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1
Muchísimas Gracias Masacroso, ha sido de gran utilidad y de gran ayuda.

Gracias Nuevamente
2
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( X \) un conjunto no vacío cualquiera, y \( (V ,K,+,.) \) un espacio vectorial. Consideramos el conjunto \( \mathcal{F} \) formado por todas las funciones de \( X \) que toman valores en \( V \) . Es decir, \( \mathcal{F} = \{f \text{ tales que } f : X \rightarrow V \} \).

Definimos:
  • Suma de dos funciones: \( (f + g)(x) = f (x) + g(x), x \in X \)
  • Producto de una función \( f \) por un escalar \( \lambda \): \( (\lambda f )(x) = \lambda f (x), x \in X \).
Mostrar que \( (F ,K,+,·) \) es un espacio vectorial

La verdad no se por donde empezar, ¿Necesariamente tengo que probar que \( \mathcal{F} \) satisface los axiomas?.
Me gustaría tal vez si me dan un pequeño ejemplo de como se demostraría uno de estos axiomas para \( \mathcal{F} \) y yo intentare con el resto a partir de ese.

Saludos,
Franco.
3
Vale, interpreté mal a qué te referías por opuestas. Ahora entiendo por qué estaba equivocado. Gracias.
4
Topología (general) / Re: Problema sobre Topología heredada o inducida
« Último mensaje por nico en Hoy a las 08:30 pm »
Hola Luis, muchas gracias por tu comentario.
Lo arreglo y lo adjunto nuevamente.

Saludos
5
-
¡No me amenaces que te suelto uno de los videos del canal del filósofo aquel ... que hablaba sobre la Omnipotencia Divina! ... y eso de que ese hipotético Dios no puede hacer todo, sino sólo "lo posible" ... o sea, "puede hacer lo que puede ser hecho", no más allá ...

... y por lo tanto nuestra imaginación todavía puede hacer menos cosas ...

¡Por cierto!, tendríamos que hablar en el foro (si queréis puede ser de un modo puramente científco ... mmm ... de hecho ésa es la manera que se debe usar), hablar, digo, del famoso efecto de "los cuadros del mismo color que parecen ser de distinto color" (ya sabéis, el del cilindro que sombrea un tablerillo ajedrezado) ...

El caso es que es uno de los ¿engaños cerebrales? más SALVAJES a los que uno se puede enfrentar.

En fin, la apertura de tal hilo parece imposible de evitar, je, je ...
-
6
Pero insisto que en todo lo que digo la métrica y la signatura están fijadas de antemano. No es que una base corresponda a una signatura y otra a la otra, o que se cambie de una signatura a otra. Las bases son ortonormales respecto de una métrica con una signatura fijada.

Si quieres se puede decir en términos más intrínsecos que no involucren matrices: dos bases ortonormales corresponden a la misma orientación temporal si el (único) vector tipo tiempo de cada base está en la misma componente del cono temporal (de los dos que tiene).
7
Análisis Matemático / Re: Duda sobre funciones
« Último mensaje por Luis Fuentes en Hoy a las 07:41 pm »
Hola

Te hemos corregido el mensaje desde la administración.

 Por favor en lo sucesivo haz caso de las indicaciones que te ha dado robinlambada.


      En un problema que estoy tratando tengo que demostrar que los valores de \( x \) para los cuales las funciones \( f(n_1),f(n_2),f(n_3),f(n_4) \) no tienen solución son infinitos.
Es algo como:

\(    x=f(n_1) \)
\(    x=f(n_2) \)
\(    x=f(n_3) \)
\(    x=f(n_4) \)

Para \( x=1 \), \( f(n_1) \) no existe solución, \( f(n_2) \) tiene solución en \( n=1 \), \( f(n_3) \) no existe solución, \( f(n_4)  \)no existe solución

¿Qué apartado de las matemáticas trata las soluciones o no soluciones de un "sistema"?.
Es un sistema para el que ciertos valores de x tienen solución en las 4 funciones, otros valores en los que solo alguna de las funciones tiene soluciones y otros valores para los que ninguna función tiene solución.
Las funciones son del tipo \( F(n_1)=3n+2 \) y se limita a soluciones de números naturales.

 Una ecuación del tipo \( x=an+b \) equivale a \( x\equiv b \) mod \( a \). Esencialmente el estudio de soluciones de un sistema formado por ecuaciones de ese tipo es el Teorema Chino del Resto:

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_chino_del_resto

Saludos.
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Análisis Matemático / Re: Duda sobre funciones
« Último mensaje por robinlambada en Hoy a las 07:16 pm »
Hola Quarkbite, bienvenido al foro.
Hola

      En un problema que estoy tratando tengo que demostrar que los valores de x para los cuales las funciones f(n1),f(n2),f(n3),f(n4) no tienen solución son infinitos.
Es algo como:

   x=f(n1)
   x=f(n2)
   x=f(n3)
   x=f(n4)

Para x=1, f(n1) no existe solución, f(n2) tiene solución en n=1, f(n3) no existe solución, f(n4) no existe solución

¿Qué apartado de las matemáticas trata las soluciones o no soluciones de un "sistema"?.
Es un sistema para el que ciertos valores de x tienen solución en las 4 funciones, otros valores en los que solo alguna de las funciones tiene soluciones y otros valores para los que ninguna función tiene solución.
Las funciones son del tipo F(n1)=3n+2 y se limita a soluciones de números naturales.

