Hola.

 Hace poco me encontré con el siguiente problema que me pareció interesante:

Sean \( a_{1},a_{2},\dots,a_{n} \) números reales tales que para todo \( k\in\{1,\dots,n\}=:[n] \) vale que


Probar que \( a_{i}\geq0 \) para todo \( i\in\{1,\dots,n\}. \)

\( \bullet \) Paso a aclarar la notación. Cuando escribo \( \binom{[n]}{k} \) me refiero a un subconjunto con exactamente \( k \) elementos de \( [n]:=\{1,2,\dots,n\}. \) Entonces, por ejemplo, en el caso que los números fueran \( a_{1},a_{2},a_{3}, \)  las hipótesis del problema nos dicen que valen las desigualdades \( a_{1}+a_{1}+a_{3}\geq0, \) \( a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{2}a_{3}\geq0 \) y \( a_{1}a_{2}a_{3}\geq0. \) En este caso, se cumple (según el problema) que \( a_{1}\geq0,\;a_{2}\geq0 \) y \( a_{3}\geq0. \)

 Les voy adelantando que el problema no es complicado, así que invito a todos a tratar de resolverlo y anotar, de preferencia oculto bajo un spoiler, sus soluciones o intentos en lo que sigue de este hilo. En unos días anotaré dos soluciones de este problema (o simplemente las comentaré en caso que las soluciones que tengo en mente ya hayan aparecido en el hilo).

Saludos,

Enrique.

Hola maga.

 No se cuál sea la definición de intervalo que estás usando en dimensiones mayores a uno. Si fuera algo como \( I=\{(x,0)\in\mathbb{R}^{2}:x\in(0,1)\}, \) tenemos que no es un conjunto abierto (de \( \mathbb{R}^{2} \)) pues para cualquier punto \( (a,0)\in I \) cualquier disco abierto centrado en \( (a,0) \) contiene puntos que no pertenecen a \( I. \)

 La idea es similar para cualquier dimensión \( n>1. \) Si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.

P.S. Intenta corregir el \( \LaTeX \) de tu pregunta para que las fórmulas sean visibles.

Hola.

 En \( \mathbb{R}^{n} \) con la conexión usual tenemos que \( \nabla_{X}Y^{i}\partial_{i}=(XY^{i})\partial_{i}, \) para todo par de campos vectoriales \( X,\;Y. \) Esto implica que si \( Z=Z^{i}\partial_{i}, \) entonces \( \nabla_{X}\nabla_{Y}Z=\nabla_{X}(YZ^{i}\partial_{i})=X(YZ^{i})\partial_{i}=XYZ^{i}\partial_{i}. \) Similarmente \( \nabla_{Y}\nabla_{X}Z=YXZ^{i}\partial_{i}, \) por tanto


Saludos,

Enrique.

Hola raistlin.

 No se bien cuál es tu duda. Sucede que si uno define simplemente el operador \( (X,Y,Z)\mapsto\nabla_{X}\nabla_{Y}Z-\nabla_{Y}\nabla_{X}Z, \) éste no es un endomorfismo. En particular \( \nabla_{X}\nabla_{fY}Z-\nabla_{fY}\nabla_{X}Z\not\equiv f(\nabla_{X}\nabla_{Y}Z-\nabla_{Y}\nabla_{X}Z). \) Sin embargo sí definimos \( R:{\cal T}(M)\times{\cal T}(M)\times{\cal T}(M)\to{\cal T}(M) \) por


sí que tenemos un endomorfismo. Es decir una posible respuesta es que definido de esta forma, el endomorfismo del curvatura, es un endomorfismo propiamente dicho. Además puede probarse que el endomorfismo de curvatura es invariante bajo isometrías locales. En resumen, con el término adicional \( -\nabla_{[X,Y]}Z \) la cantidad \( R(X,Y)Z \) tiene mejores propiedades que sin él y esto facilita el estudio de las variedades Riemannianas.

