[Rania]

Hola a todos.
Estaba tratando de resolver un ejercicio, y me está costando un poco encontrar la solución. El ejercicio dice

Sean \( u , v  \) vectores no nulos. Dar condiciones necesarias y suficientes para que \( p_u(v) = p_v (u) \)

Donde \( p_u(v)  \) es la proyección de \( v  \) sobre \(  u \) y \( p_v(u)  \) es la proyección de  \( u \)  sobre \(  v \).


Si los vectores fueran perpendiculares, las proyecciones de uno sobre el otro serían un punto como se ve en la imagen adjunta.



Pero no se bien cómo fundamentar eso de manera concisa. Es decir haría la igualdad con las fórmulas de proyecciones, y a ambos lados llegaría al vector nulo.   \( p_u(v) = \displaystyle\frac{<u,v>}{\left |{u}\right |^2}. u \)   y  \( p_v (u) = \displaystyle\frac{<u,v>}{\left |{v}\right |^2}.v \)

Luego  \(  \displaystyle\frac{<u,v>}{\left |{u}\right |^2}. u =  \displaystyle\frac{<u,v>}{\left |{v}\right |^2}.v  \)

como   \( <u,v> = 0 \)

entonces \( \vec{0}_u =\vec{0}_v  \).

Esto que hice arriba, no se si es correcto hacerlo así o hay otra forma de hacerlo.

Respetando la consigna,  diría que la condición necesaria es que sean perpendiculares pero ¿ es suficiente?. No se me ocurre otro caso donde se cumpla la igualdad. Podría ser que u y v sean el vector nulo, sería otro caso pero contradice la consigna. Quizás me estoy rebuscando demasiado, pero quiero entenderlo.

[Masacroso]

No es condición necesaria ya que si \( u=v \) también se cumple la identidad. Vas bien haciendo la igualdad de las proyecciones, esa igualdad contiene las condiciones necesarias y suficientes. Observa que esencialmente la igualdad se puede escribir como \( \lambda  cu=cv \) para constantes \( \lambda := |v|^2/|u|^2 \) y \( c:=\langle u,v \rangle \), por tanto la identidad será cierta siempre que \( \lambda u=v \) (es decir, cuando \( u=v \)) o bien cuando \( c=0 \).

[Rania]

Ahí lo veo más claro con los reemplazos \( c \) y \( \lambda \) en la igualdad. Muchas gracias Masacroso!!