[Ricardo Boza]

Hola,

La medida de Lebesgue del conjunto $$A\subset [0,1]$$ de los números reales en cuya expresión en base $$b\geq 2$$ no aparecen $$z\in\{1,\ldots,b-1\}$$ dígitos prefijados es:

$$\mu(A)=1-z\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \dfrac{(b-z)^k}{b^{k+1}}\equiv0$$

Me parece curioso porque uno pensaría que, por ejemplo, en el sistema decimal, faltando un número quedan otros 9 dígitos con los que pueden formarse números colocándolos en fila uno tras otro infinitamente, que $$\mu(A)$$ debería ser $$9/10$$. No sólo no es $$9/10$$ sino que vale $$0$$. Creo que este es un resultado que desafía la intuición relámpago. ¿Por qué hay muchos más números que contienen, por ejemplo, al 3, que números que no contienen al 3? Sea el conjunto de los números que no contienen al tres en ninguna de sus cifras. Es complementario al conjunto de los números que contienen al tres en al menos una de sus cifras. Ahora sí; es más fácil encontrar a gente que se haya montado en autobús alguna vez en su vida que gente que no haya subido en toda su vida a un autobús.

[ancape]

Hola,

La medida de Lebesgue del conjunto $$A\subset [0,1]$$ de los números reales en cuya expresión en base $$b\geq 2$$ no aparecen $$z\in\{1,\ldots,b-1\}$$ dígitos prefijados es:

$$\mu(A)=1-z\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \dfrac{(b-z)^k}{b^{k+1}}\equiv0$$

Me parece curioso porque uno pensaría que, por ejemplo, en el sistema decimal, faltando un número quedan otros 9 dígitos con los que pueden formarse números colocándolos en fila uno tras otro infinitamente, que $$\mu(A)$$ debería ser $$9/10$$. No sólo no es $$9/10$$ sino que vale $$0$$. Creo que este es un resultado que desafía la intuición relámpago. ¿Por qué hay muchos más números que contienen, por ejemplo, al 3, que números que no contienen al 3? Sea el conjunto de los números que no contienen al tres en ninguna de sus cifras. Es complementario al conjunto de los números que contienen al tres en al menos una de sus cifras. Ahora sí; es más fácil encontrar a gente que se haya montado en autobús alguna vez en su vida que gente que no haya subido en toda su vida a un autobús.

No todo número en [0,1] tiene infinitas cifras decimales salvo que se consideren ceros a partir de una posición. Además no veo el 0 en el conjunto donde está contenido k. La fórmula que da la medida del conjunto parece que depende de la cifra que se elija que no debe aparecer lo que contradice la intuición de simetría. Revisa el enunciado.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

La medida de Lebesgue del conjunto $$A\subset [0,1]$$ de los números reales en cuya expresión en base $$b\geq 2$$ no aparecen $$z\in\{1,\ldots,b-1\}$$ dígitos prefijados es:

$$\mu(A)=1-z\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \dfrac{(b-z)^k}{b^{k+1}}\equiv0$$

Me parece curioso porque uno pensaría que, por ejemplo, en el sistema decimal, faltando un número quedan otros 9 dígitos con los que pueden formarse números colocándolos en fila uno tras otro infinitamente, que $$\mu(A)$$ debería ser $$9/10$$. No sólo no es $$9/10$$ sino que vale $$0$$. Creo que este es un resultado que desafía la intuición relámpago. ¿Por qué hay muchos más números que contienen, por ejemplo, al 3, que números que no contienen al 3? Sea el conjunto de los números que no contienen al tres en ninguna de sus cifras. Es complementario al conjunto de los números que contienen al tres en al menos una de sus cifras. Ahora sí; es más fácil encontrar a gente que se haya montado en autobús alguna vez en su vida que gente que no haya subido en toda su vida a un autobús.

