¿DEMOSTRACIÓN INTRÍNSECA Y EXTRÍNSECA?
¿Es inapelable lo afirmado por Feriva en su último escrito?
Yo no lo tengo tan claro y como en esto nos lo jugamos todo vamos a repetirnos.
Denomino demostración extrínseca aquella que demuestra el teorema sin afectar a su esencia. Y denomino demostración intrínseca aquella que al demostrar el teorema lo ha cambiado sustancialmente, es decir, lo ha convertido en otro teorema.
¿Tiene sentido lo que acabo de decir?
Parece que toda auténtica demostración., por definición, llega a lo que realmente se le pide que llegue. Si llega a otra cosa ya a lo sumo habrá demostrado otra cosa, otro teorema.
Voy a intentar aclararme: Lo que pongo a continuación, ¿son tres enunciados del mismo teorema?
1.- “Para todo n entero superior a 2, la igualdad \( x^n+y^n=z^n \) es imposible en el conjunto Z de los enteros relativos.”
2.-“Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros a, b, c, tales que se cumpla la igualdad (con a, b, c no nulos):\( a^n+b^n=c^n” \)
3.- “Es imposible la igualdad \( a^n+b^n=c^n \) para cualquier valor de n cuando a, b, c son enteros positivos”
Los casos 2 y 3 son idénticos ya que los enteros mayores que el dos son los enteros positivos.
El caso 1 es distinto porque el conjunto Z de los enteros relativos no es el conjunto de los naturales en sentido estricto.
La pregunta es:¿ los tres enunciados admiten exactamente las mismas demostraciones? ¿No puede existir alguna demostración que sea auténtica para el caso 1 y no sirva para los casos 2 y 3 debido a que el conjunto a que se refiere es de menor extensión? Es evidente que para los exponentes pares da lo mismo que el entero sea positivo que negativo; pero también es evidente que eso no ocurre para los exponentes impares.
¿La demostración matemática es equivalente a un medio de transporte que nos lleva de A a B no importando si uno ha cubierto el trayecto a pie, en bicicleta o en avión? Si fuera indiferente el medio que nos lleva de A a B, entonces toda demostración matemática sería absolutamente externa aquello que pretende demostrar. ¿Es la demostración matemática el gato que caza ratones no importando si el gato es blanco o es negro?
PERO, ¿basta con afirmarlo o es preciso demostrarlo? Y en caso de ser preciso, ¿se podría siempre demostrar?
Como es fácil de ver Racedom se interroga sobre las condiciones exigibles a toda demostración en relación con la meta a la que pretende llegar.
En resumen: ¿Influye el conjunto al que pertencen X, Y, Z para la demostración del UTF?
Basta con que X, Y, Z pertenezcan al conjunto de los números reales para que la igualdad \( X^n+Y^n=Z^n \) sí sea posible.
Ergo parece que sí influye el conjunto al que pertenecen X,, Y, Z y, por tanto, no es lo mismo que pertenezcan al conjunto Z que al conjunto N.
Por supuesto que Fermat se limitó al conjunto N y tan solo con respecto al conjunto N, enteros positivos, tiene sentido el descenso infinito que se emplea (malamente, pero este es otro tema) en la cuarta potencia.
Lo repito: Esto que estoy diciendo no lo considero baladí ya que nos estamos jugando si realmente ha sido demostrado el UTF o no ha sido demostrado.
Por última vez: Si la demostración de Wiles estuviera ligada intrínsecamente al conjunto Z, es decir, de tal modo que tan solo si X, Y, Z pertenecen a este conjunto son válidos todos los eslabones de su larguísima demostración, entonces no habría demostrado el último teorema de FERMAT y si, a lo sumo, otro teorema.
P.D.: En otra intervención, para ahora no alargarme más, intentaré con algún ejemplo aclarar algo el tema.
