[ancape]

....... Cualquier número \( x\in [a_0,a_0+\displaystyle\frac{1}{b^{k+1}}) \) es de la forma \( a_0+y \) con \( 0\leq y<\dfrac{1}{b^{k+1}} \)

Eso significa que \( 0\leq b^{k+1}y<1 \) y por tanto las primeras \( k+1 \) cifras "decimales" de la expresión en base \( b \) de \( y \) son nulas.

Por dejarlo más claro:

\( y=0'y_1y_2y_3\ldots y_{k+1}y_{k+2}y_{k+3}\ldots_{b)} \)

\( b^{k+1}y=y_1y_2y_3\ldots y_{k+1}\,'y_{k+2}y_{k+3}\ldots_{b)} \)

\( 0\leq y_1y_2y_3\ldots y_{k+1}\,'y_{k+2}y_{k+3}\ldots_{b)}<1\quad \Rightarrow{}\quad y_1y_2\ldots {y_{k+1}}_b=0_b\quad \Rightarrow{}\quad y_1=y_2=\ldots=y_{k+1}=0 \)

Conclusión:

\( x=a_0+y=0'x_1x_2x_3.......x_kx_{k+1}\ldots_{b)}+0'\underbrace{000\ldots 0}_{k+1\textsf{ veces}}y_{k+2}y_{k+3}\ldots_{b)}=
0'x_1x_2x_3.......x_kx_{k+1}y_{k+2}y_{k+3}\ldots _{b)} \)

es decir \( x \) es un número con las \( k+1 \) primeras cifras "decimales" en base \( b \) iguales a las de \( a_0 \).

Saludos.