spoiler
Claro, entiendo que sí, porque, de hecho, esto \( f(x)=x^2 \) es la fórmula de un trozo de función, no tiene por qué ser la de toda la función; después, en los otros trozos, puede venir esa misma u otras.
Mira, la curva del dibujo es la misma desde arriba hasta los puntos rojos; y ahí está claro lo que pasa. Pues ahora imagina que existen ambas posibilidades; y otras muchas más, como que la función sea discontinua en esos puntos o que siga la curva de otra manera. Ante la duda, esto [a,b] vale, porque los puntos, estar están en cualquiera de los casos, sea derivable o no puedes considerar ese intervalo, pero si consideras esto, (a,b) ante la posibilidad de que no sea derivable (que existe tanto como la otra posibilidad) no es admisible, porque en ese caso no existen esas "prolongaciones suaves" más allá de los puntos
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=23786.0;attach=21385)
Siguiendo esa lógica habría exactamente el mismo problema con la continuidad. Si uno tiene la función \( x^2 \) definida en \( [1,+\infty) \) uno puede extenderla a la izquierda con continuidad o sin continuidad. Un ejemplo de esto último sería:
\( f(x)=\begin{cases} -2& \text{si}& x<1\\x^2 & \text{si}& x>1\end{cases} \)
¿Impide eso hablar de continuidad de una función \( f:[a,b]\to \Bbb R \) en los extremos del intervalo?. No.
Yo sigo en mis trece: la razón esencial porque en todos esos teorema habla de derivable en el abierto \( (a,b) \), y no en \( [a,b] \) básicamente es porque NO es necesario exigir derivabilidad en los extremos \( a,b \).
Si entendemos que definimos la derivabilidad en los extremos atendiendo a los correspondientes límites laterales o simplemente a restringir el límite al dominio, todos esos teoremas seguirían siendo ciertos poniendo en las hipótesis derivable en \( [a,b] \), ahora estaríamos debilitando absurdamente los resultados porque estaríamos exigiendo unas hipótesis más fuertes de lo necesario. En todos ellos es suficiente exigir derivabilidad en \( (a,b) \).
Con todo esto yo no niego que hablar de la derivabilidad en los extremos del intervalo requiera hacer un matiz o una puntualización a la definición usual de derivada; pero es un inconveniente muy salvable, fácilmente solucionable, y por eso no me parece la razón esencial de que tales extremos sean excluidos de los enunciados de los teoremas.
Saludos.
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\( f(x)=\begin{cases} -2& \text{si}& x<1\\x^2 & \text{si}& x>1\end{cases} \)
¿Impide eso hablar de continuidad de una función \( f:[a,b]\to \Bbb R \) en los extremos del intervalo?. No.
Yo sigo en mis trece: la razón esencial porque en todos esos teorema habla de derivable en el abierto \( (a,b) \), y no en \( [a,b] \) básicamente es porque NO es necesario exigir derivabilidad en los extremos \( a,b \).
Es verdad, Luis, he estado despistado todo el post por pensar sólo en los dibujos, quería decir eso mismo, lo que pasa es que lo “traducía al revés”. Claro, ocurre que esto (a,b) está dentro de esto [a,b] y no al contrario, por tanto, si la función es continua en [a,b], entonces es derivable en (a,b) logiquísimo. Con lo que basta exigir continuidad en [a,b] para que sea derivable en (a,b); que, ahora que me fijo, es lo que se pregunta en la entrada principal del post y es lo que me habías señalado que había dicho Argentinator; por tanto, si la función es derivable en [a,b], entonces es derivable en (a,b) necesariamente. Sin embargo, si es derivable en (a,b) no tiene por qué serlo en [a,b]. A partir de ahí, si es derivable en (a,b) tiene que ser continua en [a,b] para que la tangente se apoye por los dos lados. y yo venga y venga a verlo al revés. Ahora editaré.
Muchas gracias, Luis; perdonadme, que he estado bloqueado más tiempo de la cuenta, toda la culpa del lío ha sido mía.
Saludos.
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Aunque ha sido debatido suficientemente el tema, no puedo dejar de comentar que la primera vez que vi (en la carrera, no en bachillerato) la definición de derivada fue en el Análisis Matemático de Apostol, donde el dominio de definición es un intervalo abierto \( (a,b) \). Posteriormente, leí en el Principios de Análisis Matemático de Rudin que el dominio de definición es un intervalo cerrado \( [a,b] \). Bien, comprendí que no había problemas con el asunto pero me pregunté a mí mismo el por qué no se definía \( f^\prime (x_0) \) en un dominio más genérico i.e. en un dominio \( A\subset \mathbb{R} \) con \( x_0\in A \) y \( x_0 \) punto de acumulación de \( A \). En este caso tiene sentido decir que \( \displaystyle\lim_{x \to x_0, \; x\in A\setminus \{x_0\}}{\displaystyle\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \) tiene límite y es finito o su negación. Me quedé para mí con esa definición más general.
Posteriormente en una clase de problemas, en un determinado ejercicio sobre un función derivable en un punto (sólo recuerdo el hecho, no la literalidad), el profesor eligió un intervalo que contenía a \( x_0 \) en donde estaba definida la función. Yo le pregunté por qué tal intervalo existía, y me contestó que el concepto de derivada es local y requiere que la función estuviera definida en un intervalo que contiene a \( x_0 \). Le comenté lo del punto de acumulación y me dijo que así la derivada no tiene interés, respuesta a todas luces insatisfactoria.
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Hola
Es verdad, Luis, he estado despistado todo el post por pensar sólo en los dibujos, quería decir eso mismo, lo que pasa es que lo “traducía al revés”. Claro, ocurre que esto (a,b) está dentro de esto [a,b] y no al contrario, por tanto, si la función es continua en [a,b], entonces es derivable en (a,b) logiquísimo. Con lo que basta exigir continuidad en [a,b] para que sea derivable en (a,b); que, ahora que me fijo, es lo que se pregunta en la entrada principal del post y es lo que me habías señalado que había dicho Argentinator; y yo venga y venga a verlo al revés. Ahora editaré.
No se muy bien que has querido decir ahí, pero no es cierto que si una función es continua en \( [a,b] \) necesariamente sea derivable en \( (a,b). \)
Saludos.
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Hola
Es verdad, Luis, he estado despistado todo el post por pensar sólo en los dibujos, quería decir eso mismo, lo que pasa es que lo “traducía al revés”. Claro, ocurre que esto (a,b) está dentro de esto [a,b] y no al contrario, por tanto, si la función es continua en [a,b], entonces es derivable en (a,b) logiquísimo. Con lo que basta exigir continuidad en [a,b] para que sea derivable en (a,b); que, ahora que me fijo, es lo que se pregunta en la entrada principal del post y es lo que me habías señalado que había dicho Argentinator; y yo venga y venga a verlo al revés. Ahora editaré.
No se muy bien que has querido decir ahí, pero no es cierto que si una función es continua en \( [a,b] \) necesariamente sea derivable en \( (a,b). \)
Saludos.
En efecto, mal dicho otra vez por mi parte, porque puede que entremedias del intervalo la curva se quiebre en un pico sin perder la continuidad. Tiene que ser continua a los dos lados cerca del punto, no en todo el intervalo. Tiene que ser derivable en el punto y ya está, las palabras no llegan para decirlo de otra manera.
Gracias, Luis.
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Hola, Luis, ya he editado, pero resumo para ver si consigo decir bien las cosas de una vez.
La pregunta principal del hilo es
En todos los teoremas de cálculo que he visto, siempre dicen: f(x) continua en [a,b] y derivable en (a,b). Mi pregunta es: ¿por qué cuando expresamos derivabilidad en ese intervalo, lo escribimos como intervalo abierto y no cerrado?
Y después de todo lo visto, entiendo que la cuestión sería más bien cambiando las cosas de sitio; una cosa así: “f(x) derivable en (a,b) exige -o quizá implica- continuidad en [a,b]”.
Es decir, salvado mi último despiste, continua en [a,b], en efecto, no implica que sea derivable en (a,b). Sin embargo, si la función es derivable, primeramente y por definición, en (a,b), entonces ahí sí que los puntos “a” y “b” requieren ir un poco más allá y necesitamos expresar la continuidad en [a,b].
¿Veo algo al revés todavía o ya está al derecho?
Saludos.
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Hola
Y después de todo lo visto, entiendo que la cuestión sería más bien cambiando las cosas de sitio; una cosa así: “f(x) derivable en (a,b) exige -o quizá implica- continuidad en [a,b]”.
Es decir, salvado mi último despiste, continua en [a,b], en efecto, no implica que sea derivable en (a,b). Sin embargo, si la función es derivable, primeramente y por definición, en (a,b), entonces ahí sí que los puntos “a” y “b” requieren ir un poco más allá y necesitamos expresar la continuidad en [a,b].
Pues no. Derivable en \( (a,b) \) implica continua en \( (a,b) \); pero no tiene porque ser continua en los extremos \( a \) y \( b \).
Saludos.
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Me sumo a las opiniones de Luis y Fernando, es decir, se puede definir perfectamente la derivada en cualquier punto límite de un conjunto. Yo creo que toman el intervalo abierto por simplificar el trabajo, quizá haya casos particulares, si añadimos las derivadas de todos los puntos límites, que compliquen algunos teoremas.
No he leído hasta ahora ninguna respuesta satisfactoria a este tema, ni buscando en MSE. Todas las respuestas que se dan suelen ser bastante flojas.
Empiezo a sospechar que no hay un fundamento real, que es más bien una costumbre.
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Hola
Y después de todo lo visto, entiendo que la cuestión sería más bien cambiando las cosas de sitio; una cosa así: “f(x) derivable en (a,b) exige -o quizá implica- continuidad en [a,b]”.
Es decir, salvado mi último despiste, continua en [a,b], en efecto, no implica que sea derivable en (a,b). Sin embargo, si la función es derivable, primeramente y por definición, en (a,b), entonces ahí sí que los puntos “a” y “b” requieren ir un poco más allá y necesitamos expresar la continuidad en [a,b].
Pues no. Derivable en \( (a,b) \) implica continua en \( (a,b) \); pero no tiene porque ser continua en los extremos \( a \) y \( b \).
Saludos.
Ya he vuelto a escribir lo que no quería, sí. Lo digo entonces con un ejemplo:
Con naturales (aunque no sea el caso) si el intervalo es derivable en (3,8) el conjunto de puntos sería {4,5,6,7}; así, por ejemplo, figuradamente, si apoyamos una varilla sobre el 5, tiene al lado el 4 y al otro lado el 6 para que fijen su dirección sin que pueda “balancearse”. Pero no ocurre en el caso del 4 y el 7, donde la dirección de la varilla no se fija por uno de los lados, entonces esa función derivable requiere “vivir” en este conjunto {3,4,5,6,7,8} como hábitat necesario, conjunto que se representa así [3,8].
Al pensar en un intervalo en el caso de verdad, con números reales, surge una segunda cuestión, en la que yo en realidad no había entrado a valorar nada (lo que pasaba era eso de verlo al revés) pero que, sin quererlo, ha dado lugar a un debate, que es lo que mencionas tú, Fernando y Masacroso; que creo, si estoy entendiendo bien, que trata de la cuestión de si hace falta tomar exactamente [3,8] (siguiendo con los mismos números) o valdría tomar algo así como (editado) \( [4-\varepsilon_{1}\,,\,7+\epsilon_{2}]
\), por expresarlo de alguna manera. Si es esto lo que se entendía al principio de lo que yo dije, no opino nada, no sé cuánto es necesario; es necesario algo más allá de los extremos, eso sí lo he dicho (en el ejemplo los "extremos" a los que me refiero no llegarían a 3 y 8, o sea, 3 y 8 ya sería más allá de los puntos que digo; claro, ahora tengo que decirlo así, no tengo más remedio, pero esto viene de la confusión inicial viéndolo al revés, donde si podía decir extremos)
Releyendo, creo que estoy de acuerdo con todos, el "más allá" que decís me parece que no es el que os he entendido, porque no puede ser.
Como los intervalos encajan así [(a,b)] es necesario llegar hasta el corchete por lo menos, pues de lo contrario, no sería derivable en todo (a,b). Y, a partir de ahí quizá, se pueda tomar un poquito más (esto sí creo que es lo que decíais) pero no es necesario y, además, no hay seguridad de que no se corte la función más adelante, habría que tener cuidado en cuánto más allá se toma.
Pero yo, como ya he dicho, al principio, en mi obnubilación, lo había imaginado con los intervalos encajados así ([a,b]), con lo que si intentaba derivar en “a” necesitaba salirme del corchete por la izquierda necesariamente; había metido los extremos dentro de la zona derivable y de ahí que dijera que requería ir “más allá”. Y, así, nadie me podía entender ni yo podía entender a nadie.
Si la confusión principal no fuera ésta, tendría que ser algo más abstracto que se me escapa ahora mismo, no me imagino qué; creo que simplemente era esto.
Ahora sí que presiento que se me va a entender, otra cosa será si hay algo mal...
Entonces, ¿sería más menos esta idea?
Muchas gracias otra vez, Luis.
Saludos.
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Creo que el convenio usual de elegir como dominio de definición un intervalo está relacionado con que las curvas (por ejemplo en \( \mathbb{R}^2 \)) usualmente se definen como la imagen geométrica de funciones \( y=f(x) \) (con determinadas condiciones) cuyo dominio de definición es un intervalo y así transportar geométricamente el concepto de derivabilidad al de recta tangente. Ahora bien de forma más general podemos definir curva en dominios más allá que los intervalos. En fin, el debate es por supuesto de usos y costumbres más que conceptual.
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Hola
Con naturales (aunque no sea el caso) si el intervalo es derivable en (3,8) el conjunto de puntos sería {4,5,6,7}; así, por ejemplo, figuradamente, si apoyamos una varilla sobre el 5, tiene al lado el 4 y al otro lado el 6 para que fijen su dirección sin que pueda “balancearse”. Pero no ocurre en el caso del 4 y el 7, donde la dirección de la varilla no se fija por uno de los lados, entonces esa función derivable requiere “vivir” en este conjunto {3,4,5,6,7,8} como hábitat necesario, conjunto que se representa así [3,8].
Al pensar en un intervalo en el caso de verdad, con números reales, surge una segunda cuestión, en la que yo en realidad no había entrado a valorar nada (lo que pasaba era eso de verlo al revés) pero que, sin quererlo, ha dado lugar a un debate, que es lo que mencionas tú, Fernando y Masacroso; que creo, si estoy entendiendo bien, que trata de la cuestión de si hace falta tomar exactamente [3,8] (siguiendo con los mismos números) o valdría tomar algo así como (editado) \( [4-\varepsilon_{1}\,,\,7+\epsilon_{2}]
\), por expresarlo de alguna manera. Si es esto lo que se entendía al principio de lo que yo dije, no opino nada, no sé cuánto es necesario; es necesario algo más allá de los extremos, eso sí lo he dicho (en el ejemplo los "extremos" a los que me refiero no llegarían a 3 y 8, o sea, 3 y 8 ya sería más allá de los puntos que digo; claro, ahora tengo que decirlo así, no tengo más remedio, pero esto viene de la confusión inicial viéndolo al revés, donde si podía decir extremos)
Releyendo, creo que estoy de acuerdo con todos, el "más allá" que decís me parece que no es el que os he entendido, porque no puede ser.
Como los intervalos encajan así [(a,b)] es necesario llegar hasta el corchete por lo menos, pues de lo contrario, no sería derivable en todo (a,b). Y, a partir de ahí quizá, se pueda tomar un poquito más (esto sí creo que es lo que decíais) pero no es necesario y, además, no hay seguridad de que no se corte la función más adelante, habría que tener cuidado en cuánto más allá se toma.
Pero yo, como ya he dicho, al principio, en mi obnubilación, lo había imaginado con los intervalos encajados así ([a,b]), con lo que si intentaba derivar en “a” necesitaba salirme del corchete por la izquierda necesariamente; había metido los extremos dentro de la zona derivable y de ahí que dijera que requería ir “más allá”. Y, así, nadie me podía entender ni yo podía entender a nadie.
Si la confusión principal no fuera ésta, tendría que ser algo más abstracto que se me escapa ahora mismo, no me imagino qué; creo que simplemente era esto.
Ahora sí que presiento que se me va a entender, otra cosa será si hay algo mal...
