Hola
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Sea ABC un triángulo rectángulo con lados \( a, b \) e hipotenusa \( c \). Si \( d \) es la altura sobre la hipotenusa, demuestra que
\( \displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}=\displaystyle\frac{1}{d^2} \)
No estoy seguro de entender bien por qué tenemos el dato de \( d \). Tampoco estoy seguro de a lo que se refiere: ¿\( d \) es el segmento que une cualquiera de los dos catetos con la hipotenusa?
No. \( d \) es la altura sobre la hipotenusa, es decir, el segmento perpendicular a la hipotenusa que la une con el vértice opuesto.
Nótese que la desigualdad buscada equivale a:
\( \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{d^2} \)
\( \dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\dfrac{1}{d^2} \)
\( \dfrac{c^2}{a^2b^2}=\dfrac{1}{d^2} \)
\( d^2c^2=a^2b^2 \)
\( dc=ab \)
Ahora dado que los triángulos \( ABC \) y \( CBE \) son semejantes:
\( \dfrac{\textsf{hipotenusa}}{\textsf{cateto menor}}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{a}{d} \)
Saludos.
