Corregido
La intuición siempre nos engaña ( porque no solo las bisectrices mencionadas son el lugar perdido), miremos un ejemplo
\( L_1: (0,0,k)+t(1,0,0) \)
\( L_2: (0,0,{\bf \color{red}-k})+t(0,1,0) \)
P(x,y,z). \( \vec{v_1}=(-x,-y,k-z),\qquad \vec{v_2}=(-x,-y,-k-z) \)
\( d(P,L_1)=|v_1\times (1,0,0)|=\sqrt{(k-z)^2+y^2} \)
\( d(P,L_2)=|v_2\times (0,1,0)|=\sqrt{(k+z)^2+x^2} \)
Igualamos las distancias
\( \sqrt{(k-z)^2+y^2}=\sqrt{(k+z)^2+x^2} \)
Elevamos al cuadrado y simplificamos
\( z=\dfrac{1}{4k}(y^2-x^2) \). Una silla de montar (Paraboloide hiperbólico).
Las bisectrices forman parte del lugar, El lugar es todo el Paraboloide hiperbólico.
Saludos