Entonces, ¿sería más menos esta idea?
Es que francamente a estas alturas no tengo ni idea de lo que quieres decir con todo eso.
Saludos.
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Es que francamente a estas alturas no tengo ni idea de lo que quieres decir con todo eso.
Muchas gracias, Luis.
Pues no sé explicarlo de manera rigurosa, lo único que puedo hacer es sintetizarlo con unas afirmaciones y después tú me pides explicaciones si algo no fuera cierto o dudoso:
En resumen, que se considera una función derivable en todos los puntos de (a,b).
Que los puntos donde ya no hay seguridad en la derivabilidad son “a,b”, por estar fuera del intervalo.
Que antes de estos puntos, en (a,b), no se puede definir esa falta de seguridad en ningún sitio, porque se tomen los puntos que se tomen dentro de (a,b), siempre hay otro más hacia el extremo y, por tanto, en todos se puede derivar.
Y que, dado que la función es derivable en todos los puntos de aquí dentro (a,b), entonces es necesario que la continuidad se prolongue hasta aquí [a,b], hasta los puntos donde se pierde la seguridad. Esto para mí es claro, pues, si no, podría existir discontinuidad dentro de (a,b), lo cual negaría la definición inicial de que se puede derivar en todos sus puntos.
Saludos.
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Si lo que afirmas es que toda función derivable en \( (a,b) \) debe ser contínua en \( \left[a,b\right] \), eso es falso. Puedes tomar por ejemplo \( f(x)=x \) para \( x \in (0,1) \) y \( f(0)=f(1)=3 \). En general, el comportamiento de una función en el abierto \( (a,b) \) no te dice nada sobre su comportamiento en los puntos extremos \( a,b \). Por eso en los teoremas típicos se exige explícitamente que la función sea contínua en el intervalo cerrado \( \left[a,b\right] \).
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Si lo que afirmas es que toda función derivable en \( (a,b) \) debe ser contínua en \( \left[a,b\right] \), eso es falso. Puedes tomar por ejemplo \( f(x)=x \) para \( x \in (0,1) \) y \( f(0)=f(1)=3 \). En general, el comportamiento de una función en el abierto \( (a,b) \) no te dice nada sobre su comportamiento en los puntos extremos \( a,b \). Por eso en los teoremas típicos se exige explícitamente que la función sea contínua en el intervalo cerrado \( \left[a,b\right] \).
Claro, ahora veo, me había ido a pensar en la continuidad del dominio más que en el de la función.
Y ¿en cuanto a lo demás que digo puede valer más o menos?
Muchas gracias, Geómetracat.
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Pues sinceramente, es que no entiendo muy bien lo que dices o quieres decir.
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Más de lo mismo, al tener derivabilidad en \( (a,b) \) y continuidad en \( [a,b] \) Tenemos que en \( a \) sólo se exige que :
\( \displaystyle f(a) = \lim_{h \to 0^+} f(a+h) \) en contra si se exige derivabilidad en \( [a,b] \) se exige una condición más fuerte:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \) como dijo Argentinator en su primer mensaje al pedir una condición más fuerte en los extremos perdemos muchas funciones en la que se puede verificar el teorema.
Ejemplo (Para el teorema de Rolle):
\( \displaystyle f(x) = x \cdot \sen(\dfrac{1}{x}) \) con \( x \in ]0,\dfrac{1}{\pi}] \) y \( f(0)=0 \).
\( \displaystyle g(x) = \sqrt{1-x^2} \) para \( x \in [-1,1] \)
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Hola.
No os preocupéis, ya lo he visto claramente; como si no hubiera dicho nada en todo el post.
Gracias por la paciencia.
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Siguiendo esa lógica habría exactamente el mismo problema con la continuidad. Si uno tiene la función \( x^2 \) definida en \( [1,+\infty) \) uno puede extenderla a la izquierda con continuidad o sin continuidad. Un ejemplo de esto último sería:
\( f(x)=\begin{cases} -2& \text{si}& x<1\\x^2 & \text{si}& x>1\end{cases} \)
¿Impide eso hablar de continuidad de una función \( f:[a,b]\to \Bbb R \) en los extremos del intervalo?. No.
Hola Luis, ¿puedes explicarme esta cita?. No la entiendo, y me parece clave para yo entender lo incorrecto de mi anterior mensaje.
¡Un saludo!
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Hola, Marcos, ya que, te veo por aquí, te cuento que me había hecho el firme propósito de reposar y no entrar a decir nada en el foro en unos días, porque este error me ha dejado tocado; no me refiero al de haber visto los intervalos encajados al revés.
Yo mismo advertí más de una vez a algunos usuarios que, cuando se trata de cosas del continuo, no se puede andar uno haciendo muchos dibujitos porque lleva a ver cosas que no son; no es lo mismo que en geometría o álgebra lineal, aquí los dibujos son muy engañosos.
El ejemplo que ponía con números naturales (aparte de los dibujos) me da vergüenza; y no vale que me autojustifique con que no soy matemático ni nada así, porque me sé lo que pasa desde hace muchos años y no debería tropezar en esto. No se puede representar este intervalo (a,b) trasladando la idea a números naturales porque ahí no hay un último número a ningún lado. Esto hace totalmente antintuitivo ver la continuidad de una manera física, como si los puntos fueran cosas. Considerando simplemente una recta en el dominio, sin entrar en la función, ya no existe ningún contacto entre “a” y el “primer” punto del intervalo (a,b); porque no hay “primer” punto en el paréntesis. Sin embargo, matemáticamente, en el caso de una recta, como la del eje X, por ejemplo, sí hay continuidad, no quedan “agujeros” que se dice. Pero si tomamos la otra coordenada, la imagen de los equis puede cambiar de “altura” bruscamente independientemente de lo cerca o lejos que estén los valores “x” del dominio, aunque la distancia entre ellos sea prácticamente cero; porque el eje horizontal es independiente del vertical; la gráfica puede cortarse o no.
Así, no hace ninguna falta considerar el intervalo cerrado para que una cierta f(x) se puede derivar en todo (a,b); porque en las imágenes tampoco hay extremos, si es derivable, siempre existen los límites laterales para todos los puntos.
Ya te digo, ese error me ha deprimido, con el resto de los despiste que cometo a diario no me pasa (son despistes tipo eso, ver un intervalo al revés, cambiar un número de sitio...) en cambio, esto, ha sido olvidarme totalmente de un concepto fundamental; y encima perdurando más de un día en el error.
Saludos.
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Hola
Siguiendo esa lógica habría exactamente el mismo problema con la continuidad. Si uno tiene la función \( x^2 \) definida en \( [1,+\infty) \) uno puede extenderla a la izquierda con continuidad o sin continuidad. Un ejemplo de esto último sería:
\( f(x)=\begin{cases} -2& \text{si}& x<1\\x^2 & \text{si}& x>1\end{cases} \)
¿Impide eso hablar de continuidad de una función \( f:[a,b]\to \Bbb R \) en los extremos del intervalo?. No.
Hola Luis, ¿puedes explicarme esta cita?. No la entiendo, y me parece clave para yo entender lo incorrecto de mi anterior mensaje.
Es bueno no olvidar el contexto de la cita. Tu dijiste esto (y feriva algo parecido):
El motivo es que si no conozco, por ejemplo, en el caso de \( x=a \) (análogamente por la derecha en \( x=b \)) el límite del cociente incremental a su izquierda, no sé si es derivable. Puede serlo, y puede no serlo. Pongamos
\( \begin{array}{rccc}f&:[1,+\infty)&\longrightarrow&\mathbf{R}\\&x&\mapsto&x^2\end{array} \).
Pongamos que a la izquierda de \( x=1 \) siga siendo \( f(x)=x^2 \). Entonces lo es en \( x=1 \). Pongamos sin embargo la función definida a trozos
\( f(x)=\begin{cases}{|x|}&\text{si}&-\infty<x<1\\x^2&\text{si}&1\leq{x}<+\infty\end{cases} \).
Entonces no lo es en \( x=1 \). En resumen, no sabemos si la función \( f(x)=x^2 \) es derivable en \( x=1 \), porque no tenemos información. Por eso debe ser derivable en \( (1,+\infty) \).
Es decir entiendo que afirmabas que el problema de hablar de diferenciabilidad en el extremo de un intervalo cerrado es problemático porque dependiendo de como prolonguemos la función a su izquierda la función podría ser o no derivable.
Yo lo que digo es que con ese mismo criterio habría exactamente el mismo problema con la continuidad en el extremos de un intervalo cerrado: dependiendo de como prolonguemos la función la izquierda la función podría ser o no continua.
Y sin embargo no véis ningún inconveniente en la continuidad pero si en la diferenciabilidad.
Mi opinión al respecto es que en realidad ninguno de los dos casos son problemáticos por ese motivo; no tiene sentido (en principio) especular sobre como está definida una función sobre puntos fuera de su dominio para establecer sus propiedades dentro de este.
Saludos.
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¡Hola feriva!
Te ruego que no te tomes ningún reposo. Yo desde luego no lo deseo. Ahora que estoy a punto de terminar con el temario. Espera un poco. Me falta un pelín, y te dejo en paz. Necesito tu apoyo. Luego, como mucho tres meses, te dejo tranquilo. Palabra, ¡te lo juro!.
Un saludo
-
¡Muchas gracias!
Un saludo
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¡Hola feriva!
Te ruego que no te tomes ningún reposo. Yo desde luego no lo deseo. Ahora que estoy a punto de terminar con el temario. Espera un poco. Me falta un pelín, y te dejo en paz. Necesito tu apoyo. Luego, como mucho tres meses, te dejo tranquilo. Palabra, ¡te lo juro!.
Un saludo
Muchas gracias por tu aprecio, Marcos. Pero si entiendo algo mal y no veo el error en varios días, y entre esos días te examinas, te hago la puñeta...
No obstante, venga, ya que estamos aquí.
Sobre la pregunta que le haces Luis, él dice que si tiene esta función \( f(x)=x^{2}
\) en [a,b], como es continua en todos los reales, nada le impide extenderla a un intervalo más largo; y también derivarla en el punto que sea. Mientras que yo no la entendí como una función en sí, sino como la fórmula de un trozo de función, eso es lo que te entendí; son cosas distintas. Imagina que un físico esta siguiendo la trayectoria de un cuerpo, como pueda ser un platillo volante. A lo mejor hasta donde la has seguido ha descrito una parábola, pero después puede continuar en línea recta o desaparecer y aparecer en otro sitio; ahí no tienes seguridad. Sin embargo, también es verdad que en este caso no estamos haciendo una consideración puramente matemática. Matemáticamente, si una función es continua, o continua y derivable hasta el infinito, pero la tienes definida en un intervalo [a,b], puedes considerarla en un intervalo más largo y seguirá siendo continua o continua y derivable, no va a cambiar por eso; lo cual es evidente.
Saludos.
-
¡Muchas gracias, Luis, feriva!
Un saludo
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Hola
Matemáticamente, si una función es continua, o continua y derivable hasta el infinito, pero la tienes definida en un intervalo [a,b], puedes considerarla en un intervalo más largo y seguirá siendo continua o continua y derivable, no va a cambiar por eso; lo cual es evidente.
Esto es una imprecisión y de hecho no tiene demasiado sentido.
El dominio de una función es parte de la definición de la función.
Si yo defino:
\( f:[0,4]\to \Bbb R,\qquad f(x)=x^2 \)
es una función distinta de:
\( g:\Bbb R \to \Bbb R,\qquad g(x)=x^2 \)
Entonces sobre \( f \) simplemente no tiene sentido plantearse que ocurre fuera de \( [0,4] \).
Saludos.
-
Hola
Matemáticamente, si una función es continua, o continua y derivable hasta el infinito, pero la tienes definida en un intervalo [a,b], puedes considerarla en un intervalo más largo y seguirá siendo continua o continua y derivable, no va a cambiar por eso; lo cual es evidente.
Esto es una imprecisión y de hecho no tiene demasiado sentido.
El dominio de una función es parte de la definición de la función.
Si yo defino:
\( f:[0,4]\to \Bbb R,\qquad f(x)=x^2 \)
es una función distinta de:
\( g:\Bbb R \to \Bbb R,\qquad g(x)=x^2 \)
Entonces sobre \( f \) simplemente no tiene sentido plantearse que ocurre fuera de \( [0,4] \).
Saludos.
Sí, de acuerdo, he sido impreciso y además se puede entender que he contradicho lo que he dicho antes de eso. En definitiva, si es un trozo es un trozo y no toda la función.
Muchas gracias, Luis.
Saludos.
-
Hola
Sí, de acuerdo, he sido impreciso y además se puede entender que he contradicho lo que he dicho antes de eso. En definitiva, si es un trozo es un trozo y no toda la función.
Es curioso, porque en este hilo no me hubiese a metido a matizar muchas cosas que son sutilezas que no considero muy relevantes, si no fuese porque entras tu y las matizas... ¡pero en mi opinión mal!. :D
La filosofía de lo que he dicho antes es justo la contraria a lo que marco en rojo y que dices tu.
La función:
\( f:[0,4]\to \Bbb R,\qquad f(x)=x^2 \)
No es ningún trozo de una función; no hay porque "pensarla" como trozo de nada; es una función con todas las de la ley.
Y fíjate que yo entiendo en el sentido que dices que es un trozo (porque estamos pensando en que las funciones tienen que estar definidas en todos los reales) y digamos que si se dijese de pasada no le daría importancia; pero precisamente si se entra a matizar ese aspecto, pues hay que hacerlo bien.
Saludos.
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Es curioso, porque en este hilo no me hubiese a metido a matizar muchas cosas que son sutilezas que no considero muy relevantes, si no fuese porque entras tu y las matizas... ¡pero en mi opinión mal!. :D
La filosofía de lo que he dicho antes es justo la contraria a lo que marco en rojo y que dices tu.
La función:
\( f:[0,4]\to \Bbb R,\qquad f(x)=x^2 \)
No es ningún trozo de una función; no hay porque "pensarla" como trozo de nada; es una función con todas las de la ley.
Y fíjate que yo entiendo en el sentido que dices que es un trozo (porque estamos pensando en que las funciones tienen que estar definidas en todos los reales) y digamos que si se dijese de pasada no le daría importancia; pero precisamente si se entra a matizar ese aspecto, pues hay que hacerlo bien.
Saludos.
Ah, sí, claro, el dominio de una función no tiene por qué llegar al infinito para ser una función por sí misma, había un matiz ahí, tienes razón (y cuándo no la tienes :) )
Saludos.
-
Quizás considerar la función \( f:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=|x| \) arroje un poco de luz sobre el tema.
La función es continua en \( x=0 \) pero no existe \( f'(0) \). La función no es derivable en \( [0,1] \) pero si lo es en \( (0,1) \).
EDITADO
La derivada de la función en \( x=0 \) se define como
\( f'(0)=\displaystyle\lim_{h\to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\displaystyle\frac{f(h)}{h}=\displaystyle\frac{|h|}{h}=-1 \)
\( f'(0)=\displaystyle\lim_{h\to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\displaystyle\frac{f(h)}{h}=\displaystyle\frac{|h|}{h}=1 \),
que es un absurdo.
Por otra parte, la función \( f \) no es derivable ni en \( [-1,1] \) ni en \( (-1,1) \) por que al estudiar su derivabilidad en \( x=0 \) debe ser
\( \displaystyle\lim_{h\to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h\to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}} \),
esto es, hay que estudiar ese límite por la derecha y por la izquierda del cero para poder asegurar que es derivable en cero.
En definitiva, tal y como está definida la derivada de una función en un punto, siempre se necesita considerar como se aproxima la función por la derecha y por la izquierda al punto para poder asegurar si es o no es derivable en dicho punto. En los puntos extremos, (intervalos cerrados), esto no es posible.
¿Quizás si no existiesen las funciones con "picos" se podría considerar la derivabilidad en cerrados?
Saludos.
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No tiene mucho sentido considerar la derivabilidad de la función valor absoluto en \( [0,1] \).
Considerando sólo la aproximación por la derecha en cero, es posible probar que es derivable en \( [0,1] \) cuando no lo es en \( (-1,1) \) por no serlo en \( x=0 \). Es un poco contradictorio.
Cualquier función con picos podría plantear el mismo problema.
Saludos.
