[Zaragoza]

Hola a todos, encontré 3 problemas interesantes pero no logro concluirlos los mencionaré en 3 temas distintos para no sobrecargar:

3. Sean $$ν$$ la medida de conteo en el espacio medible $$(\mathbb{R},\mathcal{L}(\mathbb{R}))$$ y $$h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ una función Lebesgue medible positiva. Suponga que $$h$$ es $$ν-$$integrable. Pruebe que el conjunto $$A = \{x\in\mathbb{R}: h(x) > 0\}$$ es numerable.   

[Masacroso]

Hola a todos, encontré 3 problemas interesantes pero no logro concluirlos los mencionaré en 3 temas distintos para no sobrecargar:

3. Sean $$ν$$ la medida de conteo en el espacio medible $$(\mathbb{R},\mathcal{L}(\mathbb{R}))$$ y $$h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ una función Lebesgue medible positiva. Suponga que $$h$$ es $$ν-$$integrable. Pruebe que el conjunto $$A = \{x\in\mathbb{R}: h(x) > 0\}$$ es numerable.   

Si \( h \) es \( \nu \)-integrable y positiva entonces necesariamente el conjunto \( A \) es contable, de otro modo no sería \( \nu \)-integrable, es decir, si \( A \) fuese incontable entonces de la definición de la integral de Lebesgue tendrías que

\( \displaystyle{
\int h\mathop{}\!d \nu \geqslant \sup_{B\subset A:|B|\leqslant \aleph _0}\sum_{x\in B}h(x)
} \)

Entonces te basta con demostrar que si \( A \) es incontable entonces existe un conjunto infinito contable \( B\subset A \) tal que \( h(x)\geqslant \epsilon  \) para todo \( x\in B \) para un \( \epsilon >0 \). A ver si con esto ya puedes resolverlo.

[Zaragoza]

Muchas gracias lo estaba pensando de la misma manera, encontré este resultado en Folland pero no logro entender bien, me podrías ayudar por favor? Es justo lo mismo que pregunté solo que la idea es buen y me gustaría captarla bien.

[Masacroso]

Muchas gracias lo estaba pensando de la misma manera, encontré este resultado en Folland pero no logro entender bien, me podrías ayudar por favor? Es justo lo mismo que pregunté solo que la idea es buen y me gustaría captarla bien.

Ahí \( F\subset A_n \) es un subconjunto finito cualquiera, por tanto \( f(x)>\tfrac1n \) para cada \( x\in F \), de donde se sigue la desigualdad \( \sum_{x\in F}f(x)>\sum_{x\in F}\tfrac1n=\operatorname{card}(F)\cdot \tfrac1n \). Como \( A_n \) es incontable entonces \( \sum_{x\in A_n}f(x)=\infty  \) de donde se sigue el resultado ya que \( A_n\subset X \) y \( f \) es no-negativa.

Ahí entiendo que Folland está usando la definición de suma no ordenada de elementos no-negativos dada por

\( \displaystyle{
\sum_{j\in I}c_j:=\sup_{J\subset I: \operatorname{card}(J)<\aleph _0}\sum_{j\in J}c_j
} \)

[Zaragoza]

Wooow cuanta rapidez, muchas gracias.   
Lo entendí de la siguiente manera: $$\int h\,d\nu>card (F)/n$$ y como $$card(F)$$ puede ser tan grande como nosotros querramos pues $$A_n$$ es incontrable, entonces $$\int h\,d\nu=\infty.$$

[Masacroso]

Wooow cuanta rapidez, muchas gracias.   
Lo entendí de la siguiente manera: $$\int h\,d\nu>card (F)/n$$ y como $$card(F)$$ puede ser tan grande como nosotros querramos pues $$A_n$$ es incontrable, entonces $$\int h\,d\nu=\infty.$$

Exactamente.