 Otra posible justificación para la definición del endomorfismo de curvatura puede ser notar que si estamos en \( \mathbb{R}^{n} \) al tomar \( X, Y \) campos vectoriales, puede probarse la igualdad


Esto quiere decir que en \( \mathbb{R}^{n} \) vale \( R(X,Y)Z\equiv 0 \) y analizar esta misma cantidad en otras variedades puede resultar útil (y de hecho lo es) para comparar su geometría con la geometría de \( \mathbb{R}^{n}. \)

Saludos,

Enrique.

Hola conchivgr.

 Una forma es esta: Si la matriz \( A \) es normal entonces es digonalizable usando una matriz unitaria (en este enlace se esboza una prueba de esto), esto quiere decir que existen matrices \( D=\text{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}), \) diagonal (\( \lambda_{i} \) son los autovalores de \( A \)) y \( U \) unitaria tales que \( A=UDU^{*}. \) En este caso \( A^{*}=UD^{*}U^{*}. \) Luego \( A^{*}A=UD^{*}U^{*}UDU^{*}=UD^{*}IDU^{*}=U(D^{*}D)U^{*}. \) Esto quiere decir que los autovalores de \( A^{*}A \) son de la forma \( \|\lambda_{i}\|^{2}, \) donde \( \lambda_{i} \) es un autovalor de \( A. \) Por tanto los valores singulares de \( A \) son \( \|\lambda_{1}\|,\dots,\|\lambda_{n}\|. \)

Saludos,

Enrique.

Hola bandini.

 Me parece que hay un problema con el enlace de el_manco (al menos yo no lo puedo ver). Imagino que la información que quiso enlazar es similar a la que se encuentra en la sección 6.2.4, que inicia en la página 139, de estas notas. Con la notación que ahí se usa, hagamos \( X={\bf Bn}(5,0,35). \)

 Entonces, para la parte a hay que encontrar el valor de \( P[X=2]+P[X=1]+P[X=0]. \) ya que

Por otra parte Ten en cuenta que la binomial negativa cuenta el número de fracasos hasta obtener el número de éxitos desados, no el número de intentos totales. Pero esto no es mayor problema. Por ejemplo \( 7 \) intentos totales equivalen a \( 7-5=2 \) fracasos antes de obtener \( 5 \) éxitos.

Para la parte b hay que encontrar la esperanza de \( X \) que corresponde a la ecuación \( (6.9) \) de las notas que enlazo. En la parte c (por motivos análogos a la justificación de la parte a) nos piden \( P[X\geq5] \) que podemos calcularlo notando que


Saludos,

Enrique.

P.S. La ecuación \( (6.8) \) de las notas que enlazo tiene una errata (sobra un \( p \) en a segunda expresión), pero el resultado final es correcto.

Hola Tenochtitlan.

 ¿Cuales son las dificultades que tienes? Si es \( f(x,y)=x^{2}y^{3}(12-x-y) \) hay que resolver el sistema determinado por


 Si no puedes terminar, cuéntanos las dificultades específicas que tengas.

Saludos,

Enrique.

Hola.

 ¡Cuidado!, esto

Además, como \( sin^2 x + cos^2 x = 1 \) tienes que \( sin x = \sqrt[ ]{1-cos^2 x} \)

 Es verdad únicamente cuando \( \sen x\geq 0, \) que pasa cuando \( x \) pertenece al primero o segundo cuadrantes. Para los otros valores de \( x \) se tiene que \( \sen x=-\sqrt{1-\cos^{2} x}. \)

Saludos,

Enrique.

Hola raistlin.

 No estoy seguro de la bibliografía o el modo en que estás viendo el curso que estás siguiendo, así que trataré de explicarte brevemente qué significa la expresión \( \nabla g\equiv 0 \) y si tienes dudas, pregunta.

\( \bullet \) Dado un fibrado vectorial \( \pi: E\to M, \) si denotamos por \( \cal{E}(M) \) a su conjunto de secciones, una conexión en \( E \) es una aplicación \( \nabla :{\cal T}(M)\times{\cal E}(M)\to{\cal E}(M), \) donde \( {\cal T}(M) \) son las secciones del fibrado tangente de \( M \) (o equivalentemente \( {\cal T}(M) \) son los campos vectoriales sobre \( M \)), que cumple ciertas propiedades.

