Hola
Sea \( \sigma \) una isometria no trivial del plano tal que \( \sigma \circ \sigma =id. \) Probar que \( \sigma \) es una reflexion, o bien una rotacion de \( 180°. \)
Si todos los puntos son fijos sería la identidad.
Si \( P \) es un punto no fijo, entonces \( P'=\sigma(P)\neq P \). Si \( M \) es el punto medio de \( P \) y \( P' \) entonces por ser \( \sigma \) isometría, \( \sigma(M) \) es el punto medio de \( \sigma(P)=P \)' y \( \sigma(P')=\sigma(\sigma(P))=P \) y por tanto \( \sigma(M)=M \) ya que el punto medio de dos dados es único.
Por último tomamos \( Q \) equidistante de \( P \) y \( P' \) pero distinto de \( M \), es decir, sobre la mediatriz de \( PP' \).
Si \( \sigma(Q)\neq Q \) entonces como \( \sigma(Q) \) tiene que equidistar de \( \sigma(P)=P \)' y \( \sigma(P')=\sigma(\sigma(P))=P \) sigue estando en la mediatriz de \( PP' \) y como está a la misma distancia de \( \sigma(M)=M \) que Q, entonces \( \sigma(Q) \) es el simétrico respecto a \( M \) de \( Q \). En este caso y dado que una transformación del plano queda determinda por su comportamiento en tres puntos no colineales \( P,M,Q \), deducimos que es una simetría respecto al punto \( M \), es decir, un giro de \( 180^o \).
Si \( \sigma(Q)=Q \) entonces de nuevo por el comportamiento de la transformación en \( P,M,Q \) deducimos que es una simetría respecto a la mediatriz \( PP' \).
Saludos.
