Estoy un poco pesado con lo de pedirte que contextualices más; se une el hecho de que un mayor contexto ayuda a contestarte con más precisión, con una gran curiosidad sobre para que necesitas exactamente la construcción que solicitas. ¿Podrías detallarlo?
Sin problema alguno: La superficie en cuestión es la frontera de un conjunto \( D \) cerrado, no vacío, convexo, acotado por arriba (\( D \cap \{x : x \geq a\} \) acotado para cualquier \( a \in \mathbb{R}^n \)), comprehensivo (\( x \in D, y \leq x \Rightarrow{ y \in D} \)) y que contiene en su interior al punto \( 0 = (0,...,0) \).
Los \( n! \) puntos los calculo de la forma siguiente a partir de un parámetro \( \rho \in (0,1) \):
Para \( n=2 \), dado un punto \( a \in \{x\in D : x\geq 0\} \), calculo \( \rho a \). Un punto \( a^{[12]} \) lo obtengo aumentando la primera coordenada de \( \rho a \) hasta alcanzar la superficie. El otro punto \( a^{[21]} \) lo obtengo aumentando la segunda coordenada.
La aplicación del teorema del punto fijo me asegura que puedo encontrar un \( a \) tal que \( a \) sea el punto medio de \( a^{[12]} \) y \( a^{[21]} \).
Si ahora tomo como superficie (en este caso, línea), la recta que une \( a^{[12]} \) y \( a^{[21]} \), el procedimiento anterior vuelve a darme los mismos puntos, pero ahora, al ser una superficie "sencilla" (una recta), puedo calcular cuánto valen exactamente estos puntos y comprobar, por ejemplo, que \( a \) es el punto medio del segmento que une las intersecciones de la recta con los ejes coordenados, o que es el punto de la recta que maximiza el producto de sus coordenadas. Al calcular el límite cuando \( \rho \) tiende a \( 1 \), encuentro que todos los puntos se aproximan a un mismo punto de la superficie tal que la recta tangente a la superficie en ese punto tiene esas mismas propiedades (es el punto medio que une las intersecciones de la recta con los ejes coordenados y además es un punto de la superficie que maximiza el producto de sus coordenadas).
Para \( n=3 \), ya no puedo hacer lo mismo. Dado un punto \( a \in \{x\in D : x\geq 0\} \), calculo \( \rho a \). Un punto \( a^{[3]} \) lo obtengo aumentando la tercera coordenada de \( \rho a \) hasta alcanzar la superficie. Luego considero el conjunto \( D^3 = \{(x_1,x_2) : (x_1,x_2,a^{[3]}_3) \in D\} \) y repito el mismo procedimiento que para \( n=2 \) para obtener los dos puntos \( a^{[312]} \) y \( a^{[312]} \) con tercera coordenada \( a^{[3]}_3 \). Análogamente, calculo \( a^{[2]} \), \( a^{[1]} \) y sus respectivos \( a^{[213]} \), \( a^{[231]} \), \( a^{[123]} \) y \( a^{[132]} \). De nuevo el teorema del punto fijo me permite saber que existe un \( a \) que es el promedio de los seis puntos. Lo que necesito ahora para repetir el proceso es buscar una superficie "sencilla" que contenga esos \( 3! \) puntos de forma que pueda hacer lo mismo que antes.
De hecho, te agradezco que me hayas hecho escribirlo porque me acabo de dar cuenta que no son \( 3! \) puntos, sino \( 3!+3 \), ya que los puntos \( a^{[ i ]} \) también deben pertenecer a la superficie.
En todo caso, espero haberme explicado y que se entienda lo que busco.
Saludos y gracias.
