Hola Masacroso, es que ahí esta la cuestión, no estoy en un aula de teoría de la medida como tal y lo que he visto son es integrales sobre bloques y luego conuntos J mesurables e integrales sobre esos conjuntos J mesurables, pero no sé más. Dicho de otra forma he visto que una función es integrable sobre un bloque de \( \mathbb{R}^{n} \)cuando sus integral inferior y superior coinciden y luego es una equivalencia que relaciona la integrabilidad con el conjunto puntos donde ella es discontinua.
Creo entender por dónde vas,¿te han dicho que una función es Riemann-integrable en un bloque medible si su conjunto de discontinuidades es un conjunto de medida nula? ¿Es eso? Igualmente no me queda muy claro el contexto teórico que citas ya que una integral de Riemann sólo está bien definida en un "intervalo" en \( \mathbb{R}^n \), es decir, en un conjunto de la forma \( I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \ldots \times [a_n,b_n] \).
Lo que he tratado en este punto para probar que si \( f=0 \) en casi todo punto de U, entonces \( \displaystyle\int_{U} f(x) = 0 \). Es decir sea \( N = \{ x \in U : f(x) = 0 \} \) con \( med(N) = 0 \), Luego \( \displaystyle\int_{U} f(x)dx = \displaystyle\int_{N} f(x)dx + \displaystyle\int_{U - N} f(x)dx \). No sé si este bien. (En caso de que estuviera bien no sé como hacer la otra implicación).
La división de la integral en dos partes estaría bien si fuese una integral de Lebesgue, pero con lo dicho anteriormente no me queda claro que sea así. No conozco el contexto desde el cual te están enseñando esto así que no puedo darte una respuesta adecuada. Deben estar utilizando un acercamiento a la integral de Lebesgue como lo es la integral de Daniell, pero realmente no conozco más que de oídas esa manera de definir la integral de Lebesgue.
Un acercamiento más "estándar" a la integral de Lebesgue es el siguiente: se dice que una función \( f:U\to [0,\infty ) \) es medible (para una medida \( \mu \) cualquiera definida en un espacio medible \( (U,\mathscr{F}) \)) si existe una sucesión creciente de funciones simples que converjan a \( f \) casi en todas partes (es decir, que tal sucesión \( \{s_n\}_{n\in \mathbb N} \) creciente de funciones simples convergen puntualmente a \( f \) en un conjunto medible \( U\setminus N \), tal que \( \mu(N)=0 \)). De ahí y de la definición de función simple se sigue fácilmente que \( f=0 \) en casi todas partes.
Otra pregunta es: ¿ Medida puede entenderse como volumen?
No, pero el volumen sí puede entenderse como una medida. Es decir: la llamada medida de Lebesgue en \( \mathbb{R}^n \) representa la idea de volumen de un objeto de \( n \) dimensiones. Si \( n=1 \) es la idea de longitud, si \( n=2 \) la idea de área, etc...
