Autor Tema: Sobre una conjetura general que implica la demostración del teorema de Fermat

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22 Octubre, 2020, 08:51 pm
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RomanMontoliu

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Hola, buenas tardes. Solo quería preguntar si existen contraejemplos a la siguiente conjetura que implicaría la demostración del teorema de Fermat y por eso lo pregunto en este foro:

Conjetura:

"No existen enteros a, b, c, primos entre sí y distintos de 1, tales que:

\[ a +b \] | \[ c^n  \] ,  \[ a + c \] | \[ b^n \] ,  \[ b + c  \] | \[ a^n \]

para todo natural impar n mayor que 1, siendo \[ a+b, a+c \] y \[ b+c \] no múltiplos de \[ c, b  \] y \[ a \] respectivamente"

(Nota: reeditado)

22 Octubre, 2020, 09:34 pm
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Vaya que me resulta difícil expresarlo con símbolos para ver cómo se compone la proposición, pero diría que la conjetura es falsa.

Basta elegir \( a=2,b=3,c=7 \) de modo que \( \gcd(a,b)=\gcd(b,c)=\gcd(a,c)=1 \), además \( a=b=c\neq1 \) y sin embargo no hay ningún \( n \) tal que \( (a+b)\mid c^n \).

Espero que sirva.

Saludos

22 Octubre, 2020, 09:49 pm
Respuesta #2

RomanMontoliu

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Bueno, no se si me he explicado bien. Estaba pidiendo un contraejemplo a esa conjetura para descartar precisamente que pueda ser cierta.
El ejemplo que has puesto no es un contraejemplo a la proposicion

22 Octubre, 2020, 09:52 pm
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Bueno, no se si me he explicado bien. Estaba pidiendo contraejemplo a esa conjetura para descartar precisamente que pueda ser cierta.
El ejemplo que has puesto no es un contraejemplo a la proposicion

Es que la conjetura empieza diciendo "No existen enteros \( a,b,c \)..." o lo que es lo mismo "Todos \( a,b,c \) no cumplen que", entonces al ser falsa, habrá que buscar enteros tales que... y ellos son \( 2,3,7 \), ¿me explico?

Espera a ver si alguien nos puede ayudar.

Saludos

22 Octubre, 2020, 10:06 pm
Respuesta #4

Pie

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No se si entendí bien. Valdría \(  3 + 5 \) | \( 2^3 \) como contraejemplo?

Saludos.

Ah no, que tendrían que ser las tres combinaciones a la vez XD
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

26 Octubre, 2020, 04:52 pm
Respuesta #5

mongar

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He leído tu conjetura, dices que a, b, c, son primos entre sí, por otro lado dices que a+b, a+c, b+c, no son múltiplos de c, b, a, respectivamente, tales que a+ b|c^n,  a+c|b^n, b+c| a^n,  efectivamente si los sumandos dividen no pueden ser múltiplos, pero te has dado cuenta que tu proposición no es unívoca? , si el sumando a+ b, no varía si lo pueden hacer sus componentes, ((a-p)+(b-p)), lo que hace qué existan más de un sumando que cumpla tu condición, así 2+3| 5^3, también 1+4|5^3, ambas cumplen las condiciones impuestas, se aumenta la contradicción cuando estos valores los imponemos a los siguientes condicionados. Es mi apreciación, por supuesto sujeta a controversia. Saludos.