Hola
Un ejemplo de lo que han dicho, si \( \{a_n\}_{n=1}^{+\infty} \) cambia de signo y \( \{b_n\}_{n=1}^{+\infty} \) es de términos positivos puede suceder que \( a_n \leq b_n \) y \( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) converge y \( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} b_n \) diverge.
\( a_n = \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} \) y \( b_n = \dfrac{1}{n} \),las dos deben de ser de términos positivos para poder usar el criterio.
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Asi que en este caso es cuándo no podemos usar la prueba de comparación directa para verificar la convergencia?
Por resumir desde un
punto de vista teórico: se puede aplicar el criterio de comparación directa para una serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n \) si se cumple que:
1) Todos sus términos son no negativos.
2) Existe una serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n \) convergente y un \( n_0 \) tal que tal que \( 0\leq a_n\leq b_n \).
¿Por qué subrayo desde un punto de vista teórico? Por que en la práctica una vez comprobado que los términos son positivos, el encontrar la serie convergente \( b_n \) que la mayore puede ser directo, complicado o casi imposible; y no hay una forma objetiva de decidir en que caso estamos. De hecho de que series convergentes sepamos previamente que convergen para facilitar el trabajo.
y como hare la grafica gracias ?
Hablas mucho de la gráfica. Pero tampoco es lo más usual dibujar una serie. Se puede ir representando las sumas parciales:
un punto en \( a_1 \) encima del \( 1 \)
un punto den \( a_1+a_2 \) encima del \( 2 \)
un punto en \( a_1+a_2+a_3 \) encima del \( 3 \)
Se trata de que entiendas la idea.. y entonces la harás tu sin problema.
Insisto no obstante en que no es especialmente común ni útil representar una serie.
Saludos.
