[Quema]

Sea \( u(x):R\rightarrow{}R \) una función creciente, subaditiva para \( x \geq 0 \) y \( -u(-x)\geq{}u(x) \) para todo \( x\geq{}0. \) Con \( u(0)=0. \)
Sea \( \mathbf x =(x_1,x_2,...x_n) \) con \( x_1\geq{}x_2\geq{}...\geq{}x_i\geq{}0\geq{}x_{i+1}\geq{}...\geq{x_n}. \) números enteros tal que \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i>0} \) y \( x_i+x_{n+1-i}>0 \) con \( i=1,...,n \) (esta condición no se si está bien, quiero descartar vectores del estilo \( (3,3,3,-4), (5,3,2,-4,-4) \) de tal forma que sumando el mayor elemento positivo y el menor elemento negativo sucesivamente (como propondré más adelante) la suma sea positiva y puedo obtener un vector formado solamente con elementos no negativos.

Defino el conjunto \( S=\left\{{\mathbf y_1, \mathbf y_2, ..., \mathbf y_t}\right\} \) El número de vectores \( t \) saldrá de la ecuación de Bell de particiones de elementos del vector \( \mathbf x. \)

Ahora, defino \( v(\mathbf x)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{u(x_i)}. \)

Quiero hallar el vector \( \mathbf y_i \in S \) que maximice \( v(\mathbf x) \) de entre todos los vectores de \( S \).

Pongo un ejemplo para que quede claro la notación. Supongamos que \( \mathbf x=(6,5,-1) \) el conjunto \( S \) tendrá cinco elementos, pero es relativamente fácil darse cuenta que el vector \( \mathbf y_i=(5,5,0) \) es tal que \( v(\mathbf y_i)>v(\mathbf y_j) \) para todo \( i\neq{}j. \)

Tengo un método en mente, pero no se cómo probarlo formalmente. El "algoritmo" funciona de la siguiente forma, dado un \( \mathbf x \) inicial:

1) Si todos los \( x_i>0 \) entonces ese vector no puede ser mejorado.
2) Si hay algún \( x_i<0 \) entonces hay que formar un vector sumando el mayor elemento positivo y el menor elemento negativo y así sucesivamente hasta que no existan más elementos negativos y ese es el vector buscado.

Es decir, supongamos que \( \mathbf x=(10,5,5,-2,3) \) entonces los vectores intermedios serían
1) \( (7,5,5,0,-2) \)
2) \( (5,5,5,0,0) \)

y este último sería el vector óptimo de entre los 15 elementos de \( S \) que cumplen además la condición que se impuso.

Por ejemplo, si tuviera \( (2,2,2,-4) \), pues el cuarto elemento es mayor en valor absoluto al mayor elemento positivo de los restantes elementos de ese vector. Esta es otra pregunta que haré una vez que se resuelva la anterior.

[Quema]

Esbozo una prueba. Sea \( \mathbf x =(x_1,x_2,...x_n) \) tal que \( x_1\geq{}x_2\geq{}...\geq{}x_i\geq{}0\geq{}x_{i+1}\geq{}...\geq{x_n}. \) Tal que \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i>0}. \) Supongamos que \( x_1+x_n>0 \) entonces por subaditividad de \( u \) en el dominio positivo y condición de desigualdad impuesta de \( u \) se cumple que:

\( u(x_1+x_n)\geq{}u(x_1)+u(x_n). \)

Y así procedemos sucesivamente hasta obtener un vector sin elementos negativos (siempre y cuando la suma del mayor elemento positivo y la del menor elemento negativo no sea negativo). El tema es cómo justificar que es mejor sumando el mayor elemento positivo y el menor elemento negativo, pienso que se debe a que

\( u(x_1+x_n)\geq{}u(x_2+x_n). \)

[Luis Fuentes]

Hola

 El problema de este tipo de demostraciones no es sólo encontrar una cadena de vectores de manera que cada uno mejore al anterior. Eso garantiza llegar a un elemento maximal, pero lo difícil es probar que es máximo.

 Es decir si tenemos dos métodos distintos que partiendo de un vector \( \mathbf{u} \) permiten ir construyendo dos cadenas:

Método I: \(  \mathbf{u}\to \mathbf{u_1}\to \mathbf{u_2}\to \ldots\to \mathbf{u_n} \)
Método II: \(  \mathbf{u}\to \mathbf{v_1}\to \mathbf{v_2}\to \ldots\to \mathbf{v_m} \)

 El problema es comparar \( \mathbf{u_n} \) con \( \mathbf{u_m} \).

 Por ejemplo \( (5,4,-2) \) es mejorado por \( (4,3,0) \) y también por \( (5,2,0) \). La cuestión es justificar que necesariamente el primer camino da un resultado mejor que el segundo. Obviamente no me refiero a ese caso particular ni a cadenas de un sólo paso, me refiero en casos más complicados.

Saludos.