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Pero si tienes un intervalo \( [a,b] \) depende del teorema que quieras demostrar si que se puede definir la derivada derecha en \( a \).
Por ejemplo para el teorema del valor medio , se pide derivada en \( (a,b) \) y continuidad en \( [a,b] \).
Para el teorema de Darboux (para derivadas) se pide derivada finita en \( [a,b] \).
Con tu ejemplo, la función valor absoluto se puede aplicar el teorema del valor medio en \( [0,1] \).
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Pero si tienes un intervalo \( [a,b] \) depende del teorema que quieras demostrar si que se puede definir la derivada derecha en \( a \).
Por ejemplo para el teorema del valor medio , se pide derivada en \( (a,b) \) y continuidad en \( [a,b] \).
Para el teorema de Darboux (para derivadas) se pide derivada finita en \( [a,b] \).
Con tu ejemplo, la función valor absoluto se puede aplicar el teorema del valor medio en \( [0,1] \).
No entiendo.
¿Es derivable en todo punto la función \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=|x| \)?
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Pero aplico el teorema del valor medio al intervalo \( [0,1] \), es evidente que la función \( f(x) = |x| \) no es derivable en \( \mathbb{R} \).
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Pero aplico el teorema del valor medio al intervalo \( [0,1] \), es evidente que la función \( f(x) = |x| \) no es derivable en \( \mathbb{R} \).
¿Y por qué no lo es?
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Pero si lo demuestras en tu propia respuesta número 44, tiene diferentes derivadas laterales en cero.
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Pero si lo demuestras en tu propia respuesta número 44, tiene diferentes derivadas laterales en cero.
Efectivamente. No es derivable en \( x=0 \) porque no existe \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}} \).
Entonces creo que estamos de acuerdo en que la función valor absoluto no es derivable en \( x=0 \).
Ahora: ¿La función \( g:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( g(x)=|x| \) es derivable en todo punto? En particular, ¿es derivable en \( x=0 \)?
??? ??? ???
EDITADO.
La función \( g \) es la función \( f \) restringida al intervalo \( [0,1] \).
Saludos y gracias.
-
Si en general el caso del punto \( a \) se denomina derivada derecha o derivada lateral derecha y se define:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \)
Para \( b \) se tiene \( \displaystyle \lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(b+h)-f(b)}{h} \) derivada izquierda en \( b \)
Editado
La función \( g \) es la función \( f \) restringida al intervalo \( [0,1] \).
Saludos y gracias.
Mira las otras respuestas, Luis lo explicó unas cuantas veces.
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Si en general el caso del punto \( a \) se denomina derivada derecha o derivada lateral derecha y se define:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \)
Para \( b \) se tiene \( \displaystyle \lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(b+h)-f(b)}{h} \) derivada izquierda en \( b \)
Editado
La función \( g \) es la función \( f \) restringida al intervalo \( [0,1] \).
Saludos y gracias.
Mira las otras respuestas, Luis lo explicó unas cuantas veces.
Pero entonces se puede llegar a la conclusión de que la función valor absoluto no es derivable en \( x=0 \) y es derivable en \( x=0 \). Es absurdo.
-
Mira las otras respuestas, Luis lo explicó unas cuantas veces.
Ya, considerando que \( g \) es \( g \) y \( f \) es \( f \). Pero sigue sin estar claro.
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Hola
Pero entonces se puede llegar a la conclusión de que la función valor absoluto no es derivable en \( x=0 \) y es derivable en \( x=0 \). Es absurdo.
Pero una función consta de tres partes: dominio, codominio y regla de correspondencia o fórmula (la gran mayoría).
Si no especificás las dos primeras es como que yo diga que la función \( f(x)=x^2 \) es biyectiva. ¿Lo es? Pues no lo sabremos hasta que el dominio y codominio queden absolutamente determinados (sea que lo digamos de forma implícita o explícita).
Saludos
-
Hola
Pero entonces se puede llegar a la conclusión de que la función valor absoluto no es derivable en \( x=0 \) y es derivable en \( x=0 \). Es absurdo.
Pero una función consta de tres partes: dominio, codominio y regla de correspondencia o fórmula (la gran mayoría).
Si no especificás las dos primeras es como que yo diga que la función \( f(x)=x^2 \) es biyectiva. ¿Lo es? Pues no lo sabremos hasta que el dominio y codominio queden absolutamente determinados (sea que lo digamos de forma implícita o explícita).
Saludos
Pero el ejemplo que pones no se ajusta al problema. El cero es común al dominio de \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) y al dominio de \( g:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \) dadas por \( f(x)=g(x)=|x| \), (la expresión es también común a ambas funciones).
El punto \( x=1 \) no presenta ese problema.
Es un poco "raro" que la derivabilidad de una función en un punto dependa del dominio considerado.
Que la biyectividad dependa del dominio no "chirría" si se elige un ejemplo más ajustado al problema:
Tanto la función \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) como la función \( g:[-1,+\infty)\rightarrow{\mathbb{R}} \) dadas por \( f(x)=x^2 \) verifican que \( f(x)=g(x)=f(-x)=g(-x) \) para todo \( x\in{[0,1]} \), esto es, ninguna de ellas, restringidas al intervalo \( [-1,1] \) (intervalo común al dominio de ambas), son biyectivas y ambas lo son si se restringen al intervalo \( [0,1] \) (intervalo también común a sus dominios).
Dicho de otra manera ¿Podrías encontrar un ejemplo en el que dos funciones con la misma expresión sean, una biyectiva y la otra no en un dominio común?
Saludos.
EDITADO.
El caso es que efectivamente como apunta Juan Pablo Sancho, se definen también las derivadas laterales.
¿Como resolver la paradoja?
Dada la función \( f:[-1,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \) determinada por \( f(x)=|x| \) resulta que:
- La derivada lateral derecha de \( f \) en \( x=0 \) es \( f'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=1 \)
- La derivada lateral izquierda de \( f \) en \( x=0 \) es \( f'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=-1 \)
- \( f \) no es derivable en \( x=0 \).
??? ??? ???
-
Después de leer y releer el hilo estoy de acuerdo con Luis Fuentes y Argentinator en que el motivo principal es que no es necesaria la derivabilidad en los extremos.
Un pequeño matiz.
Derivable en \( [a,b] \) es absurdo. En los extremos sólo se puede hablar de derivabilidad lateral. Se debe considerar que derivabilidad y derivabilidad lateral son dos conceptos distintos. Esto resuelve la paradoja.
No tiene mucho sentido complicarse en algo así como "continua en \( [a,b] \) derivable en \( (a,b) \) y derivable lateralmente en \( \{a,b\} \)."
Saludos.
-
Hola
Derivable en \( [a,b] \) es absurdo. En los extremos sólo se puede hablar de derivabilidad lateral. Se debe considerar que derivabilidad y derivabilidad lateral son dos conceptos distintos.
No tienen porque ser conceptos distintos; o en todo caso también considerarás distinto considerar la continuidad en \( a \) respecto a considerar la continuidad en un un punto interior.
Dada una función\( f:A\to \Bbb{R} \) y un punto de acumulación de \( A \), \( a\in A \) el límite:
\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \)
está perfectamente definido y uno puede decir que la función es derivable si ese límite existe; y llamar derivada al valor del límite. Y eso es válido independientemente de si el punto es interior o está en el extremo del intervalo.
Esto resuelve la paradoja.
¿Qué paradoja? ¿Desde cuando ha habido paradoja alguna en este hilo?.
No tiene mucho sentido complicarse en algo así como "continua en \( [a,b] \) derivable en \( (a,b) \) y derivable lateralmente en \( \{a,b\} \)."
Insisto en que no habría porque hablar de "lateralidad" igual que no se habla de continua lateralmente.
Saludos.
P.D. Hay algún motivo porque el que si conviene definir la derivabilidad sólo en puntos interiores del dominio. Pero no son ninguno de los que se han citado aquí. Sería otra historia.
-
Hola Luis
P.D. Hay algún motivo porque el que si conviene definir la derivabilidad sólo en puntos interiores del dominio. Pero no son ninguno de los que se han citado aquí. Sería otra historia.
Yo creo que deberías de mencionarlo. ¡Es justo lo que busca Buscón!
Saludos
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Hola
P.D. Hay algún motivo porque el que si conviene definir la derivabilidad sólo en puntos interiores del dominio. Pero no son ninguno de los que se han citado aquí. Sería otra historia.
Yo creo que deberías de mencionarlo. ¡Es justo lo que busca Buscón!
Pues porque hay propiedades típicas relacionadas con derivadas que se cumplen si consideramos la definición de derivada en un punto interior de un abierto, pero fallan si la extendemos a un extremo.
Por ejemplo si una función \( f:D\to \Bbb R \) es derivable en \( x_0\in D \) y tiene un máximo o un mínimo local en \( D \) entonces \( f'(x_0)=0 \). Esto NO es cierto si \( D=[a,b] \) y \( x_0=a \) (e.g. la función \( f(x)=x \) en \( [0,1] \)).
Saludos.
-
Después de leer y releer el hilo estoy de acuerdo con Luis Fuentes y Argentinator en que el motivo principal es que no es necesaria la derivabilidad en los extremos.
Pero eso estaba clarísimo en todo momento excepto para mí, que estaba alucinando en colores transitoriamente (como me pasa en tantos otros hilos y en cuestiones más elementales aún). El único debate que se puede considerar que ha habido es el de los líos que arma feriva :)
Saludos.
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Hola, me imagino que habrás querido decir:
Hola
P.D. Hay algún motivo porque el que si conviene definir la derivabilidad sólo en puntos interiores del dominio. Pero no son ninguno de los que se han citado aquí. Sería otra historia.
Yo creo que deberías de mencionarlo. ¡Es justo lo que busca Buscón!
Pues porque hay propiedades típicas relacionadas con derivadas que se cumplen si consideramos la definición de derivada en un punto interior de un abierto, pero fallan si la extendemos a un extremo.
Por ejemplo si una función \( f:D\to \Bbb R \) es derivable en \( x_0\in D \) y tiene un máximo o un mínimo local en \( x_0 \) entonces \( f'(x_0)=0 \). Esto NO es cierto si \( D=[a,b] \) y \( x_0=a \) (e.g. la función \( f(x)=x \) en \( [0,1] \)).
Saludos.
¿Es derivable la función \( f \) en \( [0,1] \)?
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Después de leer y releer el hilo estoy de acuerdo con Luis Fuentes y Argentinator en que el motivo principal es que no es necesaria la derivabilidad en los extremos.
Pero eso estaba clarísimo en todo momento excepto para mí, que estaba alucinando en colores transitoriamente (como me pasa en tantos otros hilos y en cuestiones más elementales aún). El único debate que se puede considerar que ha habido es el de los líos que arma feriva :)
Saludos.
No tan claro para mi también. Es más bien confianza en la sabiduría de Luis Fuentes y Argentinator. También es por exclusión, no soy capaz de encontrar otro motivo.
Saludos.
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Hola, Buscón.
No tan claro para mi también. Es más bien confianza en la sabiduría de Luis Fuentes y Argentinator. También es por exclusión, no soy capaz de encontrar otro motivo.
Saludos.
Bueno, han surgido varios aspectos que pueden tener más cosas a analizar, pero lo que era la pregunta principal del hilo, que es a lo que me refiero, “¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?”, sí estaba clarísimo.
Sencillamente, en un intervalo (a,b) no hay extremos y, por tanto, si es derivable, entonces en todos los puntos encontramos los dos límites laterales; porque de lo contrario habría extremos dentro del abierto, habría unos “últimos”, lo cual es absurdo ya por definición. Entiendo que esto es y era OBVIO para todos; menos para mí, precisamente porque transitoriamente empecé a entender (por despiste) el encaje de los intervalos al revés, con los extremos dentro de aquí (a,b) en vez de por fuera.
Nadie consideró derivar en los extremos, si bien, desde el principio del hilo, Argentinator habló de que se podía considerar la derivada sólo a un lado en un extremo; pero eso es independiente de que aquí (a,b) tengamos siempre los dos límites laterales.
Fue ese despiste mío de ver los intervalos al revés lo que lo lío todo (a más de otros despistes posteriores) no tenía nada que ver con una confusión debida a lo antintuitivo del infinito, era un despiste como tantos que tengo, lo mismo que podría haber dicho 2+2=5 y haberla liado en un problema de primaria.
Argentinator y Luis tienen razón porque la tienen, porque es así, no por ser matemáticos ni por ser muy inteligentes (que sí opino que lo son, pero eso es aparte).
Saludos.
-
Hola
¿Es derivable la función \( f \) en \( [0,1] \)?
Si, con una definición suficientemente genérica de derivabilidad como la que te indiqué aquí:
No tienen porque ser conceptos distintos; o en todo caso también considerarás distinto considerar la continuidad en \( a \) respecto a considerar la continuidad en un un punto interior.
Dada una función\( f:A\to \Bbb{R} \) y un punto de acumulación de \( A \), \( a\in A \) el límite:
\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \)
está perfectamente definido y uno puede decir que la función es derivable si ese límite existe; y llamar derivada al valor del límite. Y eso es válido independientemente de si el punto es interior o está en el extremo del intervalo.
Saludos.
-
Hola
¿Es derivable la función \( f \) en \( [0,1] \)?
Si, con una definición suficientemente genérica de derivabilidad como la que te indiqué aquí:
No tienen porque ser conceptos distintos; o en todo caso también considerarás distinto considerar la continuidad en \( a \) respecto a considerar la continuidad en un un punto interior.
Dada una función\( f:A\to \Bbb{R} \) y un punto de acumulación de \( A \), \( a\in A \) el límite:
\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \)
está perfectamente definido y uno puede decir que la función es derivable si ese límite existe; y llamar derivada al valor del límite. Y eso es válido independientemente de si el punto es interior o está en el extremo del intervalo.
Saludos.
Otro ejemplo para liar o aclarar:
La función \( f:(0,2)\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=\lfloor x\rfloor \), (parte entera), no puede ser derivable en \( x=1 \) porque es contradictorio con que toda función derivable en un punto es continua en dicho punto. Sin embargo existe
\( \displaystyle\lim_{h \to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}=\displaystyle\frac{1-1}{h}=0 \).
??? ??? ???
Saludos.
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Otro ejemplo para liar o aclarar:
La función \( f:(0,2)\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=\lfloor x\rfloor \), (parte entera), no puede ser derivable en \( x=1 \) porque es contradictorio con que toda función derivable en un punto es continua en dicho punto. Sin embargo existe
\( \displaystyle\lim_{h \to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}=\displaystyle\frac{1-1}{h}=0 \).
??? ??? ???
Independientemente de lo entresijos que tenga eso (que yo no sé, Luis dirá) está claro que las funciones derivables continuas en un intervalo [a,b] no son derivables en los extremos de forma general; ya se han puesto ejemplos particulares de algunas que no lo son. Otra cosa es que haya casos donde sí exista, y si existe, pues existe. De hecho era un punto que ha estado claro en todo momento, no se había puesto en duda.
Si se dice continua en [a,b] nadie dice nada más, no puedes asumir que la función salte bruscamente a partir de los extremos, eso lo asumes tú.
Saludos.
-
Hola
Otro ejemplo para liar o aclarar:
La función \( f:(0,2)\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=\lfloor x\rfloor \), (parte entera), no puede ser derivable en \( x=1 \) porque es contradictorio con que toda función derivable en un punto es continua en dicho punto. Sin embargo existe
\( \displaystyle\lim_{h \to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}=\displaystyle\frac{1-1}{h}=0 \).
Es que esa función NO es derivable en el punto \( x=1 \) con ninguna de las definiciones razonables de derivabilidad; desde luego no con la que te puse arriba y que es válida también para puntos extremos. Lo que yo digo simplemente es considerar el límite en el dominio de la función. Pero tu ahí, no se porqué, te acercas sólo por la derecha, cuando a la izquierda también hay puntos en el dominio de la función.
Para entender mejor lo que digo, recordemos primero como está definido el límite de una función con dominio un subconjunto de los reales (y más en general sería un caso particular de la definición de límite de una función definida en cualquier espacio topológico).
