Autor Tema: El problema de la vaca que pasta

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15 Abril, 2021, 11:17 am
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

Según el dibujo de Robin, y si estoy entendiendo bien, sería el área de un cardioide.

No, no es una cardioide.

Saludos.

15 Abril, 2021, 12:04 pm
Respuesta #11

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola

Según el dibujo de Robin, y si estoy entendiendo bien, sería el área de un cardioide.

No, no es una cardioide.

Saludos.

Muchas gracias, Luis.
Me he dejado llevar por la apariencia.

Saludos.

15 Abril, 2021, 01:28 pm
Respuesta #12

feriva

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igualmente eso da la figura de la curva, pero el área que pasta la vaca es la integral de la longitud recta de la soga por cada diferencial de angulo...


Con eso creo que ya entiendo más o menos la idea del todo; cónfirmame, por favor, Richard.

La cuerda se va acortando infinitesimalmente; con lo que entra en juego la diferencial de la longitud, mediante la cual se van definiendo los vectores cuyo origen son los puntos de tangencia y su destino el lugar geométrico que encierra el área (la especie de cardioide ése, aunque no lo sea exactamente). Y entra en juego también, claro, la diferencial del ángulo.
El área vendrá dada por el “haz” de los módulos, por el barrido de esos vectores; desde los dos perpendiculares (de sentido puesto); más, después, la suma del semicírculo.



Saludos.

15 Abril, 2021, 09:21 pm
Respuesta #13

NoelAlmunia

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Hola.
Una idea.
Toma origen de referencia el centro del la circunferencia que es el silo.

Para hallar el punto de máximo alejamiento de la vaca, se entiende que la cuerda debe estar tensa y tangente a la circunferencia del silo.

Por tanto, al punto de tangencia de la cuerda con la circunferencia silo, que en paramétricas es \( (r cos \theta, rsen \theta ) \) , debes sumarle la longitud de la cuerda desplegada,( que es un arco de circunferencia según el ángulo en el punto de tangencia), al estar la cuerda tensa y ser tangente a la circunferencia es perpendicular al radio.

Al punto de tangencia le sumas el vector: \( r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \)

Por tanto la curva descrita por la vaca en su extensión máxima entre \( \theta \in{}[-\pi,\pi] \)

Es: \( (x,y)=(r cos \theta, rsen \theta)+r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \) , recuerda restarle el área del silo al área de la curva


Y para  el resto tienes un semicírculo.

Saludos.

P.D.:Si tengo tiempo te pongo un dibujo.

Sí, robinlambada, por este método puedes deducir como bien hiciste la ecuación paramétrica de la curva que traza la vaca a desplazarse con la cuerda tensa.

Esta curva trazada por el extremo de la cuerda a medida que va "desenrrollando" en sentido antihorario en este caso, se denomina involuta del círculo. Es muy parecida a una cardioide, pero no lo es.
Si el círculo tiene radio \( r \) y centro \( O \), la posición inicial del punto \( P \) que sería el punto extremo de la cuerda es \( \left(r;0\right) \), y si el parámetro \( \theta \) se elige como en la figura que adjunto, también de este manera puede deducirse las expresiones paramétricas, que fue el método que encontré.
Adjunto la figura porque no sé como pegarla en el cuerpo del mensaje. Si puede ayudarme en eso se lo agradecería.



Lo desarrollé por simple análisis geométrico.
El punto P posee coordenadas \( x \) e \( y \) que caracterízan su ecuación paramétrica.
En este caso la coordenada \( x\equiv\overline{OR} \) y la coordenada \( y\equiv\overline{PR} \)
El ángulo \( \alpha \) es interior al triángulo rectángulo \( \triangle OPR \) y el \( \beta \) es interior al también triángulo rectángulo \( \triangle OTP \)

El parámetro \( \theta \) es la suma de \( \alpha+\beta \)
Finalmente, para definir la coordenada \( y \) planteamos que: \( y=\overline{OP}\cdot{\sen\left(\alpha\right)} \)
La longitud de \( \overline{TP} \) es equivalente a la longitud del arco de circunferencia \( TQ \). O sea,  \( \overline{TP}=r\cdot{\left(\theta\right)} \)

\( \sen\left(\alpha\right)=\sen\left(\theta-\beta\right)=\sen\left(\theta\right)\cdot{\cos\left(\beta\right)}-\cos\left(\theta\right)\cdot{\sen\left(\beta\right)} \)

Por tanto obtenemos:
\( y=\overline{OP}\left(\sen\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{r}{\overline{OP}}\right)}-\cos\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{\theta\cdot{r}}{\overline{OP}}\right)}\right)=r\cdot{\sen\left(\theta\right)}-r\cdot{\left(\theta\right)}\cdot{\cos\left(\theta\right)} \)