Recuerda seguir y respetar las normas del foro, en particular que debes escribir las fórmulas usando \( LaTeX \)

Respecto a tu pregunta, no me queda clara.

Pero el teorema que estudia los sistemas de ecuaciones si estos son lineales es el teorema de Rouché-Frobenius

Saludos.
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Análisis Matemático / Duda sobre funciones
« Último mensaje por Quarkbite en Hoy a las 07:00 pm »
Hola

      En un problema que estoy tratando tengo que demostrar que los valores de \( x \) para los cuales las funciones \( f(n_1),f(n_2),f(n_3),f(n_4) \) no tienen solución son infinitos.
Es algo como:

\(    x=f(n_1) \)
\(    x=f(n_2) \)
\(    x=f(n_3) \)
\(    x=f(n_4) \)

Para \( x=1 \), \( f(n_1) \) no existe solución, \( f(n_2) \) tiene solución en \( n=1 \), \( f(n_3) \) no existe solución, \( f(n_4)  \)no existe solución

¿Qué apartado de las matemáticas trata las soluciones o no soluciones de un "sistema"?.
Es un sistema para el que ciertos valores de x tienen solución en las 4 funciones, otros valores en los que solo alguna de las funciones tiene soluciones y otros valores para los que ninguna función tiene solución.
Las funciones son del tipo \( F(n_1)=3n+2 \) y se limita a soluciones de números naturales.
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Muchas gracias, podría hacer el primer apartado así?

Spoiler
Estudiaremos la integrabilidad en intervalos de la forma \( ]0, \alpha] \). Para ellos veamos el siguiente límite:
      
         \[ \lim_{x \rightarrow 0} \left| \frac{1-\cos(x)}{x}\cdot e^{-tx} \right|=\lim_{x \rightarrow 0} \left| \dfrac{\sen^2(x)}{x\cdot (1+\cos(x))}\cdot e^{-tx} \right|= \lim_{x \rightarrow 0} \left| \frac{\sen(x)}{x}\cdot \frac{\sen(x)}{1+\cos(x)}\cdot e^{-tx} \right| \]
      
      Sabiendo que \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sen(x)}{x}=0 \) tenemos que:

      \begin{equation*}
      \lim_{x \rightarrow 0} \left| \frac{\sen(x)}{x}\cdot \frac{\sen(x)}{1+\cos(x)}\cdot e^{-tx} \right|=\lim_{x \rightarrow 0} \left| 0\cdot \frac{0}{1+1}\cdot 1 \right|=0
      \end{equation*}

      como el límite es 0 y la función constantemente igual a 1 es integrable en el intervalo \( ]0,\alpha] \) usando el criterio por comparación por paso al límite, tenemos que la función \( \frac{1-\cos(x)}{x}e^{-tx} \) también es integrable en dicho intervalo para cada \( t\in \mathbb{R}^+ \).
      
      Ahora estudiemos la situación en un intervalo de la forma \( [\alpha, +\infty[ \). Vamos a comparar con la función \( e^{-tx} \) que sabemos que es integrable para todo \( t>0 \) en este tipo de intervalos.

      \begin{equation*}
         \lim_{x \rightarrow +\infty} \left| \frac{\dfrac{(1-\cos(x))}{x}\cdot e^{-tx}}{e^{-tx}} \right|=\lim_{x \rightarrow +\infty} \left| \dfrac{1-\cos(x)}{x} \right|=0
      \end{equation*}

      como el límite es 0 y la función \( e^{-tx} \) es integrable en \( [\alpha, +\infty[ \) usando el criterio por comparación por paso al límite tenemos que la función \( \frac{1-\cos(x)}{x}e^{-tx} \) también es integrable en dicho intervalo para todo \( t\in \mathbb{R}^+ \).
      
      Concluimos que \( \frac{1-\cos(x)}{x}e^{-tx} \) es integrable en \( ]0, +\infty[=\mathbb{R}^+ \) para todo \( t\in \mathbb{R}^+ \).
[cerrar]

Veamos, la función

        \( g(x)=\begin{cases}{\dfrac{1-\cos x}{x}e^{-tx}}&\text{si}& x>0\\0 & \text{si}& x=0\end{cases} \)

es continua en \( [0,+\infty) \) lo cual implica de manera obvia que es integrable en cada intervalo de la forma \( (0,\alpha] \) (y también \( [0,\alpha] \)). Entonces la integrabilidad de \( g(x) \) en \( \mathbb{R}^+ \) se limita a estudiar la convergencia de \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty}g(x)\ dx \).
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