Hola
Como no me manejo bien con el LaTeX y no sé si se ve lo pregunto de otra manera. ¿Una función que me da que no es derivable en un punto, puede presentar un extremo en dicho punto? La función es \( |8-x^2| \).
Yo te diría categóricamente que:
- NO es necesario que una función sea derivable en un punto para que tenga un extremo relativo en él.
- Por tanto, una función NO derivable en un punto, PUEDE TENER un extremo relativo en él.
El concepto de extremo relativo es previo al concepto diferenciabilidad. Un extremo relativo es un punto donde la función presenta un máximo o un mínimo, con respecto a puntos cercanos a él. Es decir en ese punto la función toma valor más altos o iguales que en puntos cercanos a él; o más bajos o iguales.
Es justo lo que ocurre en tu función donde en \( x=pm\sqrt{8} \) la función vale cero, que es un valor más bajo o igual que cualquier otro de la función, ya que esta al ser un valor absoluto nunca toma valores negativos.
De hecho cuando uno estudia extremos de una función, los candidatos son:
- Puntos donde es derivable y la derivada se anula.
- Puntos donde no es derivable.
Respecto a tu pregunta, depende de cómo te hayan definido un extremo relativo.
Si te definen extremo relativo aquel que tiene derivada nula y cumple ciertas condiciones, pues no tendría extremos relativos en esos puntos.
Pero si te lo definen como un punto en cuyo entorno todos los valores son mayores o menores, entonces si tendrá.
No digo que en algún libro no pueda aparecer la derivabilidad en la definición de extremo, porque hay de todo en este mundo. Pero me parecería una barbaridad.
Saludos.