Sea \( f:D\to \Bbb R \) una función, con \( D\subset \Bbb R \) y \( x_0 \) un punto de acumulación de \( D \). Entonces decimos que \displaystyle\lim_{x \to x_0}{}f(x)=a si:
\( \forall \epsilon>0,\quad \exists \delta>0 \) tal que si \( 0<|x-x_0|<\delta,\,\color{blue}x\in D\color{black} \), entonces \( |f(x)-a|<\epsilon \)
La parte en azul es clave en lo que digo. Eso por ejemplo te permite decir que el límite de la función \( f:[0,1]\to \Bbb R \) definida como \( f(x)=x^2 \) en el punto \( x_0=1 \) es \( 1 \).
Pues ahora si \( f:D\to \Bbb R \) una función, con \( D\subset \Bbb R \) y \( x_0\in D \) un punto de acumulación de \( D \), decimos que \( f \) es derivable en \( x_0 \) si existe el límite:
\( \displaystyle\lim_{x \to x_0}{}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \)
Eso te permite aplicar la definición para una función definida en \( [0,1] \) indistintamente en un punto interior o en un punto de los extremos.
Saludos.
P.D.
Independientemente de lo entresijos que tenga eso (que yo no sé, Luis dirá) está claro que las funciones no son derivables en los extremos;
feriva esa frase es bastante confusa. Hay funciones que si son derivables en los extremos y otras que no lo son. Como hay funciones que si son derivable en puntos interiores y otras que no son. Como hay funciones continuas y otras que no lo son. Pero nadie se refiere a ese hecho diciendo "está claro que las funciones no son continuas".
-
feriva esa frase es bastante confusa. Hay funciones que si son derivables en los extremos y otras que no lo son. Como hay funciones que si son derivable en puntos interiores y otras que no son. Como hay funciones continuas y otras que no lo son. Pero nadie se refiere a ese hecho diciendo "está claro que las funciones no son continuas".
Lo cambio, Luis.
Gracias, saludos.
-
Pero tu ahí, no se porqué, te acercas sólo por la derecha, cuando a la izquierda también hay puntos en el dominio de la función.
Gracias. Entiendo, (creo).
La función \( f \) no es derivable en \( (0,2) \) pero si lo es en \( [1,2) \). En \( [1,2] \) NO es derivable por que no existe \( \displaystyle\lim_{h \to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(2+h)-f(2)}{h}} \). Lo que suceda para \( h>0 \) es irrelevante suponiendo la función definida como \( f:[1,2]\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=\lfloor x\rfloor \).
¿Correcto?
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Hola
Pero tu ahí, no se porqué, te acercas sólo por la derecha, cuando a la izquierda también hay puntos en el dominio de la función.
Gracias. Entiendo, (creo).
La función \( f \) no es derivable en \( (0,2) \) pero si lo es en \( [1,2) \). En \( [1,2] \) NO es derivable por que no existe \( \displaystyle\lim_{h \to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(2+h)-f(2)}{h}} \). Lo que suceda para \( h>0 \) es irrelevante por que ahí la función no está definida.
¿Correcto?
Es correcto. Y fíjate que todas esas disquisiciones o variaciones en la diferenciabilidad son las mismas que ocurren con la continuidad; es decir no es una problemática exclusiva de la diferenciabilidad de una función pase a ser derivable o no dependidendo de si se restringe el dominio.
Saludos.
-
Por calentar otro poco el tema.
Con esta
6.1 Definición.
Se dice que una función \( f:I\rightarrow{R} \) es derivable en un punto \( a\in{I} \), si existe el límite:
\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}} \).
Explícitamente, \( f \) es derivable en \( a \) si hay un número \( L\in{\mathbb{R}} \) verificando que para cada número \( \epsilon>0 \) existe algún número \( \delta>0 \) tal que para todo \( x\in{I} \) con \( x\neq a \) y \( |x-a|<\delta \) se tiene que:
\( \displaystyle\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-L\right|\leq{}\epsilon \)
Dicho número \( L \) se llama derivada de \( f \) en \( a \) y lo representamos por \( f'(a) \) (notación debida a Lagrange).
y esta función,
Sea \( f \) la función dada por:
\( \displaystyle f(x)=\begin{cases}2-x,&\textrm{ si }x\leq{1};\\\\2+x,&\textrm{ si }x>1.\end{cases} \)
Estudia la derivabilidad de \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \).
¿Es derivable la función \( F \) en \( x=1 \)? Aplicado al hilo: ¿Es derivable en \( [0,1] \)?
Saludos.
-
Hola
Te ayudo con la primera interrogante.
\( F:R\rightarrow{R} \)
F es una función definida en todo R, en este caso 1 es un punto interior del dominio de F, entonces es aplicable la definición puesta.
Para saber si es derivable aplicar la definición de derivada, por intuición hay que analizar directamente los límites laterales y estos han de ser iguales.
Lateral por la derecha:
\( \lim_{h \to{}0+}{\frac{F(1+h)-F(1)}{h}}=\lim_{h \to{}0+}{\frac{F(1)+\int_{1}^{1+h}(2+t) \ dt-F(1)}{h}} \)
Lateral por la izquierda :
\( \lim_{h \to{}0-}{\frac{F(1+h)-F(1)}{h}}=\lim_{h \to{}0-}{\frac{F(1)-\int_{1+h}^{1}(2-t) \ dt-F(1)}{h}} \)
Es cuestión de hallar los límites y compararlos.
Saludos
-
Hola
Te ayudo con la primera interrogante.
\( F:R\rightarrow{R} \)
F es una función definida en todo R, en este caso 1 es un punto interior del dominio de F, entonces es aplicable la definición puesta.
Para saber si es derivable aplicar la definición de derivada, por intuición hay que analizar directamente los límites laterales y estos han de ser iguales.
Lateral por la derecha:
\( \lim_{h \to{}0+}{\frac{F(1+h)-F(1)}{h}}=\lim_{h \to{}0+}{\frac{F(1)+\int_{1}^{1+h}(2+t) \ dt-F(1)}{h}} \)
Lateral por la izquierda :
\( \lim_{h \to{}0-}{\frac{F(1+h)-F(1)}{h}}=\lim_{h \to{}0-}{\frac{F(1)-\int_{1+h}^{1}(2-t) \ dt-F(1)}{h}} \)
Es cuestión de hallar los límites y compararlos.
Saludos
Gracias
\( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{2x-\frac{x^2}{2}+\frac{3}{2}}{x-1}}\neq\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{2x+\frac{x^2}{2}-1}{x-1}} \)
No coinciden. Así que según la definición dada la función \( F \) no es derivable en \( x=1 \) a pesar de que es posible calcular \( F'(1)=2-x=2-1=1 \). :o
¿Que sería lo correcto?
i) La función \( F \) es derivable en \( (0,1)\cup{(1,+\infty)} \)
ii) La función \( F \) es derivable en \( [0,1]\cup{(1,+\infty)} \)
iii) La función \( F \) es derivable en \( [0,1)\cup{(1,+\infty)} \)
iv) La función \( F \) es derivable en \( (0,1)\cup{(1,+\infty)} \), y además es derivable por la izquierda en \( x=0 \) y \( x=1 \)
Saludos.
-
Observo algunos errores en los numeradores de las expresiones para hallar los límites por la izquierda y derecha. Los doy a notar.
Por la izquierda :
\( F(x)-F(1)=2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2} \)
Por la derecha :
\( F(x)-F(1)=(\int_{0}^{1}(2-t) \ dt+\int_{1}^{x}(2+t) \ dt)-F(1)=(F(1)+2(x-1)+\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2})-F(1)=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \)
Al obtener los límites se ve que son diferentes, es conveniente verificar.
En este caso, considerando que el dominio de F es todo R, todos los puntos de su dominio incluyendo a los que pertenecen a \( [0,1] \) son puntos interiores al dominio, en consecuencia la definición puesta es aplicable.
a)Falso, no es derivable en 1, en los demás puntos de \( (0,+\infty) \) lo es. Disculpad leyendo bien es cierto
Buscón esperamos tus ideas.
Saludos
-
Observo algunos errores en los numeradores de las expresiones para hallar los límites por la izquierda y derecha. Los doy a notar.
Por la izquierda :
\( F(x)-F(1)=2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2} \)
Por la derecha :
\( F(x)-F(1)=(\int_{0}^{1}(2-t) \ dt+\int_{1}^{x}(2+t) \ dt)-F(1)=(F(1)+2(x-1)+\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2})-F(1)=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \)
\( \displaystyle f(x)=\begin{cases}2-x,&\textrm{ si }x\leq{1};\\\\2+x,&\textrm{ si }x>1.\end{cases}\Rightarrow{F(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt}=\displaystyle\int_{0}^{x}2-t\cdot{dt}=2t\bigg|_0^x-\frac{t^2}{2}\bigg|_0^x=2x-\frac{x^2}{2},&\textrm{ si }x\leq{1}\\\\\\\displaystyle\int_{1}^{x}f(t)\cdot{dt}=\displaystyle\int_{1}^{x}2+t\cdot{dt}=2t\bigg|_1^x+\frac{t^2}{2}\bigg|_1^x=2x+\frac{x^2}{2},&\textrm{ si }x>1\end{cases}} \)
de donde
\( \displaystyle F(x)-F(1)=2x-\frac{x^2}{2}-\left(2\cdot{(1)}-\frac{1^2}{2}\right)=2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2} \) por la izquierda, y
\( \displaystyle F(x)-F(1)=2x+\frac{x^2}{2}-\left(2\cdot{(1)}+\frac{1^2}{2}\right)=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \) por la derecha
Efectivamente llevas razón.
Al obtener los límites se ve que son diferentes, es conveniente verificar.
En este caso, considerando que el dominio de F es todo R, todos los puntos de su dominio incluyendo a los que pertenecen a \( [0,1] \) son puntos interiores al dominio, en consecuencia la definición puesta es aplicable.
a)Falso, no es derivable en 1, en los demás puntos de \( (0,+\infty) \) lo es.
Buscón esperamos tus ideas.
Saludos
Para verificar que son distintos. La ecuación \( \displaystyle 2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \) tiene por soluciones \( x=\pm{1} \) y \( -1\not\in{[0,+\infty)} \).
El dominio de \( F \) no es todo \( \mathbb{R} \) el dominio de \( F \) está implícito en su definición \( \displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \), sería \( [0,+\infty) \)
¿Es \( F \) derivable en \( x=0 \)?
Saludos.
-
a)Falso, no es derivable en 1, en los demás puntos de \( (0,+\infty) \) lo es. Disculpad leyendo bien es cierto
Creo que no lo es. Estaba mejor antes. El teorema fundamental del cálculo,
Spoiler
8.16 Teorema (Teorema fundamental del Cálculo). Sea \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función integrable y definamos \( F:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \) por:\( F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt\tag{8.6} \)
para todo \( x\in{[a,b]} \). Entonces: i) \( F \) es continua en \( [a,b] \). ii) En todo punto \( c \) de \( [a,b] \) en el que \( f \) sea continua se verifica que \( F \) es derivable en dicho
punto siendo \( F'(c)=f(c) \). En particular, si \( f \) es continua en \( [a,b] \), entonces \( F \) es derivable
en \( [a,b] \) y \( F'(x)=f(x) \) para todo \( x\in{[a,b]} \).
En el punto \( x=0 \) la función es considerada continua por el punto i) del teorema, luego debería ser derivable en él.
El punto i) del teorema afirma que la función integral es continua, no que lo sea la función integrando. :banghead:
Aplicando la definición tampoco es derivable por que no existe el límite requerido. El límite debe ser único y está probado que el de la izquierda no coincide con el de la derecha.
La función \( F_{\big|[0,1]} \), la función \( F \) restringida al intervalo \( [0,1] \) si es derivable en \( [0,1] \).
Creo que me estoy aclarando un poco. Ya dirán ustedes. Saludos y gracias.
CORREGIDO.
-
Al obtener los límites se ve que son diferentes, es conveniente verificar.
En este caso, considerando que el dominio de F es todo R, todos los puntos de su dominio incluyendo a los que pertenecen a \( [0,1] \) son puntos interiores al dominio, en consecuencia la definición puesta es aplicable.
a)Falso, no es derivable en 1, en los demás puntos de \( (0,+\infty) \) lo es.
Buscón esperamos tus ideas.
Saludos
Para verificar que son distintos. La ecuación \( \displaystyle 2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \) tiene por soluciones \( x=\pm{1} \) y \( -1\not\in{[0,+\infty)} \).
El dominio de \( F \) no es todo \( \mathbb{R} \) el dominio de \( F \) está implícito en su definición \( \displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \), sería \( [0,+\infty) \)
¿Es \( F \) derivable en \( x=0 \)?
Saludos.
Claro el dominio de F esta implícito en su definición, es decir en \( F(x)=\int_{0}^{x}f(t) \ dt \) esto implica que por ejemplo \( -1\in{D(F)} \) la razón es que \( \exists{F(-1)}=\int_{0}^{-1}f(t) \ dt=-\int_{-1}^{0}(2-t) \ dt=-(2(1)-(-\frac{1}{2}))=- \ (\frac{5}{2}) \) es decir el dominio de F es R incluye a los negativos. Otra cosa diferente es que directamente se diga en el enunciado que el dominio de F es por ejemplo \( [a,b] \) o algo por el estilo; pero por no estar en el enunciado esta aseveración se ha de considerar lo que implica su definición.
Saludos
Nota : Respecto a la diferencia de los límites laterales, lo mejor es hallarlos y se ve la diferencia.
-
Al obtener los límites se ve que son diferentes, es conveniente verificar.
En este caso, considerando que el dominio de F es todo R, todos los puntos de su dominio incluyendo a los que pertenecen a \( [0,1] \) son puntos interiores al dominio, en consecuencia la definición puesta es aplicable.
a)Falso, no es derivable en 1, en los demás puntos de \( (0,+\infty) \) lo es.
Buscón esperamos tus ideas.
Saludos
Para verificar que son distintos. La ecuación \( \displaystyle 2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \) tiene por soluciones \( x=\pm{1} \) y \( -1\not\in{[0,+\infty)} \).
El dominio de \( F \) no es todo \( \mathbb{R} \) el dominio de \( F \) está implícito en su definición \( \displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \), sería \( [0,+\infty) \)
¿Es \( F \) derivable en \( x=0 \)?
Saludos.
Claro el dominio de F esta implícito en su definición, es decir en \( F(x)=\int_{0}^{x}f(t) \ dt \) esto implica que por ejemplo \( -1\in{D(F)} \) la razón es que \( \exists{F(-1)}=\int_{0}^{-1}f(t) \ dt=-\int_{-1}^{0}(2-t) \ dt=-(2(1)-(-\frac{1}{2}))=- \ (\frac{5}{2}) \) es decir el dominio de F es R incluye a los negativos. Otra cosa diferente es que directamente se diga en el enunciado que el dominio de F es por ejemplo \( [a,b] \) o algo por el estilo; pero por no estar en el enunciado esta aseveración se ha de considerar lo que implica su definición.
Ahi va! Pues también llevas razón. Gracias. Suerte que para el caso que nos ocupa no cambia básicamente nada. La \( \displaystyle\int_{-\infty0}^{1}f(t)\cdot{dt} \) se puede tomar como \( \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\cdot{dt} \) sin que influya en los conceptos que se están debatiendo. Pero que conste que llevas razón.
Lo que si que tendré que corregir es el hilo correspondiente.
Nota : Respecto a la diferencia de los límites laterales, lo mejor es hallarlos y se ve la diferencia.
Por la izquierda \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}}=2-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=0 \),
por la derecha \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x>1}{2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2}}=2+\frac{1}{2}-\frac{5}{2}=0 \).
:o :o :o
Al cambiar los intervalos de integración cambia el valor de las integrales.
\( \displaystyle f(x)=\begin{cases}2-x,&\textrm{ si }x\leq{1};\\\\2+x,&\textrm{ si }x>1.\end{cases}\Rightarrow{F(x)=\begin{cases}\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{}\int_{1}^{x}f(t)\cdot{dt}=\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{} -\int_{x}^{1}2-t\cdot{dt}=\lim_{x \to{-}\infty}{}-2t\bigg|_x^1+\frac{t^2}{2}\bigg|_x^1=\lim_{x \to{-}\infty}{}\frac{-x^2-1}{2},&\textrm{ si }x\leq{1}\\\\\\\displaystyle\int_{1}^{x}f(t)\cdot{dt}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\int_{1}^{x}2+t\cdot{dt}=\lim_{x \to{+}\infty}{}2t\bigg|_1^x+\frac{t^2}{2}\bigg|_1^x=\lim_{x \to{+}\infty}{}\frac{4x-x^2-3}{2},&\textrm{ si }x>1\end{cases}} \)
Ahora para la derivada, los límites laterales son
Por la izquierda \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{\frac{-x^2-1}{2}-\frac{-1-1}{2}}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{1-x^2}{2x-2}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{-2x}{2}}=-1 \), y
por la derecha \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\displaystyle\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{\frac{4x-x^2-3}{2}-\frac{-1-1}{2}}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{4x-x^2-1}{2x-2}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{-2x+4}{2}}=1 \),
que es obvio que no coinciden.
