[athairdos]

Hola; tengo unas dudas sobre el concepto de secciones cónicas que trataré de expresar aquí;

Suponiendo que la ecuación (canónica) de un cono es dada.como \( x^{2}+y^{2}-z^{2}=0 \), entonces las dudas, que apuntan a una cuestión (parcialmente) geométrica digamos, serían:

Es correcto interpretar, a partir de dicha ecuación, la existencia de una familia de formas (afines) definidas positivas (la parte \( x^{2}+y^{2}=1 \) ó \( x^{2}+y^{2}=k \) de la ecuación) como conjunto de formas elípticas "parametrizadas" por la variable \( z \): a saber, en tanto \( z=k \) determina un plano (de corte?) y, así, una forma (afin) definida positiva en las variables \( x \) e \( y \), el tomar infinitos.valores para \( z=k_{i} \) resultaria en un lugar comsistente en un cono (con centro en el eje \( z \) de \( \mathbb{R^{3}} \))?

Si lo anterior fuera acertado (?), me.quedarian unas dudas "geométricas" respecto de la determinación de formas semidefinidas (hiperbólicas).

Gracias; saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola; tengo unas dudas sobre el concepto de secciones cónicas que trataré de expresar aquí;

Suponiendo que la ecuación (canónica) de un cono es dada.como \( x^{2}+y^{2}-z^{2}=0 \), entonces las dudas, que apuntan a una cuestión (parcialmente) geométrica digamos, serían:

Es correcto interpretar, a partir de dicha ecuación, la existencia de una familia de formas (afines) definidas positivas (la parte \( x^{2}+y^{2}=1 \) ó \( x^{2}+y^{2}=k \) de la ecuación) como conjunto de formas elípticas "parametrizadas" por la variable \( z \): a saber, en tanto \( z=k \) determina un plano (de corte?) y, así, una forma (afin) definida positiva en las variables \( x \) e \( y \), el tomar infinitos.valores para \( z=k_{i} \) resultaria en un lugar comsistente en un cono (con centro en el eje \( z \) de \( \mathbb{R^{3}} \))?

Sinceramente me cuesta entender el fondo de lo que quieres decir; no sé a donde quieres llegar a parar.

Si cortas un cono con la ecuación que indicas con planos de la forma \( z=k \) pues se obtienen elipses. Si. Eso es correcto. El cono podría describirse como la familia de esas secciones. Pero no se que trascendencia le quieres dar a todo eso.

Si cortas con otros planos en otras posiciones el tipo de cónica que se obtiene en el corte con el cono puede cambiar. Puedes jugar con eso aquí:

https://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL2/secciones.html

Saludos.

[athairdos]

Gracias; esto apuntaba a entender geometricamente las intersecciones de una recta impropia con una conica (o cuadrica) homogenea; en el caso de la ecuacion \( X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0 \) comprendo geometricamente que tomar la recta impropia como \( z=0 \) implica que no existe interseccion de la misma con la conica; asimismo, tomando la cuadrica como \( Y^{2}+Z^{2}-X^{2}=0 \) y la recta impropia nuevamente como \( z=0 \) permite ver los 2 puntos de interseccion de la misma con el cono "recostado" sobre el eje x; y la hiperbola (afin) inscrita dentro de dichos puntos de interseccion (asintotas); sin embargo, al tratar de visualizar el plano tangente a un cono en \( \mathbb{R^{3}} \), se me ocurre que es necesario (en cualquiera de los 2 casos anteriores) tomar como ecuacion de la recta impropia una ecuacion como \( X+Y+Z=0 \) y asi visualizar el caso de una parabola (sobre planos afines de ecuacion \( X+Y+Z\neq{0} \), por ej.).

Luego, como dudas ulteriores, estarian entre otras, la de relacionar la determinacion de secciones de tal o cual clase (elipse, etc.), a partir de formas homogeneas (cuadricas homogeneas) distintas: por ej. la determinacion de una clase de secciones a partir de las cuadricas anteriores y a partir de una cuadrica (homogenea) distinta; se me ocurria que una parte de esta relacion podria estar en las distintas maneras en que las matrices de dichas cuadricas se pueden descomponer (se descomponen).(?).

