Hola
Considere las funciones \( f(x) = \sqrt{\dfrac{x^{2}-5x+6}{3x^{2}+9x-30}} \) y \( g(x) = \dfrac{1}{1-x} \) . El número de números enteros que
pertenecen al dominio de la función \( f(g(x) \)) es:
¿Hay alguna alternativa a reemplazar \( g(x) \) en \( x \) y luego encontrar el dominio?
En primer lugar calculamos el dominio de \( g(x) \) que claramente es \( \Bbb R-\{\color{red}1\color{black}\} \).
Después el de \( f(x) \) que corresponde a los valores de \( x \) para los cuales el cociente \( \dfrac{x^{2}-5x+6}{3x^{2}+9x-30} \) es positivo y no se anula el denominador.
El numerador se anula cuando \( x=2 \) ó \( x=3 \) y el denominador cuando \( x=\color{red}2\color{black} \) y \( x=\color{red}-5\color{black} \). Estudiamos el signo del cociente en los valores intermedios:
\( x\in (-\infty,-5) \): numerador positivo y denominador positivo: COCIENTE POSITIVO.
\( x\in (-5,2) \): numerador positivo y denominador negativo: COCIENTE NEGATIVO.
\( x\in (2,3) \): numerador negativo y denominador positivo: COCIENTE NEGATIVO.
\( x\in (3,\infty) \): numerador positivo y denominador positivo: COCIENTE POSITIVO.
Por tanto:
\( dominio(f)=(-\infty,-5)\cup [3,\infty) \)
Finalmente analizamos cuando \( g(x)=\dfrac{1}{1-x}\in dominio(f) \):
\( \dfrac{1}{1-x}<-5 \) si y sólo si \( 1<x<6/5 \)
\( \dfrac{1}{1-x}\geq 3 \) si y sólo si \( 2/3<x<1 \)La conclusión es que NO HAY ningún entero que pertenezca al dominio.
Saludos.
CORREGIDO