-
Lo relevante del ejemplo para el hilo es que es posible decir que una función es derivable en un abierto, (la función \( F \) es derivable en \( (-\infty,1)\cup{(1,+\infty)} \), o que una función es derivable en un cerrado, (la función \( F_{|_{[0,1]}} \) es derivable en \( [0,1] \)), sin contradecir ni la definición de derivada ni el teorema fundamental del cálculo integral.
Saludos.
-
La función \( f:[-1,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \) definida por \( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \), (semicircunferencia superior de radio 1 centrada en el origen), es continua en \( [-1,1] \) pero no existe la derivada en sus extremos.
Para probar que cumple el teorema de Rolle se debe exigir que sea continua en \( [-1,1] \), que verifique que \( f(-1)=f(1) \) y por supuesto que sea derivable en \( (-1,1) \). No se puede exigir que sea derivable en \( [-1,1] \) porque entonces no se podría probar que verifica el teorema de Rolle al no cumplir las hipótesis.
Saludos.
-
Yo creo más bien que es al contrario, aunque tampoco lo sé con seguridad. En el caso de algunos teoremas como el de Rolle, aunque no es el único, bastaría con definir la continuidad y la derivabilidad en el abierto (a,b), pero es necesario establecer cuales son los valores de dicha función en ambos puntos, si no se exige la continuidad no se puede afirmar que dichos valores existan, pero podría enunciarse dicho teorema aceptando que existen los límites interiores para la función y la derivada en dichos extremos y el teorema funcionaría igual, creo. No sé si me explico, se acepta que la función es continua y derivable en (a,b) y se acepta además que existen los límites en a por la derecha y en b por la izquierda para la función y la derivada, creo que bastaría para que se cumplieran las condiciones (siempre que se acepten dichos límites como los valores extremos de la función y su derivada). O bien bastaría con establecer la continuidad en el intervalo cerrado para tener el problema resuelto. Creo que no tiene demasiado interés la cuestión.
-
Yo creo más bien que es al contrario, aunque tampoco lo sé con seguridad. En el caso de algunos teoremas como el de Rolle, aunque no es el único, bastaría con definir la continuidad y la derivabilidad en el abierto (a,b), pero es necesario establecer cuales son los valores de dicha función en ambos puntos, si no se exige la continuidad no se puede afirmar que dichos valores existan, pero podría enunciarse dicho teorema aceptando que existen los límites interiores para la función y la derivada en dichos extremos y el teorema funcionaría igual, creo. No sé si me explico, se acepta que la función es continua y derivable en (a,b) y se acepta además que existen los límites en a por la derecha y en b por la izquierda para la función y la derivada, creo que bastaría para que se cumplieran las condiciones (siempre que se acepten dichos límites como los valores extremos de la función y su derivada). O bien bastaría con establecer la continuidad en el intervalo cerrado para tener el problema resuelto. Creo que no tiene demasiado interés la cuestión.
El teorema de Rolle funciona siempre sea cual sea el método utilizado para demostrarlo. Por eso es un teorema.
Para demostrarlo apoyándose en el teorema de Wieirstrass y en la condición necesaria de extremo relativo se necesita que el intervalo sea cerrado.
Es más, para que funcione siempre se ha de relajar la condición de derivabilidad al intervalo abierto.
-
Hola
El teorema de Rolle funciona siempre sea cual sea el método utilizado para demostrarlo. Por eso es un teorema.
Para demostrarlo apoyándose en el teorema de Wieirstrass y en la condición necesaria de extremo relativo se necesita que el intervalo sea cerrado.
Efectivamente la continuidad en \( [a,b] \) es imprescindible para que se cumpla el Teorema de Rolle.
Es más, para que funcione siempre se ha de relajar la condición de derivabilidad al intervalo abierto.
No entiendo que quieres decir con esa frase.
Saludos.
-
Hola
El teorema de Rolle funciona siempre sea cual sea el método utilizado para demostrarlo. Por eso es un teorema.
Para demostrarlo apoyándose en el teorema de Wieirstrass y en la condición necesaria de extremo relativo se necesita que el intervalo sea cerrado.
Efectivamente la continuidad en \( [a,b] \) es imprescindible para que se cumpla el Teorema de Rolle.
Es más, para que funcione siempre se ha de relajar la condición de derivabilidad al intervalo abierto.
No entiendo que quieres decir con esa frase.
Saludos.
Pues si se exige como hipótesis del Teorema de Rolle que la función \( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \) sea derivable en \( [-1,1] \) no se puede decir nada sobre si dicha función verifica o no verifica el teorema, no cumple las hipótesis.
-
Hola
Pues si se exige como hipótesis del Teorema de Rolle que la función \( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \) sea derivable en \( [-1,1] \) no se puede decir nada sobre si dicha función verifica o no verifica el teorema, no cumple las hipótesis.
Es confuso lo que estás diciendo, por no decir incorrecto.
Si a un Teorema cierto se le añaden hipótesis, se construyen otros teoremas que también serán ciertos. Lo que pasa es que al añadirle hipótesis se podrán aplicar en menos casos que el original.
Saludos.
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Hola
Pues si se exige como hipótesis del Teorema de Rolle que la función \( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \) sea derivable en \( [-1,1] \) no se puede decir nada sobre si dicha función verifica o no verifica el teorema, no cumple las hipótesis.
Es confuso lo que estás diciendo, por no decir incorrecto.
Si a un Teorema cierto se le añaden hipótesis, se construyen otros teoremas que también serán ciertos. Lo que pasa es que al añadirle hipótesis se podrán aplicar en menos casos que el original.
Saludos.
Discrepo. No es una buena idea restringir el ámbito de aplicación de un teorema. Al contrario interesa extenderlo. En este caso se consigue relajando la condición de la derivabilidad al abierto.
¿No está claro que no se puede aplicar el Teorema de Rolle a la función \( f:[-1,1] \) definida por \( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \) si cambiamos la hipótesis del teorema "derivable en \( (-1,1) \)" por la hipótesis "derivable en \( [-1,1] \)"?
-
Hola
¿No está claro que no se puede aplicar el Teorema de Rolle a la función \( f:[-1,1] \) definida por \( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \) si cambiamos la hipótesis del teorema "derivable en \( (-1,1) \)" por la hipótesis "derivable en \( [-1,1] \)"?
Si.
Discrepo. No es una buena idea restringir el ámbito de aplicación de un teorema. Al contrario interesa extenderlo. En este caso se consigue relajando la condición de la derivabilidad al abierto.
Pero yo no estoy hablando de si es buena idea o mala idea, el sentido de si es más o menos interesante decidirse por unas u otras hipótesis. Mi comentario venía a cuento de esta afirmación:
Es más, para que funcione siempre se ha de relajar la condición de derivabilidad al intervalo abierto.
Parece que da a entender que si no se imponen esas condiciones más relajadas el Teorema dejaría de funcionar. Cuando no es así. El Teorema seguiría funcionando (entendiendo que un teorema funciona cuando es cierto) pero se podría aplicar a menos funciones.
De hecho podría darse una versión del Teorema de Rolle con hipótesis todavía más relajadas. Por ejemplo, para funciones \( f:[a,b]\to \Bbb R \) continuas y derivables en \( (a,b) \) y tales que los límites \( \lim_{x \to a^+}{}f(x) \) y \( \lim_{x \to b^-}{}f(x) \) existen y coinciden.
Con ese enunciado el Teorema podría aplicarse a más funciones que el usual. ¿Qué pasa entonces con el Teorema de Rolle usual? ¿Lo tiramos a la basura?¿No es una buena idea?. No. El Teorema de Rolle tiene un buen equilibrio entre la sencillez de su enunciado y su funcionalidad.
Saludos.
-
De hecho podría darse una versión del Teorema de Rolle con hipótesis todavía más relajadas. Por ejemplo, para funciones \( f:[a,b]\to \Bbb R \) continuas y derivables en \( (a,b) \) y tales que los límites \( \lim_{x \to a^+}{}f(x) \) y \( \lim_{x \to b^-}{}f(x) \) existen y coinciden.
Eh? No veo que añadir una condición más relaje las condiciones.
Con ese enunciado el Teorema podría aplicarse a más funciones que el usual.
No consigo verlo. Veo lo contrario. Son condiciones más restrictivas. ¿No?
EDITADO.
Ah vale, disculpa. Cambiando la hipótesis \( f(a)=f(b) \) por la que has puesto. Aunque casi viene siendo la misma, esos límites son \( f(a) \) y \( f(b) \). No veo el relax.
-
Hola
No consigo verlo. Veo lo contrario. Son condiciones más restrictivas. ¿No?
EDITADO.
Ah vale, disculpa. Cambiando la hipótesis \( f(a)=f(b) \) por la que has puesto. Aunque casi viene siendo la misma, esos límites son \( f(a) \) y \( f(b) \). No veo el relax.
Las hipótesis del teorema de Rolle usual son:
1) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R \).
2) \( f \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \).
3) \( f(a)=f(b) \).
Las hipótesis del teorema de Rolle modificado que te propuse son:
A) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R \).
B) \( f \) es continua en \( (a,b) \) y derivable en \( (a,b) \).
C) Existen Y COINCIDEN los límites \( \lim_{x \to a^+}{}f(x) \) y \( \lim_{x \to b^-}{}f(x) \) .
Las condiciones 1 y A) son las mismas.
Las condiciones 2) y 3) implican las condiciones B) y C), pero no al revés. Entonces a toda función a la que aplicas el Teorema de Rolle usual puedes aplicar mi versión; pero hay funciones a las que puedes aplicar la versión que propuse, pero a las que no puedes aplicar el Teorema de Rolle usual.
Por ejemplo piensa en la función:
\( f:[-1,1]\to \Bbb R \)
\( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in (-1,1)\\x & \text{si}& |x|=1\end{cases} \)
Saludos.
CORREGIDO.
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Hola
No consigo verlo. Veo lo contrario. Son condiciones más restrictivas. ¿No?
EDITADO.
Ah vale, disculpa. Cambiando la hipótesis \( f(a)=f(b) \) por la que has puesto. Aunque casi viene siendo la misma, esos límites son \( f(a) \) y \( f(b) \). No veo el relax.
Las hipótesis del teorema de Rolle usual son:
1) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R \).
2) \( f \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \).
3) \( f(a)=f(b) \).
Las hipótesis del teorema de Rolle modificado que te propuse son:
A) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R \).
B) \( f \) es continua en \( (a,b) \) y derivable en \( (a,b) \).
C) Existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{}f(x) \) y \( \lim_{x \to b^-}{}f(x) \).
Las condiciones 1 y A) son las mismas.
Las condiciones 2) y 3) implican las condiciones B) y C), pero no al revés. Entonces a toda función a la que aplicas el Teorema de Rolle usual puedes aplicar mi versión; pero hay funciones a las que puedes aplicar la versión que propuse, pero a las que no puedes aplicar el Teorema de Rolle usual.
Por ejemplo piensa en la función:
\( f:[-1,1]\to \Bbb R \)
\( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in (-1,1)\\x & \text{si}& |x|=1\end{cases} \)
Saludos.
Sea \( g:[-1,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \) \( g(x)=x^2 \). que me aspen si \( g\neq f \)
EDITADO.
Ah perdón. La función \( f \) no es continua en \( [-1,1] \). No se puede asegurar que alcance un máximo y un mínimo absolutos. No cumple las hipótesis del Teorema de Weierstrass.
No digo que no se pueda probar de otra manera que la función \( f \) cumple el Teorema de Rolle, pero no puede hacerse usando el de Weierstrass
-
Tienes que \( f \) no es continua en \( -1 \) por ser \( f(-1) = -1 \neq g(-1) \)
-
Tienes que \( f \) no es continua en \( -1 \) por ser \( f(-1) = -1 \neq g(-1) \)
Te adelantaste.
-
Hola
Ah perdón. La función \( f \) no es continua en \( [-1,1] \). No se puede asegurar que alcance un máximo y un mínimo absolutos. No cumple las hipótesis del Teorema de Weierstrass.
No digo que no se pueda probar de otra manera que la función \( f \) cumple el Teorema de Rolle, pero no puede hacerse usando el de Weierstrass
Pero como se demuestre el resultado que digo ya es otra cuestión. Simplemente digo que tiene la misma conclusión que el de Rolle pero con hipótesis más débiles (y más feas).
Spoiler
Para probarlo basta tener en cuenta que la condición (C) permite redefinir una función \( F \) continua en \( [a,b] \), derivable en \( (a,b) \), que cumple con las hipótesis de Rolle y que coincide con la original \( f \) en \( (a,b) \). Si quieres completa los detalles.
Saludos.
-
Hola
Ah perdón. La función \( f \) no es continua en \( [-1,1] \). No se puede asegurar que alcance un máximo y un mínimo absolutos. No cumple las hipótesis del Teorema de Weierstrass.
No digo que no se pueda probar de otra manera que la función \( f \) cumple el Teorema de Rolle, pero no puede hacerse usando el de Weierstrass
Pero como se demuestre el resultado que digo ya es otra cuestión. Simplemente digo que tiene la misma conclusión que el de Rolle pero con hipótesis más débiles (y más feas).
Spoiler
Para probarlo basta tener en cuenta que la condición (C) permite redefinir una función \( F \) continua en \( [a,b] \), derivable en \( (a,b) \), que cumple con las hipótesis de Rolle y que coincide con la original \( f \) en \( (a,b) \). Si quieres completa los detalles.
Saludos.
No sabría. Gracias.
-
Las hipótesis del teorema de Rolle usual son:
1) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R \).
2) \( f \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \).
3) \( f(a)=f(b) \).
Las hipótesis del teorema de Rolle modificado que te propuse son:
A) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R \).
B) \( f \) es continua en \( (a,b) \) y derivable en \( (a,b) \).
C) Existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{}f(x) \) y \( \lim_{x \to b^-}{}f(x) \).
Las condiciones 1 y A) son las mismas.
Las condiciones 2) y 3) implican las condiciones B) y C), pero no al revés. Entonces a toda función a la que aplicas el Teorema de Rolle usual puedes aplicar mi versión; pero hay funciones a las que puedes aplicar la versión que propuse, pero a las que no puedes aplicar el Teorema de Rolle usual.
Por ejemplo piensa en la función:
\( f:[-1,1]\to \Bbb R \)
\( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in (-1,1)\\x & \text{si}& |x|=1\end{cases} \)
Saludos.
Pues es lo mismo que trato de explicar.
Las hipótesis del teorema de Rolle restrictivo son:
1) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R \).
2) \( f \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( \color{red}[a,b] \).
3) \( f(a)=f(b) \).
Las hipótesis del Teorema de Rolle usual son:
A) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R \).
B) \( f \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \).
C) \( f(a)=f(b) \).
La condición 2) implica la condición B), pero no al revés. Entonces a toda función a la que aplicas el Teorema de Rolle restrictivo puedes aplicar el Teorema de Rolle usual; pero hay funciones a las que puedes aplicar el teorema de Rolle usual, pero a las que no puedes aplicar el Teorema de Rolle restrictivo.
Por ejemplo piensa en la función:
\( f:[-1,1]\to \Bbb R \)
\( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \).
Saludos.
-
Hola
No sabría. Gracias.
No me lo creo. ::) ;)
Lo que creo es que no lo has intentado de verdad. Si es así en todo caso puedes encontrar un punto concreto donde te atasque. Pero te he dado un esbozo del camino; es imposible que ni tan siquiera puedas empezar a recorrer ese camino.
Saludos.
-
Hola
Pues es lo mismo que trato de explicar.
Las hipótesis del teorema de Rolle restrictivo son:
1) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R \).
2) \( f \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( \color{red}[a,b] \).