De igual manera obtenemos la coordenada \( x \):
\( x=\overline{OP}\cdot{\cos\left(\alpha\right)} \)
\( \cos\left(\alpha\right)=\cos\left(\theta-\beta\right)=\cos\left(\theta\right)\cdot{\cos\left(\beta\right)}+\sen\left(\theta\right)\cdot{\sen\left(\beta\right)} \)

\( x=\overline{OP}\left(\cos\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{r}{\overline{OP}}\right)}+\sen\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{\theta\cdot{r}}{\overline{OP}}\right)}\right)=r\cdot{\cos\left(\theta\right)}+r\cdot{\left(\theta\right)}\cdot{\sen\left(\theta\right)} \)

Luego de obtener las ecuaciones de la involuta del círculo, es necesario calcular el área total para el apacentamiento de la vaca.
Es preciso calcular el área entre la involuta y la superficie del silo con el parámetro desplazándose desde cero hasta \( \pi \), luego la trayectoria ya no coincide con la involuta para convertirse en una semicircunferencia devido a que la cuerda la situamos referencialmente atada al silo en el punto \( \left(-r;0\right) \) situando a la circunferencia centrada en el orígen de coordenadas.
Luego de terminar la trayectoria semicircular, con el recorrido en sentido antihorario, comienza nuevamente a trazarce la parte inferior de la involuta simétrica a la superior.

Entonces quedaría calcular el área de toda la superficie, hasta ahora no se ha logrado el resultado correcto.

Imagen insertada por un moderador.

15 Abril, 2021, 09:41 pm
Respuesta #14

robinlambada

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El resultado obtenido de la integral(*) es erróneo, el valor absoluto debe estar fuera de la integral \( \left |{\displaystyle\int_{0}^{\pi}}f(\theta)d\theta\right | \) y no dentro como he puesto , el resultado correcto en mi mensaje nº 25

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116487.msg465784#msg465784


Spoiler
Hola.
Una idea.
Toma origen de referencia el centro del la circunferencia que es el silo.

Para hallar el punto de máximo alejamiento de la vaca, se entiende que la cuerda debe estar tensa y tangente a la circunferencia del silo.

Por tanto, al punto de tangencia de la cuerda con la circunferencia silo, que en paramétricas es \( (r cos \theta, rsen \theta ) \) , debes sumarle la longitud de la cuerda desplegada,( que es un arco de circunferencia según el ángulo en el punto de tangencia), al estar la cuerda tensa y ser tangente a la circunferencia es perpendicular al radio.

Al punto de tangencia le sumas el vector: \( r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \)

Por tanto la curva descrita por la vaca en su extensión máxima entre \( \theta \in{}[-\pi,\pi] \)

Es: \( (x,y)=(r cos \theta, rsen \theta)+r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \) , recuerda restarle el área del silo al área de la curva


Y para  el resto tienes un semicírculo.

Saludos.

P.D.:Si tengo tiempo te pongo un dibujo.

Sí, robinlambada, por este método puedes deducir como bien hiciste la ecuación paramétrica de la curva que traza la vaca a desplazarse con la cuerda tensa.
Esta curva trazada por el extremo de la cuerda a medida que va "desenrrollando" en sentido antihorario en este caso, se denomina involuta del círculo. Es muy parecida a una cardioide, pero no lo es.
Si el círculo tiene radio \( r \) y centro \( O \), la posición inicial del punto \( P \) que sería el punto extremo de la cuerda es \( \left(r;0\right) \), y si el parámetro \( \theta \) se elige como en la figura que adjunto, también de este manera puede deducirse las expresiones paramétricas, que fue el método que encontré.
Adjunto la figura porque no sé como pegarla en el cuerpo del mensaje. Si puede ayudarme en eso se lo agradecería.

Lo desarrollé por simple análisis geométrico.
El punto P posee coordenadas \( x \) e \( y \) que caracterízan su ecuación paramétrica.
En este caso la coordenada \( x\equiv\overline{OR} \) y la coordenada \( y\equiv\overline{PR} \)
El ángulo \( \alpha \) es interior al triángulo rectángulo \( \triangle OPR \) y el \( \beta \) es interior al también triángulo rectángulo \( \triangle OTP \)

El parámetro \( \theta \) es la suma de \( \alpha+\beta \)
Finalmente, para definir la coordenada \( y \) planteamos que: \( y=\overline{OP}\cdot{\sen\left(\alpha\right)} \)
La longitud de \( \overline{TP} \) es equivalente a la longitud del arco de circunferencia \( TQ \). O sea,  \( \overline{TP}=r\cdot{\left(\theta\right)} \)

\( \sen\left(\alpha\right)=\sen\left(\theta-\beta\right)=\sen\left(\theta\right)\cdot{\cos\left(\beta\right)}-\cos\left(\theta\right)\cdot{\sen\left(\beta\right)} \)

