[Marcos Castillo]

Hola, RM

En "Cálculo", de Robert A. Adams, en la sección 3.4, el segundo apartado, "Modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial", tengo dos dudas. Primero lo cito:

Modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial

En muchos procesos naturales intervienen cantidades que crecen o decrecen con una velocidad proporcional a su tamaño. Por ejemplo, la masa de un cultivo de bacterias que crece en un medio que proporciona los nutrientes adecuados crecerá con una velocidad proporcional a dicha masa. El valor de una inversión con interés compuesto crece con una velocidad proporcional a dicho valor. La masa de material radiactivo no descompuesto en una muestra decrece con una velocidad proporcional a dicha masa.

Todos estos fenómenos, y otros que muestran un comportamiento similar, se pueden modelar matemáticamente de la misma forma. Si \( y=y(t) \) indica el valor de una cantidad \( y \) en el instante \( t \), y si \( y \) cambia con una velocidad proporcional a su tamaño, entonces

\( \dfrac{dy}{dt}=ky \)

siendo \( k \) la constante de proporcionalidad. La ecuación anterior se denomina ecuación diferencial de crecimiento o decrecimiento exponencial ya que, para cualquier valor de la constante \( C \), la función \( y=Ce^{kt} \) cumple la ecuación. De hecho, si \( y(t) \) representa cualquier solución de la ecuación diferencial \( y'=ky \), entonces

\( \dfrac{d}{dt}\left({\dfrac{y(t)}{e^{kt}}}\right)=\dfrac{e^{kt}y'(t)-ke^{kt}y(t)}{e^{2kt}}=\dfrac{y'(t)-ky(t)}{e^{kt}}=0\quad\mbox{para todo}\;{t} \)

Entonces \( y(t)/e^{kt}=C \), una constante, e \( y(t)=Ce^{kt} \). Como \( y(0)=Ce^0=C \),

El problema de valor inicial \( \begin{cases}{\dfrac{dy}{dt}=ky}\\y(0)=y_0\end{cases} \) tiene como solución única \( y=y_0e^{kt} \)

Si \( y_0>0 \), entonces \( y(t) \) es una función creciente con \( t \) si \( k>0 \) y es una función decreciente con \( t \) si \( k<0 \). Se dice que la cantidad \( y \) presenta un crecimiento exponencial si \( k>0 \) y un decrecimiento exponencial si \( k<0 \). Véase la figura 3.15.



Figura 3.15 Soluciones del problema del valor inicial \( dy/dt=ky \), \( y(0)=y_0 \) para \( k>0 \), \( k=0 \) y \( k<0 \)

Dudas:
- ¿qué diferencia hay entre \( y \) e \( y(t) \)?
- ¿por qué \( \dfrac{d}{dt}\left({\dfrac{y(t)}{e^{kt}}}\right)=0 \)?
Vamos, que 
Un saludo

[sugata]

Ha usado la regla de derivar una fracción y al final.
\( y'(t) - ky(t)  \)

Pero  \( y'(t) =ky \)

[ingmarov]

Hola Marcos

...

Dudas:
- ¿qué diferencia hay entre \( y \) e \( y(t) \)?
...

Cuando te escriben \[ y=y(t) \] te dicen que "\( y \)" es una variable dependiente del tiempo (\( y \) es función de \( t \)). Si solo escribes "\( y \)", esta variable podría ser independiente o podría depender de otra variable o variables. Es tu cita \( y \) es siempre igual a \( y(t) \).

...

- ¿por qué \( \dfrac{d}{dt}\left({\dfrac{y(t)}{e^{kt}}}\right)=0 \)?
...

Aquí no debes olvidar lo que te han escrito poco antes "si \( y(t) \) ... es solución de la ecuación diferencial \( y'=ky \) ". Si restas \( ky \) a ambos lados de la ecuación diferencial te queda  \( y'-ky=0 \), y esto es igual a lo que queda en el numerador de la derivada calculada \( \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{y(t)}{e^{kt}}\right) \)

Saludos

[feriva]

Hola, Marcos.

Yo no sé mucho de ecuaciones diferenciales, pero ésta es prácticamente la EDO más sencilla que hay y creo que puedes verlo de esta manera sin mucha dificultad:

Spoiler

“Despeja” de la primer igualdad (entre comillas lo de despeja, porque en realidad en la operación lo que hay es un cálculo de límites, pero en este caso funciona como si se despejara sin más)

\( \dfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow
  \)

\( \dfrac{dy}{dt}\cdot dt=ky\cdot dt\Rightarrow
  \)

\( \dfrac{dy}{y}=kdt
  \)

Es decir, hemos multiplicado a ambos lados por “dt”, que es un valor que tiende a cero, pero eso no impide ese paso, la igualdad será cierta; y al lado derecho izquierdo se puede asociar \( \dfrac{dt}{dt}
  \), cuyo límite es 1, quedando la expresión de esa manera.