3) \( f(a)=f(b) \).
Las hipótesis del Teorema de Rolle usual son:
A) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R \).
B) \( f \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \).
C) \( f(a)=f(b) \).
La condición 2) implica la condición B), pero no al revés. Entonces a toda función a la que aplicas el Teorema de Rolle restrictivo puedes aplicar el Teorema de Rolle usual; pero hay funciones a las que puedes aplicar el teorema de Rolle usual, pero a las que no puedes aplicar el Teorema de Rolle restrictivo.
Por ejemplo piensa en la función:
\( f:[-1,1]\to \Bbb R \)
\( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \).
¡Buf! ¡Pero nadie te ha dicho lo contrario en ese punto!¡De acuerdo!.
Simplemente lo que digo que la versión del Teorema de Rolle con hipótesis más exigentes sigue siendo válida, aunque se pueda aplicar a menos funciones. Igualmente puede darse una versión del Teorema de Rolle con hipótesis menos exigentes que las usuales, que se podría aplicar a más funciones que el habitual.
Esto viene a cuento porque en tus frases anteriores dabas a entender como si el Teorema de Rolle tuviese las hipótesis "justas" ni más ni menos; y una versión con otras hipótesis no estuviese bien. Pues no; pueden hacerse versione con hipótesis más restrictivas o menos restrictivas, todas ellas válidas.
Saludos.
-
Esto viene a cuento porque en tus frases anteriores dabas a entender como si el Teorema de Rolle tuviese las hipótesis "justas" ni más ni menos; y una versión con otras hipótesis no estuviese bien. Pues no; pueden hacerse versione con hipótesis más restrictivas o menos restrictivas, todas ellas válidas.
Trataba de justificar el "¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?" del hilo. En el caso del Teorema de Rolle se puede justificar diciendo que así se puede aplicar a más funciones.
Releyendo el hilo me acabo de dar cuenta de que ya estaba contemplada la idea. Sólo es más de lo mismo.
Más de lo mismo, al tener derivabilidad en \( (a,b) \) y continuidad en \( [a,b] \) Tenemos que en \( a \) sólo se exige que :
\( \displaystyle f(a) = \lim_{h \to 0^+} f(a+h) \) en contra si se exige derivabilidad en \( [a,b] \) se exige una condición más fuerte:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \) como dijo Argentinator en su primer mensaje al pedir una condición más fuerte en los extremos perdemos muchas funciones en la que se puede verificar el teorema.
Ejemplo (Para el teorema de Rolle):
\( \displaystyle f(x) = x \cdot \sen(\dfrac{1}{x}) \) con \( x \in ]0,\dfrac{1}{\pi}] \) y \( f(0)=0 \).
\( \displaystyle g(x) = \sqrt{1-x^2} \) para \( x \in [-1,1] \)
EDITADO.
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Ya me está picando la curiosidad.
¿Cómo se prueba tu teorema?
Las hipótesis del teorema de Rolle modificado que te propuse son:
A) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R \).
B) \( f \) es continua en \( (a,b) \) y derivable en \( (a,b) \).
C) Existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{}f(x) \) y \( \lim_{x \to b^-}{}f(x) \).
Se trata de probar que existe algún punto \( c\in{(a,b)} \) tal que \( f'(c)=0 \). ¿No?
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Hola
No sabría. Gracias.
No me lo creo. ::) ;)
Lo que creo es que no lo has intentado de verdad. Si es así en todo caso puedes encontrar un punto concreto donde te atasque. Pero te he dado un esbozo del camino; es imposible que ni tan siquiera puedas empezar a recorrer ese camino.
Saludos.
Vamos allá.
Teorema de Rolle modificado.
Sea \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua en \( (a,b) \), derivable en \( (a,b) \) y verificando que existen \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)} \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)} \). Entonces existe algún punto \( c\in{(a,b)} \)
tal que \( f'(c)=0 \)
¿Correcto el enunciado?
Así a bote pronto, antes de empezar con la demostración, se me ocurre que la función \( f:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=x \) es continua en \( (0,1) \), es derivable en \( (0,1) \), y verifica que existen \( \displaystyle\lim_{x \to{0}\\x>0}{x}=0 \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{x}=1 \), pero para todo \( x\in{(0,1)} \) es \( f'(x)=1 \), esto es, no existe \( c\in{(0,1)} \) tal que \( f'(c)=0 \).
-
Hola
Perdona. Cuando escribí las tres condiciones separadas omití un detalle fundamental que si había escrito al principio. Es:
Las hipótesis del teorema de Rolle modificado que te propuse son:
A) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R \).
B) \( f \) es continua en \( (a,b) \) y derivable en \( (a,b) \).
C) Existen Y COINCIDEN los límites \( \lim_{x \to a^+}{}f(x) \) y \( \lim_{x \to b^-}{}f(x) \) .
Por tanto sería:
Teorema de Rolle modificado.
Sea \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua en \( (a,b) \), derivable en \( (a,b) \) y verificando que existen y coinciden \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)} \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)} \). Entonces existe algún punto \( c\in{(a,b)} \)
tal que \( f'(c)=0 \)
¿Correcto el enunciado?
Saludos.
-
De la respuesta:
Para probarlo basta tener en cuenta que la condición (C) permite redefinir una función \( F \) continua en \( [a,b] \), derivable en \( (a,b) \), que cumple con las hipótesis de Rolle y que coincide con la original \( f \) en \( (a,b) \). Si quieres completa los detalles.
se deduce que Luis ha querido decir que existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{f(x)} \), \( \lim_{x \to b^-}{f(x)} \), que tienen el mismo valor (digamos \( A \)), y que apliques el teorema de Rolle a la función
\( F(x)=\begin{cases}{A}&\text{si}& x=a \\ {A}&\text{si}& x=b\\f(x) & \text{si}& a<x<b.\end{cases} \)
P.D. Se adelantó Luis.
-
Por tanto sería:
Teorema de Rolle modificado.
Sea \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua en \( (a,b) \), derivable en \( (a,b) \) y verificando que existen y coinciden \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)} \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)} \). Entonces existe algún punto \( c\in{(a,b)} \)
tal que \( f'(c)=0 \)
¿Correcto el enunciado?
Saludos.
Entonces chupao. Si esos límites existen y coinciden entonces la función es continua en \( [a,b] \) con \( f(a)=f(b) \) y el Teorema de Rolle modificado se reduce al Teorema de Rolle.
Es falso.
CORREGIDO.
-
Hola
Entonces chupao. Si esos límites existen y coinciden entonces la función es continua en \( [a,b] \) con \( f(a)=f(b) \) y el Teorema de Rolle modificado se reduce al Teorema de Rolle.
Deberías de plantearte porque muchos de tus hilo se alargan páginas y páginas con decenas y decenas de mensajes. En mi opinión llega un momento que se hacen difíciles de seguir; uno olvida lo que ya se había dicho. Alguna vez me habías dicho que a ti si te aprovechaba darle tantas vueltas; pero no veo que sea así. Tu mismo terminas por olvidar las cosas que ya tenías claras con las primeras respuestas.
Bajo mi punto de vista (y esto viene a cuento de tu última respuesta) uno de los motivos de la longitud de estos hilos, es que a veces respondes con lo primero que te viene a la cabeza; sin reflexionar. Sin dedicarle tiempo, papel y lápiz a la cuestión. Incluso a los pocos minutos tu mismo te desdices, una vez que has reflexionado. Eso soló contribuye al ruído y caos en el debate.
Entonces con calma. Reflexiona. ¿Qué esos límites laterales en puntos distintos existan y coincidan entre si realmente implica la continuidad de la función?... Revisa el hilo; algún ejemplo que se puso. En fin...
Saludos.
-
Hola
Entonces chupao. Si esos límites existen y coinciden entonces la función es continua en \( [a,b] \) con \( f(a)=f(b) \) y el Teorema de Rolle modificado se reduce al Teorema de Rolle.
Deberías de plantearte porque muchos de tus hilo se alargan páginas y páginas con decenas y decenas de mensajes. En mi opinión llega un momento que se hacen difíciles de seguir; uno olvida lo que ya se había dicho. Alguna vez me habías dicho que a ti si te aprovechaba darle tantas vueltas; pero no veo que sea así. Tu mismo terminas por olvidar las cosas que ya tenías claras con las primeras respuestas.
Pues imagina si no se las doy ;D
Bajo mi punto de vista (y esto viene a cuento de tu última respuesta) uno de los motivos de la longitud de estos hilos, es que a veces respondes con lo primero que te viene a la cabeza; sin reflexionar. Sin dedicarle tiempo, papel y lápiz a la cuestión. Incluso a los pocos minutos tu mismo te desdices, una vez que has reflexionado. Eso soló contribuye al ruído y caos en el debate.
Si, me he precipitado. Me di cuenta en cuanto publiqué. Te ruego que por favor me disculpes. Ten en cuenta que también me despistó un poco tu error al omitir que esos límites debían coincidir. No estoy con ello tratando de disculpar mi grave error conceptual al creer que la existencia del límite de una función en un punto implica la continuidad de la función en dicho punto. El recíproco si es cierto. Esto no es baladí!
Una cosa lleva a otra. Todo contribuye al aprendizaje. Todo el mundo puede leer los hilos y su longitud no influye en su precio. Se te olvida algo fundamental, quien no se equivoca no aprende. ¿Porqué? Pues por que lo que está haciendo ya lo tiene bien aprendido y no falla. Yo veo este foro como una manera amena de aprender temas que a veces parecen de lo más engorrosos. Quizás en eso también me estoy equivocando, ya me dirás.
Ahora viene lo "rico" "rico".
Entonces con calma. Reflexiona. ¿Qué esos límites laterales en puntos distintos existan y coincidan entre si realmente implica la continuidad de la función?... Revisa el hilo; algún ejemplo que se puso. En fin...
Saludos.
Una cuestión realmente interesante y que a mi juicio eclipsa la longitud del hilo, aún no teniendo nada que ver con su propósito inicial. Mi respuesta un poco más reflexionada es: no en \( [a,b]. \)
En cuanto a la demostración del Teorema de Rolle modificado no veo como garantizar la existencia de los máximo y mínimo absolutos en \( [a,b] \) si la función no es continua en \( [a,b] \).
Saludos, gracias y disculpas por las precipitaciones.
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Se me ocurre de momento.
Si \( f \) es constante entonces puede ser \( \displaystyle f(x)\leq{}\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)} \) o \( \displaystyle \lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)}\leq{f(x)} \) para todo \( x\in{(a,b)} \) pero no veo como probar las igualdades.
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se deduce que Luis ha querido decir que existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{f(x)} \), \( \lim_{x \to b^-}{f(x)} \), que tienen el mismo valor (digamos \( A \)), y que apliques el teorema de Rolle a la función
\( F(x)=\begin{cases}{A}&\text{si}& x=a \\ {A}&\text{si}& x=b\\f(x) & \text{si}& a<x<b.\end{cases} \)
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se deduce que Luis ha querido decir que existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{f(x)} \), \( \lim_{x \to b^-}{f(x)} \), que tienen el mismo valor (digamos \( A \)), y que apliques el teorema de Rolle a la función
\( F(x)=\begin{cases}{A}&\text{si}& x=a \\ {A}&\text{si}& x=b\\f(x) & \text{si}& a<x<b.\end{cases} \)
Vale, gracias. Adaptando un poco la notación para sentirme más cómodo:
Teorema de Rolle modificado
Sea \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua en \( (a,b) \), derivable en \( (a,b) \) y verificando que \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)}=L \). Entonces existe algún punto \( c\in{(a,b)} \) tal que \( f'(c)=0. \)
Demostración.
Por casos. En primer lugar para el caso en que \( f(a)=f(b)=L \) la función \( f \) es continua en \( [a,b] \) y el Teorema de Rolle modificado se reduce al Teorema de Rolle.
En segundo lugar, suponiendo que \( f(a)=f(b)\neq L \) y \( f \) constante se tiene que
\( \forall{\,\epsilon>0}.\;\exists{\,\delta>0}:\;\;\;\left.\begin{matrix}|x-a|<\delta\\\\x\in{(a,b)}\end{matrix}\right\}\Rightarrow{\big|f(x)-L\big|<\epsilon} \)
de donde, por ser \( f \) constante,
\( L-\epsilon<f(x)<\epsilon+L \) para todo \( x\in{(a,b)} \)
lo que garantiza que \( f \) alcanza un máximo y un mínimo absolutos, y a su vez, la Condición necesaria de extremo relativo garantiza que su derivada se anula en algún punto.
Espero que sea correcto hasta aquí. Falta probarlo para el caso en el que \( f(a)=f(b)\neq L \) y \( f \) no es constante. No consigo ver como.
Continuará...
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Hola
Si, me he precipitado. Me di cuenta en cuanto publiqué. Te ruego que por favor me disculpes. Ten en cuenta que también me despistó un poco tu error al omitir que esos límites debían coincidir. No estoy con ello tratando de disculpar mi grave error conceptual al creer que la existencia del límite de una función en un punto implica la continuidad de la función en dicho punto.
Pero yo no te critico por tus errores. Todos los cometemos. Y como bien dices se aprende de ellos. Critico tu excesiva precipitación en plasmar tus ideas poco masticadas en el foro. Eso hace que hagan falta 6 mensajes intermedios para descartar errores tontos, que en el fondo tu mismo habrías detectado y llegar a las cuestiones más interesantes y profundas.
O por ejemplo: un mensaje para decir que no serías capaz de demostrarlo. Otro para responderte que creo que si. Otro para tu intento de demostración... ¡Directamente podrías haber intentado una demostracion!, y de nuevo el hilo se haría más amable para el lector.
Una cosa lleva a otra. Todo contribuye al aprendizaje. Todo el mundo puede leer los hilos y su longitud no influye en su precio.
Lo bueno si breve dos veces bueno. La excesiva longitud es un defecto. ¿Qué a veces surge por lo intrincado del debate?. Bien. Pero como te dije antes a veces hay giros y vueltas por simple precipitación.
Se te olvida algo fundamental, quien no se equivoca no aprende. ¿Porqué? Pues por que lo que está haciendo ya lo tiene bien aprendido y no falla.
De acuerdo, pero ya te dije que no es esa la cuestión.
Yo veo este foro como una manera amena de aprender temas que a veces parecen de lo más engorrosos. Quizás en eso también me estoy equivocando, ya me dirás.
No estás equivocado. De acuerdo.
se deduce que Luis ha querido decir que existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{f(x)} \), \( \lim_{x \to b^-}{f(x)} \), que tienen el mismo valor (digamos \( A \)), y que apliques el teorema de Rolle a la función
\( F(x)=\begin{cases}{A}&\text{si}& x=a \\ {A}&\text{si}& x=b\\f(x) & \text{si}& a<x<b.\end{cases} \)
Vale, gracias. Adaptando un poco la notación para sentirme más cómodo:
¿¡Pero por qué no sigues el camino qué te propuse usando la función auxiliar \( F \) que tienes ahí arriba!?.
Spoiler
Sería:
1) Definirla (lo tienes hecho arriba).
2) Comprobar que cumple las hipótesis del Teorema de Rolle clásico.
3) Deducir que existe \( c\in (a,b) \) tal que \( F'(c)=0 \).
4) Dado que \( F=f \) en \( (a,b) \) concluir de lo anterior que también \( f'(c)=F'(c)=0 \).
Teorema de Rolle modificado
Sea \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua en \( (a,b) \), derivable en \( (a,b) \) y verificando que \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)}=L \). Entonces existe algún punto \( c\in{(a,b)} \) tal que \( f'(c)=0. \)
Demostración.
Por casos. En primer lugar para el caso en que \( f(a)=f(b)=L \) la función \( f \) es continua en \( [a,b] \) y el Teorema de Rolle modificado se reduce al Teorema de Rolle.
En segundo lugar, suponiendo que \( f(a)=f(b)\neq L \) y \( f \) constante se tiene que
\( \forall{\,\epsilon>0}.\;\exists{\,\delta>0}:\;\;\;\left.\begin{matrix}|x-a|<\delta\\\\x\in{(a,b)}\end{matrix}\right\}\Rightarrow{\big|f(x)-L\big|<\epsilon} \)
de donde, por ser \( f \) constante,
Pero no entiendo esa distinción de casos. Si \( f \) es constante todo es trivial; el caso carece de interés.