Por tanto obtenemos:
\( y=\overline{OP}\left(\sen\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{r}{\overline{OP}}\right)}-\cos\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{\theta\cdot{r}}{\overline{OP}}\right)}\right)=r\cdot{\sen\left(\theta\right)}-r\cdot{\left(\theta\right)}\cdot{\cos\left(\theta\right)} \)

De igual manera obtenemos la coordenada \( x \):
\( x=\overline{OP}\cdot{\cos\left(\alpha\right)} \)
\( \cos\left(\alpha\right)=\cos\left(\theta-\beta\right)=\cos\left(\theta\right)\cdot{\cos\left(\beta\right)}+\sen\left(\theta\right)\cdot{\sen\left(\beta\right)} \)

\( x=\overline{OP}\left(\cos\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{r}{\overline{OP}}\right)}+\sen\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{\theta\cdot{r}}{\overline{OP}}\right)}\right)=r\cdot{\cos\left(\theta\right)}+r\cdot{\left(\theta\right)}\cdot{\sen\left(\theta\right)} \)

Luego de obtener las ecuaciones de la involuta del círculo, es necesario calcular el área total para el apacentamiento de la vaca.
Es preciso calcular el área entre la involuta y la superficie del silo con el parámetro desplazándose desde cero hasta \( \pi \), luego la trayectoria ya no coincide con la involuta para convertirse en una semicircunferencia devido a que la cuerda la situamos referencialmente atada al silo en el punto \( \left(-r;0\right) \) situando a la circunferencia centrada en el orígen de coordenadas.
Luego de terminar la trayectoria semicircular, con el recorrido en sentido antihorario, comienza nuevamente a trazarce la parte inferior de la involuta simétrica a la superior.

Entonces quedaría calcular el área de toda la superficie, hasta ahora no se ha logrado el resultado correcto.

[cerrar]
A mi, si no he cometido errores, me da:
\( \boxed{A_T=\pi r^2\left({1+\displaystyle\frac{3}{4}\pi ^2}\right)} \)

Integre con Wolfram la involuta desde cero a \( \pi \) , Dándome:  \(  2A_1=2 \displaystyle\int_{0}^{\pi}|y(\theta)x'(\theta)|d\theta\,(*)\,=2\pi r^2\left({1+\displaystyle\frac{\pi ^2}{8}}\right) \)

Y el área total  \( A_T= 2\pi r^2\left({1+\displaystyle\frac{\pi ^2}{8}}\right)-\pi r^2+\displaystyle\frac{\pi^3r^2}{2}=\pi r^2\left({1+\displaystyle\frac{3}{4}\pi ^2}\right) \)

Saludos.

P.D.: (*) Aunque no me fio mucho de que la expresión integral que puse se pueda utilizar
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15 Abril, 2021, 09:53 pm
Respuesta #15

robinlambada

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Al punto de tangencia le sumas el vector: \( r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \)



Hola robinlambada, o bien no entendi como lo hiciste, o entiendo que la longitud de soga restante , que es la longitud del vector a sumar es  \( (\pi R-R\theta) \)


por lo que la posicion en funcion del angulo me quedaría


\( (x,y)=(R\cos\theta-(\pi R-R\theta)\sin\theta\, ,\,R\sin\theta+(\pi R-R\theta)\cos\theta) \)


quizá escogí otra forma de resolverlo, y estemos llegando lo mismo.


igualmente eso da la figura de la curva, pero el área que pasta la vaca es la integral de la longitud recta de la soga por cada diferencial de angulo...


osea un semicírculo más 2 veces el área entre la curva superior  y el semicírculo del silo


osea \( A=\pi\dfrac{(\pi R)^2}2+2\displaystyle\int_0^{\pi} (\pi R-R\theta) R \,d\theta \)

el último \( R \) sale de la conversión jacobiana de las polares

\( A=\pi^2 R^2 \dfrac{\pi}{2}+2R^2(\pi^2-\dfrac{\pi^2}{2})=\pi^2 R^2(\dfrac{\pi}{2}+1) \)
Lo que ocurre es que tu has utilizado el origen del ángulo \( ºtheta \)  desde el semieje negativo de la abscisas y yo el semieje positivo,( tu ángulo se recorre de forma horaria y el mio antihoraria.)pero has calculado mal las coordenada de la vaca. tienes mal los signos de las coordenadas del punto de tangencia con el silo y del vector tangente, revísalo.

