[aleesokorov]

Buenas buenas! ¿Qué tal?
Estoy tratando con un amigo poder demostrar lo siguiente:

Sea $$A$$ un subconjunto de números reales no vacío y acotado superiormente. Demostrar que $$L=\sup (A)$$ si y solo si:
(a) $$L \geq x , \forall x \in A$$
(b) Existe una sucesión $${x_m}$$ de $$A$$ tal que $$\displaystyle \lim_{m \to + \infty} x_m = L$$
 
No entendemos cómo vincular (a) con (b) porque nos dijeron que tienen que ir de la mano.
La parte (a) es aplicando la noción de Axioma de Completitud, donde sabemos que $$L$$ es supremo de $$A$$ (menor límite superior del conjunto y $$L$$ es mayor o igual a todos los elementos del mismo) , si suponemos, por absurdo, que $$x > L , \forall x \in A$$ entonces $$L$$ no sería supremo y ésto contradice nuestra hipótesis, entonces para todo $$x \in A$$ se cumple que $$L \geq x$$

Ahora, ¿cómo vinculamos esto con la parte (b)?

Pensamos en aplicar la definición de límite para una sucesión si es que consideramos, por ejemplo, el intervalo $$(L - \epsilon , L]$$ y dentro de él una sucesión creciente que converja a $$L$$ pero la verdad es que andamos algo perdidos.

Agradecemos respuestas ! 

[Masacroso]

Hola aleesokorov. Cuando te piden demostrar un teorema que tiene la forma \( A \iff B \) lo que se suele hacer es primero demostrar que \( A\implies B \) y después demostrar que \( B \implies A \), aunque a veces se puede demostrar directamente que \( A\iff B \) exponiendo una sucesión de equivalencias que van desde \( A \) hasta \( B \) (o viceversa).

En este caso creo que demostrar que \( L=\sup(A) \implies (a) \,\land\, (b) \) es más sencillo que demostrar la otra implicación así que de momento me centro en la otra implicación, es decir, en demostrar que \( (a)\,\land\, (b) \implies L=\sup(A) \). Es claro que \( (a) \) significa que \( L \) es una cota superior de \( A \) (es la definición de cota superior, de hecho, del conjunto \( A \)), entonces te están diciendo que \( L \) es una cota superior de \( A \) y, además, que existe una sucesión en \( A \) que converge a \( L \). Con esos datos para demostrar que \( L \) es el supremo de \( A \) lo que hay que demostrar ahora es que \( L \) es la menor cota superior de \( A \).

Dicho de otro modo, usando \( (b) \) hay que demostrar que si \( M \) es otra cota superior de \( A \) entonces \( L\leqslant M \), entonces habremos demostrado que \( (a)\,\land\, (b)\implies L=\sup(A) \). Para demostrar esto podemos utilizar el hecho de que si \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) es una sucesión cualquiera en \( A \) entonces como \( M \) es cota superior de \( A \) tenemos que \( x_n\leqslant M \) para todo \( n\in \mathbb{N} \). Ahora bien, existe un teorema que dice que si \( x_n\leqslant M \) para todo \( n\in \mathbb{N} \) y la sucesión converge entonces \( \lim_{n\to \infty }x_n\leqslant M \). Por tanto de \( (b) \) deducimos que \( L\leqslant M \), que es lo que queríamos probar.

Ésa es una forma de demostrar \( (a)\,\land\, (b) \implies L=\sup(A) \), pero hay otras, por ejemplo por contradicción. Dime si entiendes bien la demostración o tienes alguna duda, y si quieres que veamos la otra parte de la demostración (la otra implicación).