Buenas gente,
Dos ejercicios:
1. Se bombea agua a una razón constante de 2 litros por minuto (\( 1 litro = 1000 cm^{3} \)) a un tanque con forma de cono circular recto truncado. El tanque tiene una altura de 80 centímetros y los radios inferior y superior miden 20 y 40 centímetros respectivamente. ¿A qué velocidad velocidad se eleva el nivel del agua cuando la profundidad del líquido es de 30 centímetros?
Nota: el volumen \( V \) de un cono circular recto truncado de altura \( h \) y radios inferior y superior \( a \) y \( b \) es \( V=\dfrac{1}{3}πh(a^{2}+ab+b^{2}) \).
Solución.\( \dfrac{dV}{dt}=2000\dfrac{cm^{3}}{min}, a=20cm, b=\dfrac{h}{4}cm+20cm \)
\( V=\dfrac{1}{3}πh(a^{2}+ab+b^{2}) \)
\( =\dfrac{1}{3}πh[(20)^{2}+(20)(\dfrac{h}{4}+20)+(\dfrac{h}{4}+20)^{2}] \)
\( =\dfrac{1}{3}πh(400+5h+400+\dfrac{h^{2}}{16}+10h+400) \)
\( =\dfrac{1}{3}π(400h+5h^{2}+400h+\dfrac{h^{3}}{16}+10h^{2}+400h) \)
\( =\dfrac{1}{3}π(1200h+15h^{2}+\dfrac{h^{3}}{16}) \)
\( \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{1}{3}π(1200+30h+\dfrac{3h^{2}}{16})\dfrac{dh}{dt} \)
Cuando \( h=30, \dfrac{dV}{dt}=2000 \), entonces
\( 2000=\dfrac{1}{3}π(1200+30(30)+\dfrac{3(30)^{2}}{16})\dfrac{dh}{dt} \)
\( \dfrac{dh}{dt}=\dfrac{2000}{\dfrac{3025}{4}π}\approx{0.84\dfrac{cm}{min}} \)
2. Del fondo de un depósito semiesférico, de radio 8 pies, está saliendo agua a razón de 2 pies cúbicos por hora. El depósito estaba lleno en cierto momento. ¿A qué velocidad cambia el nivel del agua cuando su altura es de 3 pies?
Nota: el volumen de un casquete de altura \( h \) en un hemisferio de radio \( r \) es \( πh^{2}[r-\dfrac{h}{3}] \).
Solución.\( V=πh^{2}[r-\dfrac{h}{3}] \)
Como \( r=8 \), entonces
\( V=πrh^{2}-\dfrac{πh^{3}}{3}=8πh^{2}-\dfrac{πh^{3}}{3} \)
\( \dfrac{dV}{dt}=16πh\dfrac{dh}{dt}-πh^{2}\dfrac{dh}{dt} \)
Cuando \( h=3 \), entonces
\( -2=\dfrac{dh}{dt}[16π(3)-π(3)^{2}] \)
\( \dfrac{dh}{dt}=\dfrac{-2}{39π}\approx{-0.016\dfrac{pies}{hr}} \)
La duda es ¿por qué en el primer problema se ha utilizado la relación \( b=\dfrac{h}{4}+20 \) para el radio superior del cono y en el segundo problema se usó directamente la constante \( r=8 \)? Entiendo que en ambos casos el radio varía así como va aumentando o disminuyendo la altura del agua en los depósitos y que las expresiones \( \dfrac{dV}{dt} \) deben quedar en términos de \( h \) para encontrar \( \dfrac{dh}{dt} \). ¿Qué sucedería si para el segundo problema se usara alguna relación \( r \) en términos de \( h \) en vez de una constante?
¡Saludos!