Saludos.
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15 Abril, 2021, 10:34 pm
Respuesta #16

robinlambada

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Una semicircunferencia de radio \( r \) puede parametrizarse como

\( \displaystyle{
f:[0,\pi]\to \mathbb{C},\quad \alpha \mapsto re^{i \alpha }
} \)

Y el vector tangente a la curva en cada punto viene dado por \( f'(\alpha )=ire^{i\alpha } \), por tanto la curva de la soga en contacto con la semicircunferencia viene dada por \( g(\alpha ):=re^{i\alpha }(1+(\pi-\alpha )i) \).

Creo que tienes 2 errores, el ángulo que partes es medido desde el semieje positivo de abscisas y por ello el segmento tangente tiene longitud \( r \alpha  \) y el sentido del vector tangente es el contrario, a mi juicio sería \( -ir\alpha e^{i \alpha} \)

Saludos.
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15 Abril, 2021, 10:44 pm
Respuesta #17

NoelAlmunia

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A mí el área total me da: \( A_T=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)\cdot{\pi^3}\cdot{r^2} \)
Utilicé una integral de línea para el cálculo del área entre la involuta y el círculo de cero a \( \pi \), lo multipliqué por dos y le sumé el área del semicírculo restante.
Mañana escribo el resultado, robinlambada está en España pero yo estoy en Cuba.

15 Abril, 2021, 10:58 pm
Respuesta #18

robinlambada

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A mí el área total me da: \( A_T=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)\cdot{\pi^3}\cdot{r^2} \)
Utilicé una integral de línea para el cálculo del área entre la involuta y el círculo de cero a \( \pi \), lo multipliqué por dos y le sumé el área del semicírculo restante.
Mañana escribo el resultado, robinlambada está en España pero yo estoy en Cuba.

He comparado mi resultado utilizando Wolfram.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%7C%28sinx-xcosx%29xcosx%7Cdx+%2C+x%3D0+to+x%3Dpi

Con lo que \( A_1\approx{}7'01 \)

Con una aproximación poligonal (interior) a través de geogebra y me salen muy parecidos, con geogebra \( A_1\approx{6'72} \), que lógicamente debe ser algo menor que la exacta.
aproximación con geogebra
[cerrar]

Sin embargo a Masacroso le da \( A_1=\displaystyle\frac{\pi^3}{3}\approx{}10'34 \)

Saludos.
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15 Abril, 2021, 11:01 pm
Respuesta #19

Masacroso

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Una semicircunferencia de radio \( r \) puede parametrizarse como

\( \displaystyle{
f:[0,\pi]\to \mathbb{C},\quad \alpha \mapsto re^{i \alpha }
} \)

Y el vector tangente a la curva en cada punto viene dado por \( f'(\alpha )=ire^{i\alpha } \), por tanto la curva de la soga en contacto con la semicircunferencia viene dada por \( g(\alpha ):=re^{i\alpha }(1+(\pi-\alpha )i) \).

Creo que tienes 2 errores, el ángulo que partes es medido desde el semieje positivo de abscisas y por ello el segmento tangente tiene longitud \( r \alpha  \) y el sentido del vector tangente es el contrario, a mi juicio sería \( -ir\alpha e^{i \alpha} \)

Saludos.

Es la misma curva que de la otra manera pero reflejada respecto del eje \( Y \). Es decir: tú tienes la involuta parametrizada por \( \alpha \mapsto re^{i\alpha }-i\alpha re^{i\alpha } \) y la mía está parametrizada como \( \alpha \mapsto re^{i\alpha }+i(\pi-\alpha) re^{i\alpha } \), para \( \alpha \in [0,\pi] \). Graficando es la misma curva pero reflejada respecto del eje \( Y \).

Para \( r=1 \), tu curva es la de azul, la mía es la naranja:



Para calcular el área bajo la involuta he utilizado la fórmula del área encerrada por una curva, que en definitiva es un caso particular del teorema de Stokes. En este caso, al ser el área un sector, la integral se anula en los pedazos de curva que vienen a cerrar el área definida por la involuta (ya que ahí el ángulo es constante).

El área encerrada por una curva plana cerrada \( \Gamma  \) que no se intersecta a sí misma vendría dada en polares por \( \int_{\Gamma }\frac{r^2}{2}\mathop{}\!d \alpha  \), donde \( \Gamma \) es una colección de puntos \( (r,\alpha ) \). En nuestro caso \( \Gamma =I+J_1+J_2 \), donde \( I \) es la involuta y los \( J_k \) son los segmentos que unen los extremos de la involuta al centro del plano. Ocurre que \( \int_{J_k}\frac{r^2}{2}\mathop{}\!d \alpha =0 \) porque \( J_k=\{(s,\alpha _k):s\in [0,r]\} \) para ángulos \( \alpha _k \) constantes.

Añado: una vez calculada el área sectorial faltaría añadir el área del triángulo dado por los puntos (en tu caso) \( 0, -r, r(-1+i\pi)  \) (en mi caso serían los puntos \( 0,r,r(1+i\pi) \)).