Gracias, saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias; esto apuntaba a entender geometricamente las intersecciones de una recta impropia con una conica (o cuadrica) homogenea;

¿Entonces estabas hablando de la intersección de un cono afín (superficie) con un plano o de la intersección de una cónica proyectiva (curva) con una recta?.

en el caso de la ecuacion \( X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0 \) comprendo geometricamente que tomar la recta impropia como \( z=0 \) implica que no existe interseccion de la misma con la conica; asimismo, tomando la cuadrica como \( Y^{2}+Z^{2}-X^{2}=0 \) y la recta impropia nuevamente como \( z=0 \) permite ver los 2 puntos de interseccion de la misma con el cono "recostado" sobre el eje x; y la hiperbola (afin) inscrita dentro de dichos puntos de interseccion (asintotas);

Estas haciendo un "batiburrillo", mezclando cosas.

O bien estamos trabajando con una cónica proyectiva o bien con un cono afín.

O bien piensas en el corte con una recta proyectiva (que resultará estar formado por puntos) o piensas en el corte con un plano afín (que será una cónica).

Si mezclas los dos puntos de vista lo único que conseguirás es confundir las ideas.

sin embargo, al tratar de visualizar el plano tangente a un cono en \( \mathbb{R^{3}} \), se me ocurre que es necesario (en cualquiera de los 2 casos anteriores) tomar como ecuacion de la recta impropia una ecuacion como \( X+Y+Z=0 \) y asi visualizar el caso de una parabola (sobre planos afines de ecuacion \( X+Y+Z\neq{0} \), por ej.).

¿Pero donde está el "sin embargo"? No veo la contraposición de una cosa con otra. Simplemente si un cono lo cortas con un plano se obtiene uno u otro tipo de cónica, dependiendo de la posición del plano con respecto al cono.

Luego, como dudas ulteriores, estarian entre otras, la de relacionar la determinacion de secciones de tal o cual clase (elipse, etc.), a partir de formas homogeneas (cuadricas homogeneas) distintas: por ej. la determinacion de una clase de secciones a partir de las cuadricas anteriores y a partir de una cuadrica (homogenea) distinta; se me ocurria que una parte de esta relacion podria estar en las distintas maneras en que las matrices de dichas cuadricas se pueden descomponer (se descomponen).(?).

Muy vaga la pregunta.

Intenta fijar el contexto en el que quieres moverte.

Saludos.

[athairdos]

Gracias; ahora veo algunos de.los confusiones en lo anterior; tal vez ahora pueda aclarar mis dudas:

Segun la observacion de otro hilo

La elección de la recta del infinito es independiente de la ecuación de la cónica proyectiva

; es correcto lo siguiente (?):

Para una forma cuadratica proyectiva dada y su ecuación-igualación a cero (variedad proyectiva/conjunto solución), las variedades afines resultantes de tomar distintos hiperplanos impropios son todas equivalentes proyectivamente: esto significa que las transformaciones de \( \mathbb{P^{n}} \), pertenecientes a \( \mathbb{PGL} \), siendo regulares, y transformando el hiperplano impropio definido en el espacio, aplican unas variedades afines sobre otras.

Mi duda entonces la puedo expresar como sigue:

Es necesario que las transformaciones proyectivas (regulares) para una variedad proyectiva dada sean semejantes (grupo de las semejanzas) a la matriz de la forma que define la.variedad homogenea?

O alternativamente: si las transformaciones proyectivas solo transforman las variedades afines para una variedad homogenea dada (manteniendo invariante la clasificacion proyectiva de la variedad proyectiva, en forma analoga a cómo las transformaciones afines transforman variedades afines de una clase en otras de la misma clase, es decir, dejando a las variedades iniciales y sus transformadas em un conjunto cerrado en cuanto a la clasificacion, digamos), entonces para lograr aplicar una variedad proyectiva de una clase a otra de distinta clase, deben intervenir transformaciones distintas a las proyectivas, tales que incluyan a estas como un subgrupo p(colineaciones, por ej.)?

No se si ahora se entendera mejor las dudas; muchas gracias; un saludo