[Quema]

Sea una variable aleatoria \( X \) que toma valores discretos \( x_1\geq{}x_2\geq{}...\geq{}x_n \) y sus correspondientes probabilidades \( p_1,p_2,...,p_n \). Sea \( u \) una función continua, diferenciable, creciente y cóncava. Defino el funcional

\( R(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{u(x_i)(w(p_1+p_2+...+p_i)-w(p_1+p_2+...+p_{i-1}))} \), siendo \( w:[0,1]\rightarrow{}[0,1] \) una función continua, diferenciable y creciente.

Cómo se puede escribir esto como una integral?

He visto algo así

\( R(X)=\displaystyle\int_{}^{}u(x)dw(F(x)) \),

Pero no se cómo llega esa expresión.
 

[Masacroso]

Ahí debería ser más bien \( x_1\leqslant x_2\leqslant \ldots \leqslant x_n \) para que entonces tengas que

\( \displaystyle{
w\left(\sum_{j=1}^k p_j\right)-w\left(\sum_{j=1}^{k-1}p_j\right)=(w\circ F)(x_k)-(w\circ F)(x_{k-1})
} \)

y obtener la expresión de la integral deseada. La función \( w\circ F \) es creciente, acotada y continua por la derecha, por lo cual induce una medida de Lebesgue-Stieltjes, y con esa medida la suma se puede denotar como una integral respecto a tal medida inducida, la cual suele denotarse por \( d(w\circ F) \) o por \( (w\circ F)(dx) \) cuando se quiere hacer explícita en la notación la variable usada, pudiéndose escribir

\( \displaystyle{
\int {\color{red}{u}}\,d (w\circ F)=\int {\color{red}{u}}(x)\, (w\circ F)(dx)=\sum_{k=1}^n {\color{red}{u}}(x_k)((w\circ F)(x_k)-(w\circ F)(x_{k-1}))
} \)

En el libro que sigues (o donde has visto esto) han optado por la notación \( d(w\circ F)(x) \) que es algo menos común que las otras dos.

Nota: el dominio de integración casi nunca se pone en una integral de Lebesgue, en este caso sería \( \mathbb{R} \) (ya que en teoría de la probabilidad se asume que el dominio de toda función de distribución \( F \) es \( \mathbb{R} \)).

Corregido.

[Quema]

En el adjunto la expresa de esta forma (supongo que supone que \( X \) es no negativa):

\( R(X)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}w(P(u(X)>t)dt \).

Mi duda está en qué ocurre si quiero optimizar respecto a un paràmetero \( a \)

\( R(X,a)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}w(P(u(X,a)>t)dt \), cómo sería la condición de primer orden.

[Masacroso]

No sé lo que es una condición de "primer orden" en este contexto, ni tampoco "optimizar" ni la relación de \( X \) con el parámetro. En eso no creo que pueda ayudarte, parece algo específico de estadística, y yo ahí sé muy poco.

[ani_pascual]

Hola:

Ahí debería ser más bien \( x_1\leqslant x_2\leqslant \ldots \leqslant x_n \) para que entonces tengas que

\( \displaystyle{
w\left(\sum_{j=1}^k p_j\right)-w\left(\sum_{j=1}^{k-1}p_j\right)=(w\circ F)(x_k)-(w\circ F)(x_{k-1})
} \)

y obtener la expresión de la integral deseada. La función \( w\circ F \) es creciente, acotada y continua por la derecha, por lo cual induce una medida de Lebesgue-Stieltjes, y con esa medida la suma se puede denotar como una integral respecto a tal medida inducida, la cual suele denotarse por \( d(w\circ F) \) o por \( (w\circ F)(dx) \) cuando se quiere hacer explícita en la notación la variable usada, pudiéndose escribir

\( \displaystyle{
\int \textcolor{red}{w}\,d (w\circ F)=\int \textcolor{red}{w}(x)\, (w\circ F)(dx)=\sum_{k=1}^n \textcolor{red}{w}(x_k)((w\circ F)(x_k)-(w\circ F)(x_{k-1}))
} \)

....

No sé casi nada de Estadística y Probabilidad, pero por coherencia con lo planteado ¿no sería \( u \) en vez de \( w \)?
Saludos

[Masacroso]

Hola:

Ahí debería ser más bien \( x_1\leqslant x_2\leqslant \ldots \leqslant x_n \) para que entonces tengas que

\( \displaystyle{
w\left(\sum_{j=1}^k p_j\right)-w\left(\sum_{j=1}^{k-1}p_j\right)=(w\circ F)(x_k)-(w\circ F)(x_{k-1})
} \)

y obtener la expresión de la integral deseada. La función \( w\circ F \) es creciente, acotada y continua por la derecha, por lo cual induce una medida de Lebesgue-Stieltjes, y con esa medida la suma se puede denotar como una integral respecto a tal medida inducida, la cual suele denotarse por \( d(w\circ F) \) o por \( (w\circ F)(dx) \) cuando se quiere hacer explícita en la notación la variable usada, pudiéndose escribir

\( \displaystyle{
\int \textcolor{red}{w}\,d (w\circ F)=\int \textcolor{red}{w}(x)\, (w\circ F)(dx)=\sum_{k=1}^n \textcolor{red}{w}(x_k)((w\circ F)(x_k)-(w\circ F)(x_{k-1}))
} \)

....

No sé casi nada de Estadística y Probabilidad, pero por coherencia con lo planteado ¿no sería \( u \) en vez de \( w \)?
Saludos

Sí, sería \( u \). Ahora corrijo arriba.