Ahora fíjate que en el lado derecho izquierdo interviene la variable (que es “y”) y el diferencial de la variable, “dy” (nos hemos llevado a un mismo lado de la igualdad las dos cosas para así poder integrar ahí). Al otro lado tienes la diferencial de “t” y una constante. Luego puedes hallar la primitiva a ambos lados, nada lo impide, y también será una igualdad cierta:

\( \int\dfrac{1}{y}\cdot dy=k\int dt
  \)

Resolviendo las primitivas (y distinguiendo la constante de cada una, que no son necesariamente iguales) es

\( log(y)+c_{1}=kt+c_{2}
  \).

Pero podemos dejar las constantes en una sola, despejando y restando

\( log(y)=kt+C
  \)

Eso nos está diciendo, como sobradamente sabes, que \( kt+C
  \) es la potencia a la que tenemos que elevar la base “e” para que nos dé “y”; o sea:

\( y=e^{kt+C}
  \) (que es una función de “t”, claro, y podemos ponerlo así \( y(t)=e^{kt+C}
  \))

donde por una de las conocidas propiedades elementales de las potencias sabemos que

\( e^{kt+C}=e^{kt}\cdot e^{C}
  \).

Pero como “e” es una constante y C es una constante, entonces \( e^{C}
  \) también es una constante que podemos bautizar con otra letra; sin embargo, mejor la dejamos con esa letra a secas para que sea la misma que en tu libro, pues ya sabemos que no es la de antes y lo tenemos en cuenta. Entonces

\( y(t)=C\cdot e^{kt}
  \).

Ahora, si tomas y(0) pues supone t=0 y que la potencia kt sea cero, con lo que \( e^{0}=1
  \) y llegamos a

\( y(0)=C
  \).

Y ahí ya se ve lo que te dicen de las condiciones iniciales; y al final te analizan qué pasa si es mayor que cero y tal.

[cerrar]

No me resisto a hacer un comentario relacionado con esto (aunque medio “off-topic” y deprimente, casi mejor no leerlo)

Spoiler

Me gusta mucho esa ecuación, como todo lo sencillo de las matemáticas, pero a la vez me da “repelús”, me deprime.

Imagina que hay 10 personas en una casa más o menos grande, de 300 metros cuadrados, vamos a poner. Caben más o menos bien, la casa puede tener 4 o 5 cuartos de baño, un comedor grande... Supón ahora que los inquilinos aumentan al cabo de cinco años, por ejemplo, hasta \( 10^{2}=100
  \); ya no caben tan bien, si es que caben. Si al cabo de otros cinco años aumentan \( (10^{2})^{2}=10000
  \), ya necesitan algo así como un pequeño estadio de fútbol para caber todos.

La gráfica de la parábola \( x^2 \) no es ni medio empinada comparada con la que se puede ver en este enlace respecto del sector que se corresponde con las últimas décadas (es la tercera imagen, contando de arriba a abajo en la página).

https://es.wikipedia.org/wiki/Superpoblaci%C3%B3n_humana

Más abajo de la gráfica se puede leer que una declaración de 15.364 científicos de 184 países indicó que el rápido crecimiento de la población humana es el principal motor de muchas amenazas ecológicas e incluso sociales.

Personalmente (es mi opinión) creo que sería mejor gastarse el dinero en fabricar anticonceptivos antes que en mascarillas, tests y tantas otras cosas; y también en hacer una campaña mundial de información para controlar la natalidad antes que hablar tanto del cambio climático, un problema el cual, de llegar, tardaría mucho más que el agotamiento de los recursos de todo tipo; agua, comida... energía... (una falta de espacio físico preocupante no sé si nos daría tiempo a experimentarla).

[cerrar]

Saludos.

[Marcos Castillo]

He revisado el concepto de ED, que es lo que me faltaba por leer. Tengo ahora la sensación de haber publicado sin estudiar previamente...No, espero que no. Porque las respuestas del Rincón me han hecho reflexionar...Había algo evidente que tenía que encajar, pero yo solo no podía. Suelo anotar el título del hilo en el margen de la página donde he tenido la duda, y ahora añado un recordatorio: "Pg. 178, qué es una ED".

feriva, piensa que hablamos de una placa petri, o mejor, de una inversión.

¡Gracias, Rincón!

[feriva]

He revisado el concepto de ED, que es lo que me faltaba por leer. Tengo ahora la sensación de haber publicado sin estudiar previamente...

Hola, Marcos. No había visto tu respuesta.
No te has saltado nada al estudiar, es que las ecuaciones diferenciales se empiezan estudiando así, viendo que tal cosa cumple la ecuación, pero sin solucionarla mediante el método, que se enseña después; o eso recuerdo yo, que de esto estudié poco y además no me acuerdo bien.

Saludos

[Marcos Castillo]

Sí, intuyo que el libro se desarrolla de forma que el desenlace, la comprensión, se pospone continuamente.

¡Un saludo!