[manuvier]

En un escrito el profesor le corrigio como bien a un compañero que si \( x=0 \) la serie\(   \displaystyle\sum_{i=1}^n{(sin(x)^n-sin(x)^{n+1})}\longrightarrow{}1 \)
y no entiendo el porque

[Abdulai]

Si \( x=0 \)  es una suma finita de ceros.

¿Seguro que el enunciado era exactamente así?


Comentario:  La verdad, siendo que al principio escribiste \( x=\frac{\pi}{2} \)  y la pifiaste con los índices, no creo que ése haya sido el enunciado   

[manuvier]

Me fige en la letra del ejercici y por eso corregi a x=0.

[Abdulai]

Me fige en la letra del ejercici y por eso corregi a x=0.

¿Y los índices en la sumatoria?



Para que la respuesta sea correcta eso debió ser:

\( \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\sum_{i=1}^n  \left(\sin^i (x) -\sin^{i+1} (x)\right) \)

La sumatoria es una serie telescópica  \( \displaystyle\sum_{i=1}^n  \left(\sin^i (x) -\sin^{i+1} (x)\right) = \sin(x) -\sin^{n+1}(x) \)

Luego, si \( x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \quad ,\;  \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left( \sin(x) -\sin^{n+1}\right) = \sin(x)  \)

Finalmente  \( \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \sin(x) = 1 \)


En cambio  si \( x=\frac{\pi}{2} \)  la suma finita es 0 \( \forall n \)

[Masacroso]

También es posible hallar el mismo resultado si el índice de la suma empieza en cero en vez de en uno, es decir, \( (\sin x)^0=1 \) siempre que \( \sin x\neq 0 \), y en general se suele tomar la convención de \( 0^0=1 \) por lo que podríamos suponer que \( (\sin x)^0=1 \) indistintamente del valor de \( x \).

Entonces \( \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n(\sin^k(x)-\sin^{k+1}(x))=1-\lim_{n\to\infty}\sin^{n+1}(x) \), que tenderá a uno siempre y cuando \( |\sin x|<1 \).

[manuvier]

Gracias, vi la corrección del profesor y el uso que \( 0^0=1 \)