[jualfo]

Hola, buenos días! Tengo que resolver este ejercicio en el que piden que demuestre que la relación es reflexiva, simétrica, transitiva, asimétrica, relación de equivalencia, de orden o orden total. La relación es la siguiente:

Spoiler

La relación T definida en Q+ para aTb sii q<s ò (q=s i p\leq{<=}r), donde \displaystyle\frac{p}{q} es la expresión irreducible de a y \displaystyle\frac{r}{a} es la expresión irreducible de b.

[cerrar]

Se define la relación \( T \) en \( \mathbb{Q^+} \) de manera que si \( a,b\in{\mathbb{Q^+}} \) y sus fracciones irreducibles son \( \displaystyle\frac{p}{q} \) y \( \displaystyle\frac{r}{s} \) respectivamente, entonces \( aTb \) si y sólo si se cumple una de las dos condiciones siguientes:

1) \( q<s \)
2) \( q=s \) y \( p\leq{r} \).

Muchas gracias!

[martiniano]

Hola jualfo. Bienvenido al foro.

Cuando escribas una fórmula en Latex enciérrala entre los terminales que te aparecen cuando aprientas en esta tecla. Hemos corregido tu mensaje desde la moderación para aumentar su legibilidad.



En cuanto al problema que propones estaría bien que nos indicases de la forma más precisa posible qué es lo que has intentado y qué problemas concretos has tenido. En plan, si no sabes lo que quiere decir ninguna de las propiedades que te piden, si entiendes las definiciones pero no sabes demostrarlas para casos particulares, si tienes problemas con esta propiedad o con esta otra, etc.

Un saludo.

[jualfo]

El problema lo tengo en concreto con las demostraciones. Sé las definiciones y otros ejercicios parecidos lo sé demostrar y encontrar contraejemplos de las propiedades que no son ciertas. Pero esta relación en concreto es más complicada y no estoy consiguiendo demostrarlo.

Muchas gracias!

[martiniano]

Hola.

Por ejemplo, es reflexiva, ya que para todo \( a=\displaystyle\frac{p}{q} \) con \( p,q\in{\mathbb{Z^+}} \) y primos entre sí se cumple que \( q=q \) y \( p\leq{p} \), luego \( aTa \).

Sin embargo, no es simétrica. Por ejemplo, si tomamos \( a=1 \) y \( b=2 \) se cumple \( aTb \) pero no \( bTa \).

Intenta avanzar con las otras y nos comentas después.

Un saludo.

[w a y s]

Hola.

Ya que parece que no sabes empezar el ejercicio, te daré unas indicaciones para que puedas intentar hacerlo.

Para demostrar que una relación es reflexiva debes demostrar la siguiente proposición: Para todo $$x \in \mathbb{Q^+}$$ se tiene que $$xTx$$.

Para demostrar que una relación es simétrica debes demostrar la siguiente proposición: Para todo $$x,y \in \mathbb{Q^+}$$ tales que $$xTy$$  se tiene que $$yTx$$.

Para demostrar que una relación es antisimétrica debes demostrar una de las dos proposiciones siguientes(son equivalentes): Para todo $$x,y \in \mathbb{Q^+}$$ tales que $$xTy$$ e $$yTx$$ se tiene que $$x=y$$.
Para todo $$x,y \in \mathbb{Q^+}$$ tales que $$xTy$$ e  $$x\not=y$$ se tiene que $$y\not Tx$$.

Para demostrar que una relación es  transitiva debes demostrar la siguiente proposición: Para todo $$x,y,z \in \mathbb{Q^+}$$ tales que $$xTy$$ e $$yTz$$ se tiene que $$xTz$$.

La relación es de equivalencia si verifica las propiedad reflexiva, simétrica y transitiva.

La relación es de orden si verifica las propiedad reflexiva, antisimétrica y transitiva.

La relación $$T$$ será de orden total si para todo $$x,y \in \mathbb{Q^+}$$ se tiene que o bien $$xTy$$ o bien $$yTx$$.

Empieza a partir de ahí y ya nos dices en qué fallas o qué es lo que te cuesta más.

EDIT: Empecé a escribir la respuesta antes de que se publicase la #2 y no me di cuenta.

Un saludo.

[jualfo]

Muchas gracias a los 2! He conseguido ver que la relación también es transitiva y antisimétrica.

Que es transitiva lo he demostrado cogiendo a, b, c cualquieras y a partir de que aTb y bTc, he encontrado aTc.
En el caso de demostrar que es antisimétrica, con las condiciones que salen de que aTb y bTa, he llegado a que la única posibilidad para que se cumplan las condiciones es que a=b.

Entonces, tendré una relación de orden si no me equivoco.

Muchísimas gracias por la ayuda.

[martiniano]

Hola.

A mí también me sale que es de orden pero no de equivalencia. Si quieres que comentemos algo más nos vas diciendo.

Un saludo.

[Ricardo Boza]

Hola,

Además, la relación es de orden total porque todo par de elementos son comparables.