Es bastante subjetivo lo que es o no intuitivo. Ten en cuenta que el tota de números no se divide en grupos disjuntos: los que no usan el uno, lo que no usan el dos, los que no usan el tres, etcétera...

Una mejor forma de pensarlo es mediante el problema equivalente de que al tirar "muchas veces" un dado nunca salga un seis; o nunca salga un número par. O muchas veces una moneda, nunca salga cara. Es bastante intuitivo que a medida que las tiradas aumentan la probabilidad de que eso ocurra se acerca a cero.

No todo número en [0,1] tiene infinitas cifras decimales salvo que se consideren ceros a partir de una posición.

Es bastante irrelevante eso respecto a lo que plantea Bobby Fischer,

Además no veo el 0 en el conjunto donde está contenido k.

No sé que quieres decir con eso.

La fórmula que da la medida del conjunto parece que depende de la cifra que se elija que no debe aparecer lo que contradice la intuición de simetría. Revisa el enunciado.

No. Fíjate que el enunciado no dice que elija la cifra \( z \); lo que dice es que se eligen \( z \) cifras fijadas y consideramos el conjunto de números en los que esas cifras no aparecen en su expresión en base \( b \).

Por ejemplo si \( z=2 \) y trabajamos en base decimal, podemos fijar las cifras \( \{5,6\} \) y considerar el conjunto de números en cuya expresión decimal no aparece ni \( 5 \) ni \( 6 \). O podemos fijar las cifras \( \{1,9\} \) y considerar el conjunto de números en cuya expresión decimal no aparece ni \( 5 \) ni \( 6 \). El cálculo planteado no depende de si hemos elegido \( 5,6 \) ó \( 1,9 \). Sólo de que hemos elegido DOS cifras.

Nota que:

\( \dfrac{(b-z)^k}{b^{k+1}} \)

es la medida del conjunto de números que en sus \( k \) primeras cifras no aparece ninguna de las \( z \) excluídas, pero en la k+1 aparece una de ellas previamente fijada.

Saludos.

[Ricardo Boza]

Hola,

Es bastante subjetivo lo que es o no intuitivo. Ten en cuenta que el tota de números no se divide en grupos disjuntos: los que no usan el uno, lo que no usan el dos, los que no usan el tres, etcétera...

(personal opinion incoming $$\to$$) De hecho, no conozco una intuición que no sea subjetiva. La intuición de alguien puede ser acertada en muchos casos, lo cual no la convierte en válida.
Es bueno saber distinguir lo que es intuición de lo que no lo es.

Una mejor forma de pensarlo es mediante el problema equivalente de que al tirar "muchas veces" un dado nunca salga un seis; o nunca salga un número par. O muchas veces una moneda, nunca salga cara. Es bastante intuitivo que a medida que las tiradas aumentan la probabilidad de que eso ocurra se acerca a cero.

'Intuía' que se podía relacionar con la probabilidad de alguna manera, pero no veía cómo.

Revisa el enunciado.

Realmente el enunciado es:

Halla la medida de los siguientes conjuntos de $$\mathbb{R}$$:
El conjunto de los números de $$[0,1]$$ en cuya expansión decimal no aparece un dígito prefijado.

Yo lo he generalizado.

Nota que:

\( \dfrac{(b-z)^k}{b^{k+1}} \)

es la medida del conjunto de números que en sus \( k \) primeras cifras no aparece ninguna de las \( z \) excluídas, pero en la k+1 aparece una de ellas previamente fijada.

Ésa que señalas es la clave. Gracias.

Saludos.

[ancape]

De los comentarios de Luis deduzco que no entendí bien el enunciado. Efectivamente se refería a los números cuya expresión decimal no contiene k de las cifras que se utilizan para escribir cualquier número.

Coincido con él en que la clave es '  \( \displaystyle\frac{(b-z)^k}{b^{k+1}} \) es la medida del conjunto de números que en sus k primeras cifras no aparece ninguna de las z excluidas, pero en la k+1 aparece una de ellas previamente fijada.' pero quiero matizar un poco.

