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Temas - mmddgg

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La cuestión que se me plantea es la siguiente;

Me dicen que sea el espacio \( l_2 \)={Sucesiones reales tal que la suma de los cuadrados de todas sus componentes es finita},

consideremos la aplicación lineal \( \Lambda:l_2\rightarrow{}R \) dada por \( \Lambda(x)=2p_1+p_3 \), ya que \( x \) es una sucesión \( x= \){\( p_1,p_2,p_3,... \)}.

Me piden que demuestre que la aplicación es lineal y continua;

1) Lo de la linealidad no se exactamente como hacerlo porque al ser con sucesiones me lío un poco. Había pensado en coger \( x \) e \( y \) dos sucesiones el \( l_2 \) y como convergen pues definir sus limites como a y b y entonces la sucesión \( \alpha*x+\beta*y \) entiendo que convergirá a \( \alpha*a+\beta*b\in{R} \). Se que seguramente sea trivial ver la linealidad pero no se me ocurre exactamente

2) Para ver la continuidad de la aplicación se me ocurre usar el teorema de caracterización de las aplicaciones lineales continuas entre espacios normados o ver que es secuencialmente continua, pero no se exactamente como aplicarlo.

Si pudieran ayudar se lo agradecería

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El ejercicio es el siguiente;

Sea \( (V,\|\cdot\|) \) un espacio vectorial normado tal que para toda sucesión de vectores \( (v_n) \) en \( V \) con la propiedad de que  \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\|v_n\| \) es convergente, se cumple que  \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n \) converge. Probar que entonces \( (V,\|\cdot\|) \) es completo

Muchísimas gracias de antemano

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