[Buscón]

Cuatro puntos    \( A, B, C, D \)    coplanarios tres a tres:

   a. ¿Cuántos segmentos determinan?

   b. ¿Cuántas semirrectas determinan?

   c. ¿Cuántos planos determinan?

[Buscón]

Yo hice.

Por combinaciones de cuatro puntos tomados de tres en tres:

\( \displaystyle\binom{4}{3}=\displaystyle\frac{4!}{3!(4-3)!}=4 \),

estas son:   

\( \{ABC\}\in{\alpha_1} \);    \( ABD\in{\{\alpha_2\}} \);    \( ACD\in{\{\alpha_3\}} \);    \( BCD\in{\{\alpha_4\}} \)

 

donde    \( \alpha_i \)    son los planos. 

a. Los segmentos han de ser entre puntos coplanarios. Así que en cada plano hay tres. Por ejemplo   
    \( \overline{AB},\overline{AC}\;\;\;\textrm{y}\;\;\;\overline{BC}\in{}\alpha_1 \),    esto son 12 segmentos en total en los cuatro planos.

b. Semirrectas por ejemplo    \( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC},\overleftarrow{AB},\overleftarrow{AC}\;\;\;\textrm{y}\;\;\;\overleftarrow{BC}\in{\alpha_1} \),    seis por plano, esto es, 24 semirrectas.

c. Planos 4.

Saludos y gracias de antemano.

[martiniano]

Hola.

Entiendo que primero has calculado el número de planos para luego contestar a los apartados a y b. Pero no has tenido en cuenta que cada uno de los segmentos y semirectas pertenece a dos planos.

Saludos.

[robinlambada]

Hola.

Creo que es más fácil, resolverlo directamente por combinaciones, sin tener en cuenta los planos.

Los planos estan bien, son 4.

El número de segmentos, son las combinaciones de 4 puntos tomados de 2 en 2. Ya que 2 puntos determinan un segmento(y no importa el orden)

\( nº_{seg}=\displaystyle\binom{4}{2}=6 \)

Para las semirectas a mi me salen 12 por plano, lo que ocurre que cada semirecta pertenece a 2 planos en total 24 semirectas.

Mas fácil de verlo es que 2 puntos determinan 4 semirrectas, es decir cada punto determina 2 semirectas , a la derecha del punto y a su izquierda.

Como hay 6 segmentos entonces \( nº_{semirectas}=4\cdot{}6=24 \)

Saludos.

[Buscón]

Hola.

Creo que es más fácil, resolverlo directamente por combinaciones, sin tener en cuenta los planos.

Los planos estan bien, son 4.

El número de segmentos, son las combinaciones de 4 puntos tomados de 2 en 2. Ya que 2 puntos determinan un segmento(y no importa el orden)

Pues para ello habrá que saber cuantos puntos son coplanarios dos a dos porque no se debe tener en cuenta un segmento si los dos puntos que lo determinan no son coplanarios.

¿Como saber cuantos puntos son coplanarios dos a dos sabiendo que lo son tres a tres?

Saludos.

[feriva]

Hola.

Creo que es más fácil, resolverlo directamente por combinaciones, sin tener en cuenta los planos.

Los planos estan bien, son 4.

El número de segmentos, son las combinaciones de 4 puntos tomados de 2 en 2. Ya que 2 puntos determinan un segmento(y no importa el orden)

Pues para ello habrá que saber cuantos puntos son coplanarios dos a dos porque no se debe tener en cuenta un segmento si los dos puntos que lo determinan no son coplanarios.

¿Como saber cuantos puntos son coplanarios dos a dos sabiendo que lo son tres a tres?

Saludos.

Es que puede entenderse cierta ambigüedad aparte de eso; considerados todos en el mis plano aparece un punto de corte que no es ninguno de los puntos (en azul) lo que determina más segmentos si se considera ese punto:

[martiniano]

Hola.

Es que el único sentido que le veo a la expresión "coplanarios tres a tres" es el de querer dejar claro que los cuatro no son coplanarios. Eso excluye también los casos en los que haya tres alineados

Saludos.

[feriva]

Hola.

Es que el único sentido que le veo a la expresión "coplanarios tres a tres" es el de querer dejar claro que los cuatro no son coplanarios. Eso excluye también los casos en los que haya tres alineados

Saludos.

Pues tienes razón, eso es lo que habrá que entender.

Saludos.

[Buscón]

El número de segmentos, son las combinaciones de 4 puntos tomados de 2 en 2. Ya que 2 puntos determinan un segmento(y no importa el orden)

\( nº_{seg}=\displaystyle\binom{4}{2}=6 \)

Si, claro, los segmentos son entre cuatro puntos colineales dos a dos independientemente de si son o no coplanarios los puntos. Se había escapado esto.

Por ese mismo razonamiento cada dos puntos aunque no sean coplanarios determinan igualmente dos semirrectas al prolongar sus extremos.

\( semirrectas=2\cdot{}\displaystyle\binom{4}{2}=12 \)

Mas fácil de verlo es que 2 puntos determinan 4 semirrectas, es decir cada punto determina 2 semirectas , a la derecha del punto y a su izquierda.

Si no hay al menos dos puntos no hay semirrecta. Cada dos puntos, (cada segmento), determinan dos semirrectas prolongando cada uno de sus extremos. ¿No?

Recapitulando:

 

Planos    \( \displaystyle\binom{4}{3}=4 \)      Segmentos    \( \displaystyle\binom{4}{2}=6 \)      Semirrectas    \( 2\cdot{\displaystyle\binom{4}{2}}=12 \)

Espero estén de acuerdo. Gracias y Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Mas fácil de verlo es que 2 puntos determinan 4 semirrectas, es decir cada punto determina 2 semirectas , a la derecha del punto y a su izquierda.

Si no hay al menos dos puntos no hay semirrecta. Cada dos puntos, (cada segmento), determinan dos semirrectas prolongando cada uno de sus extremos. ¿No?

Recapitulando:

 

Planos    \( \displaystyle\binom{4}{3}=4 \)      Segmentos    \( \displaystyle\binom{4}{2}=6 \)      Semirrectas    \( 2\cdot{\displaystyle\binom{4}{2}}=12 \)

Espero estén de acuerdo. Gracias y Saludos.

Si, ciertamente la frase de robinlambada me resulta confusa.

Una semirrecta queda determinada por un par ordenado de puntos \( (P,Q) \) (el primero es el punto inicial y el segundo indica hacia donde va la semirrecta). Si tenemos cuatro puntos hay \( 4\cdot 3=12 \) pares ordenados.

Saludos.