Hola

 Dejo algunos vídeos cortos sobre las cónicas no degeneradas: su descripción en su forma canónica y sus propiedades. En su momento eran de acceso exclusivo para los alumnos; pero he terminado por hacerlos de acceso público.

1. La elipse en su forma canónica. (5'45'')


2. La hipérbola en su forma canónica. (4'29'')


3. La parábola en su forma canónica. (3'03'')


Saludos.

Hola

 Dejo algunos vídeos cortos sobre transformaciones afines: traslaciones, homotecias e isometrías. En su momento eran de acceso exclusivo para los alumnos; pero he terminado por hacerlos de acceso público.

1. Transformaciones afines. (3'16')


2. Traslaciones. (1'55'')


3. Homotecias. (4'45'')


4. Isometrías. (6'48'')

Hola

 Dejo algunos vídeos cortos sobre ecuaciones de rectas y planos en el plano y en el espacio afín. En su momento eran de acceso exclusivo para los alumnos; pero he terminado por hacerlos de acceso público.

1. Ecuaciones de una recta en el plano. (6'22'')


2. Ecuaciones de rectas y planos en el espacio. (9'45'')


Saludos.

Hola

 Dejo algunos vídeos cortos sobre transformaciones ortogonales en \( \Bbb R^3 \), que hice para mis clases en tiempos de COVID. En su momento eran de acceso exclusivo para los alumnos; pero he terminado por hacerlos de acceso público.

1. Interpretación de la orientación de una base en el espacio. (4'59'')


2. Construcción de la matriz de giro en el espacio. (6'14'')


3. Construcción de simetrías en el espacio. (5'25'')


4. Clasificación de transformaciones ortogonales en \( \Bbb R^3 \) (14'38'')


Saludos.

El tema ha sido movido a Foro general.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=126471.0

Hola

 Se tiene que:

\(  sin(nx)=\displaystyle\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}\binom{n}{2k+1}(-1)^ksin^{2k+1}(x)cos^{n-2k-1}(x) \)

\(  cos(nx)=\displaystyle\sum_{k=0}^{[n/2]}\binom{n}{2k}(-1)^ksin^{2k}(x)cos^{n-2k}(x) \)
 
 Una forma de demostrarlo es tener en cuenta que la matriz de giro de ángulo \( x \) es:

\(  G(x)=\begin{pmatrix}{\phantom{-} cos(x)}&{sin(x)}\\{-sin(x)}&{cos(x)}\end{pmatrix}=cos(x)Id+sin(x)A \)

 donde \( A=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{pmatrix} \).

\( G(nx)=\begin{pmatrix}{\phantom{-} cos(nx)}&{sin(nx)}\\{-sin(nx)}&{cos(nx)}\end{pmatrix} \) (*)

 Pero también:

\(  G(nx)=G(x)^n=(cos(x)Id+sin(x)A)^n \)

 Dado que \( Id \) y \( A \) conmutan se puede usar la fórmula del binomio de Newton:

\( (cos(x)Id+sin(x)A)=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}sin^i(x)cos^{n-i}(x)A^i \) (**)

 Teniendo en cuenta que \( A^2=-Id \), \( A^3=-A \), \( A^4=Id \), igualando (*) con (**) y teniendo en cuenta que a la posición \( (1,1) \) de la matriz solo contribuyen los términos pares y a los de la posición \( (2,1) \) sólo los impares, se obtienen las fórmulas deseadas.

Saludos.

Hola

 Esto es una simple anécdota, ya de hace unos años, pero la descubrí ahora de casualidad y me hizo mucha gracia. En un periódico de Jaen un matemático publica un pequeño texto divulgativo explicando porque \( 0.999\ldots \) es igual a \( 1 \).



 Y este es el resumen que hace el periódico en el sumario:



 

Saludos.

P.D. El autor del artículo lo comenta aquí:

https://angelcid.webs.uvigo.es/Archivos/Papers/Diarion_Jaen_17_02_11.pdf

El tema ha sido movido a Aplicados a la vida diaria.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=125817.0

El tema ha sido movido a Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales).

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=125808.0

El tema ha sido movido a Estructuras algebraicas.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=125343.0