Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Mensajes - mmddgg

Páginas: [1]
1
Hola

La cuestión que se me plantea es la siguiente;

Me dicen que sea el espacio \( l_2 \)={Sucesiones reales tal que la suma de los cuadrados de todas sus componentes es finita},

consideremos la aplicación lineal \( \Lambda:l_2\rightarrow{}R \) dada por \( \Lambda(x)=2p_1+p_3 \), ya que \( x \) es una sucesión \( x= \){\( p_1,p_2,p_3,... \)}.

¿Por qué no llamas a los términos de la sucesión \( x \) cómo \( x_1,x_2,x_3,\ldots... \)?. Parece una notación más natural.

Me piden que demuestre que la aplicación es lineal y continua;

Citar
1) Lo de la linealidad no se exactamente como hacerlo porque al ser con sucesiones me lío un poco. Había pensado en coger \( x \) e \( y \) dos sucesiones el \( l_2 \) y como convergen pues definir sus limites como a y b y entonces la sucesión \( \alpha*x+\beta*y \) entiendo que convergirá a \( \alpha*a+\beta*b\in{R} \). Se que seguramente sea trivial ver la linealidad pero no se me ocurre exactamente

Tienes que probar la definición, es decir, que:

\( \Lambda(ax+by)=a\Lambda(x)+b\Lambda(y) \)

para cualesqueira \( x,y\in l_2 \), \( a,b[\in \Bbb R \).

Y es muy inmediato. Ten en cuenta que \( (ax+by)_i=ax_i+by_i \). Entonces:

\( \Lambda(ax+by)=2(ax+by)_1+(ax+by)_3=2(ax_1+by_1)+(ax_3+by_3)=2ax_1+2by_1+ax_3+by_3 \)

Continua con el otro lado de la igualdad y compara.

Citar
2) Para ver la continuidad de la aplicación se me ocurre usar el teorema de caracterización de las aplicaciones lineales continuas entre espacios normados o ver que es secuencialmente continua, pero no se exactamente como aplicarlo.

Basta que pruebes que existe una constante tal que:

\( |\Lambda(x)|\leq \|x\| \)

para todo \( x\in l^2 \). Recuerda que:

\( \|x\|=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{}x_i^2\right)^{1/2} \geq (x_1^2+x_3^2)^{1/2}\geq \dfrac{1}{\sqrt{2}}(|x_1|+|x_3|) \)

Citar
Hemos usado que:

\( 2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2 \)

ya que lo anterior desarrollando equivale a:

\( 2a^2+2b^2\geq a^2+b^2+2ab \)
\( a^2+b^2-2ab\geq 0 \)
\( (a-b)^2\geq 0 \)

¿Eres capaz de terminar?.

Saludos.



Hola, antes de nada muchas gracias por responder;

Respecto al apartado de la continuidad, estas usando que si tenemos dos espacios normados y un operador lineal entre ellos, entonces son equivalentes que el operador lineal es acotado y que es continuo?  En ese caso siempre hay que coger la norma de la sucesión \( x \) como cota superior?

Luego el desarrollo de \( ||x|| \) lo entiendo pero entonces creo que faltaría probar que \( 1/\sqrt{ 2 }*(|x_1|+|x_3|)\geq{}|2x_1+x_3| \) y lo que si creo que es cierto es que \( |x_1|+|x_3|\geq{}|x_1+x_3| \), pero se verifica también lo de antes con los números multiplicando?


2
La cuestión que se me plantea es la siguiente;

Me dicen que sea el espacio \( l_2 \)={Sucesiones reales tal que la suma de los cuadrados de todas sus componentes es finita},

consideremos la aplicación lineal \( \Lambda:l_2\rightarrow{}R \) dada por \( \Lambda(x)=2p_1+p_3 \), ya que \( x \) es una sucesión \( x= \){\( p_1,p_2,p_3,... \)}.

Me piden que demuestre que la aplicación es lineal y continua;

1) Lo de la linealidad no se exactamente como hacerlo porque al ser con sucesiones me lío un poco. Había pensado en coger \( x \) e \( y \) dos sucesiones el \( l_2 \) y como convergen pues definir sus limites como a y b y entonces la sucesión \( \alpha*x+\beta*y \) entiendo que convergirá a \( \alpha*a+\beta*b\in{R} \). Se que seguramente sea trivial ver la linealidad pero no se me ocurre exactamente

2) Para ver la continuidad de la aplicación se me ocurre usar el teorema de caracterización de las aplicaciones lineales continuas entre espacios normados o ver que es secuencialmente continua, pero no se exactamente como aplicarlo.

Si pudieran ayudar se lo agradecería

3
Hola

 Bienvenido al foro.

Sea \( (V,\|\cdot\|) \) un espacio vectorial normado tal que para toda sucesión de vectores \( (v_n) \) en \( V \) con la propiedad de que  \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\|v_n\| \) es convergente, se cumple que  \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n \) converge. Probar que entonces \( (V,\|\cdot\|) \) es completo

Sea \( \{w_n\} \) una sucesión de Cauchy. Entonces para todo \( k>0 \) existe un \( N_K \) tal que si \( p,q>N_k \) entonces:

\( \|w_p-w_q\|<\dfrac{1}{2^k} \)

Para \( k=1 \), podemos tomar \( n_2>n_1>max(N_1,N_2) \) tal que \( \|w_{n_2}-w_{n_1}\|<\dfrac{1}{2^1} \).

Para \( k=2 \), podemos tomar \( n_3>max(N_2,N_3) \) , \( n_3>n_2 \) tal que \( \|w_{n_3}-w_{n_2}\|<\dfrac{1}{2^2} \).

Para \( k=2 \), podemos tomar \( n_4>max(N_3,N_4) \) , \( n_4>n_3 \) tal que \( \|w_{n_4}-w_{n_3}\|<\dfrac{1}{2^3} \).

Así tenemos una subsucesión \( \{w_{n_k}\} \) tal que \( \|w_{n_{k+1}}-w_{n_k}\|<\dfrac{1}{2^k} \).

Se cumple:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}\|w_{n_{k+1}}-w_{n_k}\|<\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}\dfrac{1}{2^k}=1 \) converge

Por hipótesis \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}(w_{n_{k+1}}-w_{n_k}) \) converge, es decir, la sucesión:

\( \{y_m\}=\left\{\displaystyle\sum_{k=1}^m(w_{n_{k+1}}-w_{n_k})\right\} \)

converge. Pero;

\( y_m=\displaystyle\sum_{k=1}^m(w_{n_{k+1}}-w_{n_k})=w_{n_{m+1}}-w_1 \)

Por tanto la subsucesión \( w_{n_k}=w_1+y_{m-1} \) converge.

Como la sucesión \( \{w_n\} \) es de Cauchy y tiene una subsucesión convergente: converge.

Saludos.

Gracias por responder a la duda, realmente no sabia ni como plantearlo y ahora lo acabo de entender  :-*

4
El ejercicio es el siguiente;

Sea \( (V,\|\cdot\|) \) un espacio vectorial normado tal que para toda sucesión de vectores \( (v_n) \) en \( V \) con la propiedad de que  \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\|v_n\| \) es convergente, se cumple que  \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty v_n \) converge. Probar que entonces \( (V,\|\cdot\|) \) es completo

Muchísimas gracias de antemano

Páginas: [1]