La expresión \( \displaystyle\frac{(b-z)^k}{b^{k+1}} \) es la probabilidad de elegir aleatoriamente un número real en el intervalo [0,1] que en sus k primeras cifras no aparece ninguna de las z excluidas, pero en la k+1 aparece una de ellas previamente fijada. Dicha probabilidad es el cociente entre la medida de Lebesgue de tal conjunto y la medida del intervalo que en este caso es 1 y por tato medida y probabilidad son lo mismo, pero habría que tener en cuenta esta observación si el intervalo fuese otro.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Coincido con él en que la clave es '  \( \displaystyle\frac{(b-z)^k}{b^{k+1}} \) es la medida del conjunto de números que en sus k primeras cifras no aparece ninguna de las z excluidas, pero en la k+1 aparece una de ellas previamente fijada.' pero quiero matizar un poco.

La expresión \( \displaystyle\frac{(b-z)^k}{b^{k+1}} \) es la probabilidad de elegir aleatoriamente un número real en el intervalo [0,1] que en sus k primeras cifras no aparece ninguna de las z excluidas, pero en la k+1 aparece una de ellas previamente fijada. Dicha probabilidad es el cociente entre la medida de Lebesgue de tal conjunto y la medida del intervalo que en este caso es 1 y por tato medida y probabilidad son lo mismo, pero habría que tener en cuenta esta observación si el intervalo fuese otro.

Es que de hecho no estaba pesando en nada probabilístico para el cálculo.

Fijadas las \( k+1 \) primeras cifras del desarrollo "decimal" que forman un número \( a_0\in [0,1) \) el conjunto de números con ese comienzo en su desarrollo es el que está en el intervalo \( [a_0,a_0+\dfrac{1}{b^{k+1}} \) de medida \( \dfrac{1}{b^{k+1}} \).

Ahora esas \( k+1 \) primeras cifras "decimales", si las \( k \) primeras cifras sólo pueden tomar \( b-z \) valores distintos y la \( k+1 \)-ésima es fija, varían en \( (b-z)^k \) valores distintos.

De ahí el cociente que indicaba,

Saludos.

[ancape]

.........
Fijadas las \( k+1 \) primeras cifras del desarrollo "decimal" que forman un número \( a_0\in [0,1) \) el conjunto de números con ese comienzo en su desarrollo es el que está en el intervalo \( [a_0,a_0+\dfrac{1}{b^{k+1}} \) de medida \( \dfrac{1}{b^{k+1}} \).
..........

Tal vez no entienda muy bien tu afirmación pero creo que tal como está escrita no es correcta:

Si \( a_0=0'x_1x_2x_3.......x_kx_{k+1}y_1y_2y_3...... \), un número que tenga las k primeras cifras decimales igual que \( a_0 \) tendría que tener el aspecto
\( c_0=0'x_1x_2x_3..........x_kz_1z_2z_3........ \)
pero dicho número puede ser menor que \( a_0 \) y por tanto no estar en el intervalo \( [a_0,a_0+\displaystyle\frac{1}{b^{k+1}}] \)

[Luis Fuentes]

Hola

Tal vez no entienda muy bien tu afirmación pero creo que tal como está escrita no es correcta:

Si \( a_0=0'x_1x_2x_3.......x_kx_{k+1}y_1y_2y_3...... \), un número que tenga las k primeras cifras decimales igual que \( a_0 \) tendría que tener el aspecto
\( c_0=0'x_1x_2x_3..........x_kz_1z_2z_3........ \)
pero dicho número puede ser menor que \( a_0 \) y por tanto no estar en el intervalo \( [a_0,a_0+\displaystyle\frac{1}{b^{k+1}}] \)

Si. No lo has entendido bien. \( a_0 \) es el número formado por exclusivamente las \( k+1 \) primeras cifras fijadas en su desarollo decimal, es decir:

\( a_0=0'x_1x_2x_3.......x_kx_{k+1} \).