\( \bullet \) La conexión de Levi-Civita, que también denotaremos por \( \nabla, \) es una conexión en el fibrado tangente, es decir, cuando \( {\cal E}(M)={\cal T}(M). \) Entonces, para esta conexión, en principio únicamente tienen sentido expresiones del tipo \( \nabla_{X}Y, \) con \( X,Y\in {\cal T}(M). \)

\( \bullet \) Sin embargo, dada una conexión \( \nabla \) en el fibrado tangente de \( M, \) ésta puede extenderse a todos los fibrados tensoriales \( T^{k}_{l}M \) de forma única (no importa si no tienes claro lo que significa \( T^{k}_{l}M, \) lo veremos para el caso que nos interesa de \( k=2 \) y \( l=0, \) más abajo). De esta forma adquieren sentido expresiones del tipo \( \nabla_{X}F \) para cualquier \( F \) sección de \( T^{k}_{l}M. \)

\( \bullet \) En nuestro caso \( g \) es una sección del fibrado \( T^{2}M:=\bigsqcup_{p\in M}T^{2}(T_{p}M) \) donde para cada punto \( p\in M \) el espacio \( T^{2}(T_{p}M) \) representa al conjunto de mapas bilineales \( f:T_{p}M\times T_{p}M\to\mathbb{R}. \) Luego, por el resultado que menciono en el anterior párrafo, podemos extender \( \nabla \) a \( T^{2}M \) y de esta forma ya tiene sentido escribir \( \nabla_{X}g. \) La extensión se (puede probar que se) hace por medio de la igualdad


\( \bullet \) Entonces, la expresión \( \nabla g\equiv 0 \) significa que \( \nabla_{X}g=0 \) para todo \( X\in{\cal T}(M). \) Esto ultimo a su vez significa que \( (\nabla_{X}g)(Y,Z)=0, \) para todo \( X,Y,Z\in{\cal T}(M). \) Por el párrafo anterior, esto es equivalente a que \( Xg(Y,Z)-g(\nabla_{X}Y,Z)-g(Y,\nabla_{X}Z)=0 \) para todo \( X,Y,Z\in{\cal T}(M), \) que es justamente la condición de compatibilidad entre \( g \) y \( \nabla. \)

 En resumen, la expresión \( \nabla g\equiv 0 \) no es más que otra forma (más compacta) de escribir la condición de compatibilidad de \( g \) con \( \nabla. \) El problema es que para entenderla se necesita conocer lo que he mencionado brevemente más arriba, que no es estrictamente necesario para estudiar la conexión de Levi-Civita.

Saludos,

Enrique.

Hola Iziro.

 Las funciones \( S \) y \( T \) que buscamos pueden ser transformaciones de Möbius. Entonces para buscar \( T \) podemos empezar planteando \( T(z)=\frac{\alpha z+\beta}{\theta z+\gamma}. \) Como \( T(0)=a \) resulta que \( \beta=a\gamma \) y al dividir numerador y denominador por \( \gamma \) podemos suponer que \( \gamma=1. \) Por otro lado las transformaciones de Möbius quedan únicamente determinadas por la imágen de tres de sus puntos (pudiendo considerar al infinito como punto del plano completado). Con esto tenemos que \( T(z)=\frac{\alpha z+a}{\theta z+1} \) (aquí ya usamos que \( T(0)=a \)) y además podemos imponer que \( T(-i)=0 \) y \( T(i)=+\infty. \) Haciendo las cuentas y si no me he equivocado, resulta que \( T(z)=\frac{-aiz+a}{iz+1}. \) Restringiendo \( z \) al disco unitario abierto obtenemos un biholomorfismo con el semiplano plano superior.

 De forma similar podemos encontrar la transformación \( S. \) Alternativamente para esta ultima, en vista de los anteriores cálculos, podemos simplemente argumentar que \( S \) es la inversa de \( z\mapsto \frac{-f(a)iz+f(a)}{iz+1}, \) que lleva el cero en \( f(a). \) Es decir \( S(z)=\frac{z-f(a)}{-iz-f(a)i}. \)

Saludos,

Enrique.