Saludos.
-
se deduce que Luis ha querido decir que existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{f(x)} \), \( \lim_{x \to b^-}{f(x)} \), que tienen el mismo valor (digamos \( A \)), y que apliques el teorema de Rolle a la función
\( F(x)=\begin{cases}{A}&\text{si}& x=a \\ {A}&\text{si}& x=b\\f(x) & \text{si}& a<x<b.\end{cases} \)
Vale, gracias. Adaptando un poco la notación para sentirme más cómodo:
¿¡Pero por qué no sigues el camino qué te propuse usando la función auxiliar \( F \) que tienes ahí arriba!?.
Spoiler
Sería:
1) Definirla (lo tienes hecho arriba).
2) Comprobar que cumple las hipótesis del Teorema de Rolle clásico.
3) Deducir que existe \( c\in (a,b) \) tal que \( F'(c)=0 \).
4) Dado que \( F=f \) en \( (a,b) \) concluir de lo anterior que también \( f'(c)=F'(c)=0 \).
Eh? ¿Deducir que \( F \) es continua en \( [a,b] \) y que \( F(a)=F(b) \)? No entiendo.
Teorema de Rolle modificado
Sea \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua en \( (a,b) \), derivable en \( (a,b) \) y verificando que \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)}=L \). Entonces existe algún punto \( c\in{(a,b)} \) tal que \( f'(c)=0. \)
Demostración.
Por casos. En primer lugar para el caso en que \( f(a)=f(b)=L \) la función \( f \) es continua en \( [a,b] \) y el Teorema de Rolle modificado se reduce al Teorema de Rolle.
En segundo lugar, suponiendo que \( f(a)=f(b)\neq L \) y \( f \) constante se tiene que
\( \forall{\,\epsilon>0}.\;\exists{\,\delta>0}:\;\;\;\left.\begin{matrix}|x-a|<\delta\\\\x\in{(a,b)}\end{matrix}\right\}\Rightarrow{\big|f(x)-L\big|<\epsilon} \)
de donde, por ser \( f \) constante,
Pero no entiendo esa distinción de casos. Si \( f \) es constante todo es trivial; el caso carece de interés.
Saludos.
Pues por coger el toro por algún cuerno. Un teorema no se formula y demuestra para una función en particular, es una generalización de algún resultado y debe contemplar todos los posibles.
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Hola
Eh? ¿Deducir que \( F \) es continua en \( [a,b] \) y que \( F(a)=F(b) \)? No entiendo.
¿Pero exactamente qué no entiendes?
Veamos, el problema del "Teorema de Rolle modificado" es que la función \( f \) pudiera no ser continua en los extremos \( a \) y \( b \).
Se te propone que tomes una función alternativa que \( F \), igualita que \( f \) en el interior \( (a,b) \), pero precisamente modificando su valor en los extremos \( a \) y \( b \). ¿Cómo lo modificamos? Precisamente para garantizar la continuidad dando en los extremos el valor límite de la función en cada uno de ellos. Más allá del formalismo, ¿entiendes la idea?. REFLEXIONA y pregunta.
Saludos.
-
Hola
Eh? ¿Deducir que \( F \) es continua en \( [a,b] \) y que \( F(a)=F(b) \)? No entiendo.
¿Pero exactamente qué no entiendes?
Veamos, el problema del "Teorema de Rolle modificado" es que la función \( f \) pudiera no ser continua en los extremos \( a \) y \( b \).
Se te propone que tomes una función alternativa que \( F \), igualita que \( f \) en el interior \( (a,b) \), pero precisamente modificando su valor en los extremos \( a \) y \( b \). ¿Cómo lo modificamos? Precisamente para garantizar la continuidad dando en los extremos el valor límite de la función en cada uno de ellos. Más allá del formalismo, ¿entiendes la idea?. REFLEXIONA y pregunta.
Saludos.
No sé si lo que propones es redefinir \( F \) y hacer \( F(a)=F(b)=\displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{\color{red}\cancel{\color{black}F}\color{red}f\color{black}(x)}=\lim_{x \to{b}\\x<b}{\color{red}\cancel{\color{black}F}\color{red}f\color{black}(x)} \). ¿Es eso?
CORREGIDO.
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No, mas bien:
\( \color{red} F(a)=F(b)=\displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{\color{red} f(x)\color{black}}=\lim_{x \to{b}\\x<b}{\color{red} f(x)\color{black}} \).
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No, mas bien:
\( \color{red} F(a)=F(b)=\displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{\color{red} f(x)\color{black}}=\lim_{x \to{b}\\x<b}{\color{red} f(x)\color{black}} \).
Si gracias, eso quería poner. ¿Es eso?
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Si.
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Si.
Ah vale, pero no acabo de ver la utilidad como teorema. Se usa el teorema de Rolle usual, valga la redundancia, para probar que una función concreta que no verifica sus hipótesis también puede verificar el teorema si se transforma de la manera adecuada para que verifique esas hipótesis.
No sé, un poco extraño y enrevesado. No es lo mismo que imponer la condición de derivabilidad en el abierto o en el cerrado. Al imponer la derivabilidad en el abierto el teorema se extiende sin más, sin necesidad de transformar las funciones ni usar el teorema más restringido para probarlo.
Me parece mucho más enriquecedor, sin quitarle mérito al camino propuesto por Luis Fuentes, probar este
Teorema de Rolle modificado
Sea \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua en \( (a,b) \), derivable en \( (a,b) \) y verificando que \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)}=L \). Entonces existe algún punto \( c\in{(a,b)} \) tal que \( f'(c)=0. \)
que también propuso, sin utilizar el Teorema de Rolle usual.
Saludos.
-
Hola
Ah vale, pero no acabo de ver la utilidad como teorema.
La "utilidad" de la versión del Teorema de Rolle modificado que te propuse es mostrarte que igual que pueden enunciarse variantes con hipótesis más exigentes, se pueden enunciar variantes con hipótesis menos exigentes. Esto venía a cuento porque en algún momento me pareció que defendía que el Teorema de Rolle usual tenía las justas y necesarias y que ni más ni menos era "adecuado" o "válido".
Se usa el teorema de Rolle usual, valga la redundancia, para probar que una función concreta que no verifica sus hipótesis también puede verificar el teorema si se transforma de la manera adecuada para que verifique esas hipótesis.
No sé, un poco extraño y enrevesado. No es lo mismo que imponer la condición de derivabilidad en el abierto o en el cerrado. Al imponer la derivabilidad en el abierto el teorema se extiende sin más, sin necesidad de transformar las funciones ni usar el teorema más restringido para probarlo.
Me parece mucho más enriquecedor, sin quitarle mérito al camino propuesto por Luis Fuentes, probar este
Teorema de Rolle modificado
Sea \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua en \( (a,b) \), derivable en \( (a,b) \) y verificando que \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)}=L \). Entonces existe algún punto \( c\in{(a,b)} \) tal que \( f'(c)=0. \)
que también propuso, sin utilizar el Teorema de Rolle usual.
mmmm...todo esto me hace dudar de que hayas entendido la demostración que hemos propuesto.
Hablas de "Me parece mucho más enriquecedor [...] probar este [...] que también propuso", como si fuese distinto de otra cosa que yo haya propuesto o del resultado que se demuestra como te indicamos. Yo sólo he propuesto ESE teorema que indicas; y te hemos indicado como probar ESE teorema y NO otro.
La función auxiliar \( F \) se utiliza de manera transitoria en la demostración, pero sirve para probar que finalmente \( f \) tiene el punto \( c \) donde \( f'(c)=0 \). No me queda claro que hayas entendido esa cuestión.
El que se use en esa prueba el Teorema de Rolle clásico y a ti no te guste... pues no sé, es subjetivo. Uno podría evitar usarlo, aplicando sobre \( F \) la misma demostración que se hace del Teorema de Rolle clásico. Pero eso es liarse innecesariamente y buscarle tres pies al gato.
Por ejemplo el Teorema del valor medio de Lagrange (que no deja de ser una generalización del Teorema de Rolle) se prueba normalmente construyendo una función auxiliar y aplicando sobre la misma el Teorema de Rolle.
La variante del Teorema de Rolle que te propuse tiene un interés muy limitado a los motivos que te indiqué al principio de esta respuesta; y su demostración es casi lo de menos. En ese sentido sería bueno que entendiese la idea de la demostración, más que la formalices al 100%. Porque la idea es muy clara y en el fondo dice que esa reformulación del Teorema que hice es en realidad un pequeño maquillaje del Teorema original.
Saludos.
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mmmm...todo esto me hace dudar de que hayas entendido la demostración que hemos propuesto.
Hablas de "Me parece mucho más enriquecedor [...] probar este [...] que también propuso", como si fuese distinto de otra cosa que yo haya propuesto o del resultado que se demuestra como te indicamos. Yo sólo he propuesto ESE teorema que indicas; y te hemos indicado como probar ESE teorema y NO otro.
Si. Queda mucho mejor y para el caso que ocupa es más adecuado. Pero no sé, no me convence. Eso no es otra cosa que aplicar el Teorema de Rolle. No es enunciar un teorema más extenso y probarlo. Por el camino que indicas la función que propones verifica el Teorema de Rolle sin tocarle ni un pelo al teorema. Incluso una función que no sea continua lo puede verificar sin tocarle ni un pelo.
Sea \( f:[-1,1]\rightarrow{\mathbb{R}}( \) dada por \( f(x)=\begin{cases}\sen(x),&\textrm{si }x\neq \pi/4\\\\0,&\textrm{si }x=\pi/4\end{cases} \)
Sólo hay que definir la función \( F(x)=f(x) \) en \( [0,\pi/4)\cup{(\pi/4,\pi]} \) y \( F(\pi/4)=\sen(\pi/4) \) y comprobar que \( F \) verifica el Teorema de Rolle y por lo tanto...
El que se use en esa prueba el Teorema de Rolle clásico y a ti no te guste... pues no sé, es subjetivo. Uno podría evitar usarlo, aplicando sobre \( F \) la misma demostración que se hace del Teorema de Rolle clásico. Pero eso es liarse innecesariamente y buscarle tres pies al gato.
Totalmente subjetivo. Estoy de acuerdo.
Por ejemplo el Teorema del valor medio de Lagrange (que no deja de ser una generalización del Teorema de Rolle) se prueba normalmente construyendo una función auxiliar y aplicando sobre la misma el Teorema de Rolle.
No es lo mismo, se usa el teorema de Rolle y una función auxiliar para probar el Teorema del valor o medio, no para probar que la función auxiliar verifica el teorema de Rolle.
La variante del Teorema de Rolle que te propuse tiene un interés muy limitado a los motivos que te indiqué al principio de esta respuesta; y su demostración es casi lo de menos. En ese sentido sería bueno que entendiese la idea de la demostración, más que la formalices al 100%. Porque la idea es muy clara y en el fondo dice que esa reformulación del Teorema que hice es en realidad un pequeño maquillaje del Teorema original.
Si, gracias, no estaría demás intentar demostrarlo.
Una vez en este punto y ciñéndonos a la cuestión planteada en el hilo.
¿Porqué en el teorema de Rolle se exige derivabilidad en \( (a,b) \) en vez de derivabilidad en \( [a,b] \)?
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Hola
Si. Queda mucho mejor y para el caso que ocupa es más adecuado. Pero no sé, no me convence. Eso no es otra cosa que aplicar el Teorema de Rolle. No es enunciar un teorema más extenso y probarlo.
Si, si es enunciar un teorema más extenso y probarlo. Y eso no es discutible. El Teorema modificado es mas extenso (en el sentido de que se puede aplicar a más funciones) que el de Rolle y te he indicado como demostrarlo.
Por el camino que indicas la función que propones verifica el Teorema de Rolle sin tocarle ni un pelo al teorema. Incluso una función que no sea continua lo puede verificar sin tocarle ni un pelo.
Sea \( f:[-1,1]\rightarrow{\mathbb{R}}( \) dada por \( f(x)=\begin{cases}\sen(x),&\textrm{si }x\neq \pi/4\\\\0,&\textrm{si }x=\pi/4\end{cases} \)
Sólo hay que definir la función \( F(x)=f(x) \) en \( [0,\pi/4)\cup{(\pi/4,\pi]} \) y \( F(\pi/4)=\sen(\pi/4) \) y comprobar que \( F \) verifica el Teorema de Rolle y por lo tanto...
No estoy seguro de que quieres decir con eso. Pero ojo con ese ejemplo. El problema es que si la función auxiliar \( F \) no coincide con \( f \) en el abierto \( (a,b) \) no podemos garantizar que \( F'(c)=0 \) implique \( f'(c)=0 \).
Por ejemplo el Teorema del valor medio de Lagrange (que no deja de ser una generalización del Teorema de Rolle) se prueba normalmente construyendo una función auxiliar y aplicando sobre la misma el Teorema de Rolle.
No es lo mismo, se usa el teorema de Rolle y una función auxiliar para probar el Teorema del valor o medio, no para probar que la función auxiliar verifica el teorema de Rolle.
Con cosas como esta me siguen quedando dudas de que entiendas la demostración propuesta. Tanto en el Teorema del valor medio como en el Teorema modificado que propuse se construye una función auxilar, se prueba que esa función auxiliar cumple el Teorema de Rolle y de ahí se deduce que la función original cumple lo que afirmábamos. Así que...si.. es bastante parecido.
¿Porqué en el teorema de Rolle se exige derivabilidad en \( (a,b) \) en vez de derivabilidad en \( [a,b] \)?
Vaya por delante que en general no hay una razón 100% objetiva por el cuál tal o cual Teorema se enuncia con unas hipótesis o con otras. Como ocurre en este caso y en casi todos, una misma tesis puede conseguirse con diferentes hipótesis. Que se elijan unas hipótesis concretas para enunciar el resultado puede deberse a múltiples razones: históricas, elegancia del resultado, simplicidad de las mismas, ámbito de aplicación del resultado que permiten, en fin... La única premisa objetiva por supuesto es que las hipótesis elegidas hagan que el Teorema sea cierto.
1) Fundamentalmente: porque no es necesaria la deravilibidad en \( [a,b] \) para que se cumpla la tesis del Teorema.
2) Motivo muy menor y poco aplicable al caso del Tº de Rolle: Porque aunque se puede definir la derivabilidad en puntos extremos de un intervalo cerrado, el comportamiento de esa derivada por un lado sólo tiene ciertas particularidades que la diferencian de la derivada en un punto interior (se explico en el hilo tiempo atrás).No obstante eso no tendría trascendencia para el Teorema de Rolle.
Saludos.
-
1) Fundamentalmente: porque no es necesaria la deravilibidad en \( [a,b] \) para que se cumpla la tesis del Teorema.
2) Motivo muy menor y poco aplicable al caso del Tº de Rolle: Porque aunque se puede definir la derivabilidad en puntos extremos de un intervalo cerrado, el comportamiento de esa derivada por un lado sólo tiene ciertas particularidades que la diferencian de la derivada en un punto interior (se explico en el hilo tiempo atrás).No obstante eso no tendría trascendencia para el Teorema de Rolle.
¿Que abarque más no tiene nada que ver?
Si, gracias me has convencido, estoy de acuerdo en que la razón fundamental es que no hace falta. El teorema dice "Entonces existe un punto \( c\in{(a,b)} \)...", y no, "Entonces existe un punto \( c\in{[a,b]} \)..."
Una vez aclarado esto, me imagino a Michel Rolle tomando la decisión, ¿derivable en el abierto, derivable en el cerrado?
-
Me sigue picando la curiosidad sobre el teorema de Rolle modificado que propusiste. ¿Como probar que una función \( f \) continua en un intervalo \( (a,b) \), verificando que existen \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)} \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)} \) alcanza máximo y mínimo absolutos en \( (a,b) \)?
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Pero no tiene que abarcar el máximo y el mínimo, si tomas :
\( f(x) = x^2 \) para \( x \in ]-1,1[ \) y \( f(-1) = f(1) = \dfrac{1}{2} \) esta función tiene mínimo, pero no tiene máximo.
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Pero no tiene que abarcar el máximo y el mínimo, si tomas :
\( f(x) = x^2 \) para \( x \in ]-1,1[ \) y \( f(-1) = f(1) = \dfrac{1}{2} \) esta función tiene mínimo, pero no tiene máximo.