Cualquier otro con ese comienzo se obtiene sumando a \( a_0 \) un número en el intervalo que indiqué.

Saludos.

[ancape]

Hola

Tal vez no entienda muy bien tu afirmación pero creo que tal como está escrita no es correcta:

Si \( a_0=0'x_1x_2x_3.......x_kx_{k+1}y_1y_2y_3...... \), un número que tenga las k primeras cifras decimales igual que \( a_0 \) tendría que tener el aspecto
\( c_0=0'x_1x_2x_3..........x_kz_1z_2z_3........ \)
pero dicho número puede ser menor que \( a_0 \) y por tanto no estar en el intervalo \( [a_0,a_0+\displaystyle\frac{1}{b^{k+1}}] \)

Si. No lo has entendido bien. \( a_0 \) es el número formado por exclusivamente las \( k+1 \) primeras cifras fijadas en su desarollo decimal, es decir:

\( a_0=0'x_1x_2x_3.......x_kx_{k+1} \).

Cualquier otro con ese comienzo se obtiene sumando a \( a_0 \) un número en el intervalo que indiqué.

Saludos.

Queda entendido que el intervalo es \( [a_0,a_0+\displaystyle\frac{1}{b^{k+1}}] \) pues no había interpretado que \( a_0 \) sólo tiene las \( k+1 \) cifras decimales y a partir de estas son todo ceros. El problema que sigo viendo es que el conjunto de tales números está incluido en el intervalo \( [a_0,a_0+\displaystyle\frac{1}{b^{k+1}}] \) pero tal vez no sea todo el intervalo y por tanto no podemos decir que su medida sea \( \displaystyle\frac{1}{b^{k+1}} \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Queda entendido que el intervalo es \( [a_0,a_0+\displaystyle\frac{1}{b^{k+1}}] \) pues no había interpretado que \( a_0 \) sólo tiene las \( k+1 \) cifras decimales y a partir de estas son todo ceros. El problema que sigo viendo es que el conjunto de tales números está incluido en el intervalo \( [a_0,a_0+\displaystyle\frac{1}{b^{k+1}}] \) pero tal vez no sea todo el intervalo y por tanto no podemos decir que su medida sea \( \displaystyle\frac{1}{b^{k+1}} \)

Eso es muy inmediato. Cualquier número \( x\in [a_0,a_0+\displaystyle\frac{1}{b^{k+1}}) \) es de la forma \( a_0+y \) con \( 0\leq y<\dfrac{1}{b^{k+1}} \)

Eso significa que \( 0\leq b^{k+1}y<1 \) y por tanto las primeras \( k+1 \) cifras "decimales" de la expresión en base \( b \) de \( y \) son nulas.

Por dejarlo más claro:

\( y=0'y_1y_2y_3\ldots y_{k+1}y_{k+2}y_{k+3}\ldots_{b)} \)

\( b^{k+1}y=y_1y_2y_3\ldots y_{k+1}\,'y_{k+2}y_{k+3}\ldots_{b)} \)

\( 0\leq y_1y_2y_3\ldots y_{k+1}\,'y_{k+2}y_{k+3}\ldots_{b)}<1\quad \Rightarrow{}\quad y_1y_2\ldots {y_{k+1}}_b=0_b\quad \Rightarrow{}\quad y_1=y_2=\ldots=y_{k+1}=0 \)

Conclusión:

\( x=a_0+y=0'x_1x_2x_3.......x_kx_{k+1}\ldots_{b)}+0'\underbrace{000\ldots 0}_{k+1\textsf{ veces}}y_{k+2}y_{k+3}\ldots_{b)}=
0'x_1x_2x_3.......x_kx_{k+1}y_{k+2}y_{k+3}\ldots _{b)} \)

es decir \( x \) es un número con las \( k+1 \) primeras cifras "decimales" en base \( b \) iguales a las de \( a_0 \).

Saludos.