[martiniano]

Hola.

Quiero subir aquí una identidad trigonométrica que a mí me resultó sorprendente bastante sorprendente. Me la conjeturé a mí mismo mientras le daba vueltas a este problema y acabé encontrando una demostración que comparto un poco más abajo. Quisiera saber si alguien de vosotros conoce esta identidad y alguna otra demostración, ya que en tal caso me gustaría compararlas. La identidad en cuestión es la siguiente:

Sea \( n  \) un entero \( n\geq{1} \). Entonces para \( k\in{}\{0,...,n\} \) se cumple:

\( \displaystyle\prod_{\substack{i=0\\i\neq{k}}}^{n}{\left |{\cos\left(\displaystyle\frac{k\cdot{}\pi}{n}\right)-\cos\left(\displaystyle\frac{i\cdot{}\pi}{n}\right)}\right |}=\begin{cases} \displaystyle\frac{n}{2^{n-2}} & \text{si}& k\in{\{0,n\}}\\\displaystyle\frac{n}{2^{n-1}} & \text{si}&  k\in{\{1,...,n-1\}}\end{cases} \)

Spoiler

Llamaré \( T_m(x) \) y \( U_m(x) \) a los polinomios de Chebyshev de primera y segunda especie respectivamente. Utilizaré las siguientes propiedades de los mismos:

• U_m(x) tiene grado \( m \) y su coeficiente de mayor grado es \( 2^m \).
• Los ceros de \( U_m(x) \) son \( \cos\left(\displaystyle\frac{k\pi}{m+1}\right) \) con \( k\in{}\{1,...,m\} \)
• Para todo entero \(  i \) se cumple \( T_m\left(\cos\left(\displaystyle\frac{i\pi}{m}\right)\right)=(-1)^i \)
• \( U_m(1)=m+1 \)
• \( U_m(-1)=(-1)^m\cdot{}(m+1) \)
• \( \displaystyle\frac{dU_{m-1}}{dx}=\displaystyle\frac{m\cdot{T_m(x)}-x\cdot{}U_{m-1}(x)}{x^2-1} \)

Consideremos el polinomio:

\( p(x)=2^{n-1}\displaystyle\prod_{i=0}^{n}{\left(x-\cos\left(\displaystyle\frac{i\pi}{n}\right)\right)} \)

Que es el mismo polinomio que el siguiente, ya que ambos tienen los mismos ceros, el mismo grado y el mismo coeficiente de mayor grado:

\( p(x)=(x^2-1)\cdot{}U_{n-1}(x) \)

Entonces, derivando la primera expresión, substituyendo \( x=cos\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right) \) con \( k \in{\{0,...,n\}} \) y tomando valor absoluto tenemos que:

\( \left |{p'\left(\cos\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right)\right)}\right |=2^{n-1}\displaystyle\prod_{\substack{i=0\\i\neq{k}}}^{n}{\left |{\cos\left(\displaystyle\frac{k\cdot{}\pi}{n}\right)-\cos\left(\displaystyle\frac{i\cdot{}\pi}{n}\right)}\right |} \)

Por otro lado, derivando la segunda expresión:

\( p'(x)=2x\cdot{}U_{n-1}(x)+(x^2-1)\cdot{}\displaystyle\frac{n\cdot{T_n(x)}-x\cdot{}U_{n-1}(x)}{x^2-1}=x\cdot{U_{n-1}(x)}+n\cdot{T_{n}(x)} \)

Por lo que, con la ayuda de las propiedades de antes:

\( |p'(1)|=|p'(-1)|=2n \)

Con esto ya tenemos la demostración del enunciado para \( k\in{\{0,n\}} \). En otro caso, es decir para \( k\in{}\{1,...,n-1\} \), tenemos que:

\( \left |{p'\left(\cos\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right)\right)}\right |=\left |\cos\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right)\cdot{}\underbrace{U_{n-1}\left(\cos\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right)\right)}_{0}+n\cdot{}T_n\left(\cos\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right)\right)\right |=|(-1)^k\cdot{}n|=n \)

Y con esto último el enunciado para el resto de casos.

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Un saludo.