Si, efectivamente, gracias. Entonces se puede relajar la condición.
¿Como probar que una función \( f \) continua en un intervalo \( (a,b) \), verificando que existen \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)} \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)} \) alcanza un extremo absoluto en \( (a,b) \)?
EDITADO.
¿Quizás incluso se podría relajar aún más a extremo relativo?
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Pero esta resuelto, está probado que existe \( c \in (a,b) \) con \( f'(c) = 0 \) y este \( c \) proviene al aplicar la demostración usual del teorema de Rolle al caso que pone Luis y este a su vez en su demostración viene por ser derivable y abarcar un máximo o mínimo en el interior.
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Pero esta resuelto, está probado que existe \( c \in (a,b) \) con \( f'(c) = 0 \) y este \( c \) proviene al aplicar la demostración usual del teorema de Rolle al caso que pone Luis y este a su vez en su demostración viene por ser derivable y abarcar un máximo o mínimo en el interior.
Si, está resuelto, Luis probó el teorema de Rolle utilizando el teorema de Rolle. Se trata de probarlo sin utilizar el Teorema de Rolle.
Ahora no se trata de probar que la función \( f(x) = x^2 \) para \( x \in ]-1,1[ \) y \( f(-1) = f(1) = \dfrac{1}{2} \) verifica el teorema de Rolle. Ahora se trata de demostrar el
Teorema de Rolle modificado
Sea \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua en \( (a,b) \), derivable en \( (a,b) \) y verificando que \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)}=L \). Entonces existe algún punto \( c\in{(a,b)} \) tal que \( f'(c)=0. \)
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Pero lo que pongo es que se usa exactamente la misma demostración que en el teorema de Rolle al redefinir la función en dos puntos.
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Teorema de Rolle superextendido.
Sea \( f:A\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función cualquiera verificando que existen \( u,v\in{A},\;\;\; (u<v) \) donde \( f \) es continua en \( [u,v]\subset{A} \), derivable en \( (u,v) \) y tiene un extremo relativo en \( [u,v] \).
Entonces existe \( c\in{A} \) tal que \( f'(c)=0 \).
Demostración.
Basta aplicar el Teorema de Rolle al intervalo \( [u,v] \).
Esto es, basta que una función tenga un extremo relativo en un subintervalo donde sea continua y derivable para asegurar que existe \( c\in{A} \) verificando \( f'(c)=0 \).
Como estrategia va bien, como Teorema deja mucho que desear.
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1) Fundamentalmente: porque no es necesaria la deravilibidad en \( [a,b] \) para que se cumpla la tesis del Teorema.
2) Motivo muy menor y poco aplicable al caso del Tº de Rolle: Porque aunque se puede definir la derivabilidad en puntos extremos de un intervalo cerrado, el comportamiento de esa derivada por un lado sólo tiene ciertas particularidades que la diferencian de la derivada en un punto interior (se explico en el hilo tiempo atrás).No obstante eso no tendría trascendencia para el Teorema de Rolle.
¿Que abarque más no tiene nada que ver?
Si, gracias me has convencido, estoy de acuerdo en que la razón fundamental es que no hace falta. El teorema dice "Entonces existe un punto \( c\in{(a,b)} \)...", y no, "Entonces existe un punto \( c\in{[a,b]} \)...". Con ser la función derivable en \( (a,b) \), suficiente.
Una vez aclarado esto, me imagino a Michel Rolle tomando la decisión, ¿derivable en el abierto, derivable en el cerrado?
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Hola
Teorema de Rolle superextendido.
Sea \( f:A\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función cualquiera verificando que existen \( u,v\in{A},\;\;\; (u<v) \) donde \( f \) es continua en \( [u,v]\subset{A} \), derivable en \( (u,v) \) y tiene un extremo relativo en \( [u,v] \).
Entonces existe \( c\in{A} \) tal que \( f'(c)=0 \).
No se si querías poner otra cosa, pero eso Teorema es falso. Por ejemplo \( f:[0,1]\to \Bbb R \), \( f(x)=x \) cumple las hipótesis pero no la tesis.
Por otra parte la condición de existencia de extremo es relativo en \( [u,v] \) es reiterativa; se sigue inmediatamente de la continuidad.
Saludos.
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Hola
Teorema de Rolle superextendido.
Sea \( f:A\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función cualquiera verificando que existen \( u,v\in{A},\;\;\; (u<v) \) donde \( f \) es continua en \( [u,v]\subset{A} \), derivable en \( (u,v) \) y tiene un extremo relativo en \( [u,v] \).
Entonces existe \( c\in{A} \) tal que \( f'(c)=0 \).
No se si querías poner otra cosa, pero eso Teorema es falso. Por ejemplo \( f:[0,1]\to \Bbb R \), \( f(x)=x \) cumple las hipótesis pero no la tesis.
Por otra parte la condición de existencia de extremo es relativo en \( [u,v] \) es reiterativa; se sigue inmediatamente de la continuidad.
Saludos.
\( f \) no tiene extremos relativos en \( [0,1] \). Tiene extremos absolutos en \( [0,1] \).
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Hola
\( f \) no tiene extremos relativos en \( [0,1] \). Tiene extremos absolutos en \( [0,1] \).
Todo extremo absoluto es también un extremo relativo. Un extremo relativo es un extremo en un entorno del punto; adicionalmente será o no absoluto si es extremo en todo el dominio de la función.
Saludos.
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Hola
\( f \) no tiene extremos relativos en \( [0,1] \). Tiene extremos absolutos en \( [0,1] \).
Todo extremo absoluto es también un extremo relativo. Un extremo relativo es un extremo en un entorno del punto; adicionalmente será o no absoluto si es extremo en todo el dominio de la función.
Saludos.
¿Y así?
Teorema de Rolle superextendido.
Sea \( f:A\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función cualquiera verificando que existen \( u,v\in{\color{red}\mathcal{int}\color{black}(A)},\;\;\; (u<v) \) donde \( f \) es continua en \( [u,v]\subset{A} \), derivable en \( (u,v) \) y tiene un extremo relativo en \( [u,v] \).
Entonces existe \( c\in{A} \) tal que \( f'(c)=0 \).
Demostración.
Basta aplicar el Teorema de Rolle al intervalo \( [u,v] \).
Saludos.
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Hola
¿Y así?
Teorema de Rolle superextendido.
Sea \( f:A\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función cualquiera verificando que existen \( u,v\in{\color{red}\mathcal{int}\color{black}(A)},\;\;\; (u<v) \) donde \( f \) es continua en \( [u,v]\subset{A} \), derivable en \( (u,v) \) y tiene un extremo relativo en \( [u,v] \).
Entonces existe \( c\in{A} \) tal que \( f'(c)=0 \).
No. ¿Qué pasa por ejemplo con \( f:A=\Bbb R\to \Bbb R \), \( f(x)=x \) y \( [u,v]=[0,1] \).
Demostración.
Basta aplicar el Teorema de Rolle al intervalo \( [u,v] \).
No puedes aplicar Rolle en \( [u,v] \) sin tener garantizado que \( f(u)=f(v) \) cosa que no se sigue de las hipótesis que has puesto.
Saludos.
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Hola
¿Y así?
Teorema de Rolle superextendido.
Sea \( f:A\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función cualquiera verificando que existen \( u,v\in{\color{red}\mathcal{int}\color{black}(A)},\;\;\; (u<v) \) donde \( f \) es continua en \( [u,v]\subset{A} \), derivable en \( (u,v) \) y tiene un extremo relativo en \( \color{red}(\color{black}u,v\color{red}) \).
Entonces existe \( c\in{A} \) tal que \( f'(c)=0 \).
No. ¿Qué pasa por ejemplo con \( f:A=\Bbb R\to \Bbb R \), \( f(x)=x \) y \( [u,v]=[0,1] \).
Que los extremos del intervalo pueden ser extremos absolutos y por lo tanto también relativos sin ser puntos interiores.
Demostración.
Basta aplicar el Teorema de Rolle al intervalo \( [u,v] \).
No puedes aplicar Rolle en \( [u,v] \) sin tener garantizado que \( f(u)=f(v) \) cosa que no se sigue de las hipótesis que has puesto.
Saludos.
Si en \( c\in{(u,v)} \) hay un extremo relativo, en \( [c-r,c+r]\subset{(u,v)} \), \( r>0 \), sí se puede.
CORREGIDO.
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Hola
Si en \( c\in{(u,v)} \) hay un extremo relativo, en \( [c-r,c+r]\subset{(u,v)} \), \( r>0 \), sí se puede.
CORREGIDO.
Es cierto que si en un punto \( c \) del interior del domino hay un extremo relativo, puede encontrarse un intervalo \( [p,q] \) cerrado que lo contenga cumpliendo \( f(p)=f(q) \) y por tanto donde aplicar directamente el Teorema de Rolle. Pero tendrías que probarlo rigurosamente. En cualquier caso no sería la forma lógica de probar tu resultado; bastaría usar la propiedad conocida de que si una función tiene un extremo relativo en un punto del interior donde es diferenciable entonces la derivada se anula.
Saludos.
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Hola
Si en \( c\in{(u,v)} \) hay un extremo relativo, en \( [c-r,c+r]\subset{(u,v)} \), \( r>0 \), sí se puede.
CORREGIDO.
Es cierto que si en un punto \( c \) del interior del domino hay un extremo relativo, puede encontrarse un intervalo \( [p,q] \) cerrado que lo contenga cumpliendo \( f(p)=f(q) \) y por tanto donde aplicar directamente el Teorema de Rolle. Pero tendrías que probarlo rigurosamente.
El teorema del valor intermedio garantiza que existe \( z_0\in{(c-r,c+r)\subset{(u,v)}} \) tal que \( f(z_0)=\max\{f(c-r),f(c+r)\} \) (resp. \( f(z_0)=\min\{f(c-r),f(c+r)\} \)) si \( f(c) \) es un máximo relativo (resp. mínimo relativo), de \( f \) en \( (u,v) \),
En cualquier caso no sería la forma lógica de probar tu resultado; bastaría usar la propiedad conocida de que si una función tiene un extremo relativo en un punto del interior donde es diferenciable entonces la derivada se anula.
Saludos.
Ya, pero tampoco es lógico el teorema de Rolle superextendido. Buscar una estrategia para poder aplicar el Teorema de Rolle a una función que en principio no verifica las hipótesis del teorema no modifica para nada el Teorema de Rolle.
Saludos.
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Hola
El teorema del valor intermedio garantiza que existe \( z_0\in{(c-r,c+r)\subset{(u,v)}} \) tal que \( f(z_0)=\max\{f(c-r),f(c+r)\} \) (resp. \( f(z_0)=\min\{f(c-r),f(c+r)\} \)) si \( f(c) \) es un máximo relativo (resp. mínimo relativo), de \( f \) en \( (u,v) \),
Bueno... más o menos.
Ya, pero tampoco es lógico el teorema de Rolle superextendido. Buscar una estrategia para poder aplicar el Teorema de Rolle a una función que en principio no verifica las hipótesis del teorema no modifica para nada el Teorema de Rolle.
No se que decirte. El que te has metido con eso del "Teorema de Rolle superxtendido" eres tú. No se porqué. Tampoco sé que significado das "a no ser lógico" ahí (no ser interesante, no ser razonable, ser una falacia lógica). Tampoco sé a que viene esa reflexión en rojo.
En resumen: no sé a que vienen tus últimos mensajes.
Saludos.
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Ya, pero tampoco es lógico el teorema de Rolle superextendido. Buscar una estrategia para poder aplicar el Teorema de Rolle a una función que en principio no verifica las hipótesis del teorema no modifica para nada el Teorema de Rolle.
No se que decirte. El que te has metido con eso del "Teorema de Rolle superxtendido" eres tú. No se porqué. Tampoco sé que significado das "a no ser lógico" ahí (no ser interesante, no ser razonable, ser una falacia lógica). Tampoco sé a que viene esa reflexión en rojo.
En resumen: no sé a que vienen tus últimos mensajes.
Son derivaciones a las que se ha llegado debidas a la cuestión original. ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?
¿Sigues pensando que el hecho de que así se abarcan más supuestos no tiene nada que ver?
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Hola
Son derivaciones a las que se ha llegado debidas a la cuestión original. ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?
Si tu lo dices... para mi no viene a cuento.
¿Sigues pensando que el hecho de que así se abarcan más supuestos no tiene nada que ver?
No estoy seguro de a que te refieres; casi preferiría que citases mi afirmación concreta y te diré entonces si sigo pensando lo mismo (lo normal es que si).
Sea como sea, vuelvo a mi idea de que hilos tan largos son difíciles de seguir y terminan siendo poco clarificadores. Incluso para ti. La pregunta:
¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?
Ya ha sido respondida en el hilo. Es más, lo esencial es lo que se dijo ya en la primera respuesta de argentinator:
- Que en muchos teoremas no hace falta la derivabilidad en los extremos. Cito
"Así que el otro motivo que se me ocurre es que, para los teoremas que se están demostrando, es suficiente pedir continuidad en el intervalo para que el teorema sea cierto. O sea, no hace falta pedir la condición más fuerte de derivabilidad, y el teorema es aún cierto."
- Que la definición de derivada en el extremo de un intervalo puede hacerse pero presenta ciertas particularidades y comportamientos diferentes del esperado. Cito:
Un motivo podría ser la definición de derivada, que necesita que uno se acerque a ambos lados del punto donde está calculando la derivada.
Si x = a, el extremo del intervalo, no puedo acercarme por izquierda en el límite del cociente incremental.
Aún así eso no sería mayor problema, porque uno podría aceptar que en el extremo la función sea derivable tan sólo por derecha, lo cual tiene sentido.
Al o largo del hilo yo he incidido al menos dos veces en esas ideas, la última hace poco:
Vaya por delante que en general no hay una razón 100% objetiva por el cuál tal o cual Teorema se enuncia con unas hipótesis o con otras. Como ocurre en este caso y en casi todos, una misma tesis puede conseguirse con diferentes hipótesis. Que se elijan unas hipótesis concretas para enunciar el resultado puede deberse a múltiples razones: históricas, elegancia del resultado, simplicidad de las mismas, ámbito de aplicación del resultado que permiten, en fin... La única premisa objetiva por supuesto es que las hipótesis elegidas hagan que el Teorema sea cierto.
1) Fundamentalmente: porque no es necesaria la deravilibidad en \( [a,b] \) para que se cumpla la tesis del Teorema.
2) Motivo muy menor y poco aplicable al caso del Tº de Rolle: Porque aunque se puede definir la derivabilidad en puntos extremos de un intervalo cerrado, el comportamiento de esa derivada por un lado sólo tiene ciertas particularidades que la diferencian de la derivada en un punto interior (se explico en el hilo tiempo atrás). No obstante eso no tendría trascendencia para el Teorema de Rolle.
Entonces mi sensación es que a medida que enredas en una nueva y rebuscada pregunta olvidas las respuestas ya dadas y lejos de aclararte, te confundes más.
No se si te has planteado alguna vez en este tipo de hilos monstruo, leerlos un día completos con papel y mano (¡y lápiz, quería decir :D!) al lado y tratar de hacer una síntesis para ti mismo que te aclare las ideas y filtre las posibles dudas. Con filtrar las dudas me refiero a no volver cíclicamente a las mismas por haber olvidado las primeras respuestas.
Saludos.
CORREGIDO
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Si las razones expuestas en el hilo me hubiesen convencido o las hubiese aceptado sin más, el hilo hubiese sido más corto, no cabe duda.
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Hola
Si las razones expuestas en el hilo me hubiesen convencido o las hubiese aceptado sin más el hilo hubiese sido más corto, no cabe duda.
No se trate de eso. Si un argumento no te convence; céntrate en su discusión y debate. Hasta llegar a una conclusión (que no quiere decir que ten convenza) que cierre esa rama y no se caiga cícliamente en las mismas preguntas y respuestas.
Por otra parte de verdad que no quiero desanimarte, ni reprocharte que tus hilos sean largos por el mero hecho de serlo. Lo que ocurre es que mi espíritu de docente sufre cierta frustración contigo: veo interés, esfuerzo y trabajo... ¡pero mal enfocado!. Por supuesto que es mi punto de vista y puede estar equivocado al respecto.
Saludos.
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Al contrario, te lo agradezco. El debate es lo que importa. ;)