Rincón Matemático
Matemática => Análisis Matemático => Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) => Mensaje iniciado por: sstp en 28 Octubre, 2023, 07:19 am
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Buenas, tengo el siguiente ejercicio, pero aun no se como empezar a desarrollarlo y es el siguiente:
Sea $$H$$ un espacio de Hilbert y $$T:H \longrightarrow H$$
$$T(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left< x,e_{n+1} \right>e_{n}$$
donde $$\left\{ e_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$$ es una base ortonormal de $$H$$. Demuestre que:
$$a) \left|\lambda\right| \leq 1, \forall \lambda \in \sigma (T)$$
$$b) \hspace{1.5mm} Si, 0<\lambda<1 \Rightarrow \lambda \in \sigma_{p}(T)$$
Agradezco el apoyo de todos.
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Hola
Buenas, tengo el siguiente ejercicio, pero aun no se como empezar a desarrollarlo y es el siguiente:
Sea $$H$$ un espacio de Hilbert y $$T:H \longrightarrow H$$
$$T(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left< x,e_{n+1} \right>e_{n}$$
donde $$\left\{ e_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$$ es una base ortonormal de $$H$$. Demuestre que:
$$a) \left|\lambda\right| \leq 1, \forall \lambda \in \sigma (T)$$
$$b) \hspace{1.5mm} Si, 0<\lambda<1 \Rightarrow \lambda \in \sigma_{p}(T)$$
Agradezco el apoyo de todos.
Para (a) comprueba que \( \|T\|\leq 1 \) y utiliza que \( \lambda\leq \|T\| \) para todo \( \lambda\in \sigma(T) \).
Para (b), dado \( \lambda\in (0,1) \) considera:
\( x=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\lambda^ne_n \) (comprueba que converge)
y observa que:
\( T(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\lambda^{n+1}e_n=\lambda x \)
Saludos.