[Víctor Luis]

Este hilo surge como comentario a este otro:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=87127.msg349512;topicseen#msg349512


Buenos Días (aún madrugadas) El_Manco...

Spoiler

○ Yo me apunto a su hilo  "Maestro El_Manco" ....

[cerrar]

1. El polinomio de Euler. Es el polinomio \( p(n)=n^{2}+n+41 \). Uno puede ver que para los valores de \( n \) comprendidos entre 0 y 39 siempre devuelve un número primo. Uno podría conjeturar por tanto que SIEMPRE va a dar un número primo. Pero... obviamente no es así. Para \( n \)=40 se tiene que \( p(40) \) NO es primo.

* Como resalte en negrita, que "uno pueda ver" algo no significa ni le da el derecho de que "uno pueda conjeturar" ese algo, como si fuera cierto, válido ó verdadero-
→ El polinomio de Euler al que denotaremos cono \( f(41) \) hasta \( n=40 \) nos conforma los siguientes naturales:

\( f(41) \)= {41,43,47,53,61,71,83,97,113,131,151,173,197,223,251,281,313,347,383,421,461,503,547,593,641,691,743,797,853,911,971,1033,1097,1163,1231,1301,1373,1447,1523,1601,1681}

Donde el ultimo primo se conforma en \( p(39)=1601 \) mientras que \( p(40)=1681 \) este es compuesto, al ser este \( 41^{2}=1681 \) es cuadrado de la función.

* Supongo que Euler desconocía del Conjunto FV, donde 41 pertenece al Grupo PIG[5] y en los primos de este grupo se dan situaciones similares, comenando con el propio primo PIG(5) donde "PIG" es una abreviación que significa "Primo Inicial de Generación".
→ Aplicando el polinomio de Euler para \( f(5) \) se conforman los siguientes naturales:

\( f(5) \)= {5,7,11,17,25}

Donde \( p(3)=17 \) es el ultimo primo, mientras que \( p(4)=25 \) es compuesto al ser el cuadrado de 5.

Veamos otro caso, para \( f(17) \) se conforman:

\( f(17) \)= {17,19,23,29,37,47,59,73,89,107,127,149,173,199,227,257,289}

Encontramos que \( p(15)=257 \) es el ultimo primo en conformarse y que \( p(16)=289 \) ya no es primo, por lo que deducimos y conjeturamos, que la función \( f(p) \) conformará primos hasta \( n=p-2 \) donde \( p \) debe ser primo y pertenecer al Grupo PIG[5].

2. Para cada \( n \) natural definimos los números \( a=n^{17}+9 \) y \( b=(n+1)^{17}+9 \). Podemos estudiar si son primos entre si; si vamos dando valores a \( n \), 1,2,3,4,…,100, podemos ver que siempre resultan coprimos (su único divisor común es el uno). Y si seguimos 100,101,…, miles de miles de millones,... ¡siguen dando coprimos!. La propiedad parece obvia: \( n^{17}+9 \) y \( (n+1)^{17}+9 \) son primos entre si para cualquier natural \( n \)... Pues ¡no!. El primer fallo aparece para (¿alquien quiere intentar encontralo? )

* Respecto a este enunciado, para \( n=1 \) tenemos:

\( a=1^{17}+9=10 \)
\( b=2^{17}+9=131081 \)

Siendo la descomposición en factores primos:
\( a=10= 2\cdot{}5 \)
\( b=131081=19\cdot{}6899 \)

Código: [Seleccionar]

Divisors[10]= {1,2,5,10}
Divisors[131081]= {1,19,6899,131081}

• Observando encontramos que "a" y "b" son coprimos, al tener como único divisor común al "1", asi mismo, si sacamos la distancia entre estos naturales donde \( c=b-a=131071 \) encontramos que \( c \) es primo, dándose también esto para \( n=\{1,2,3,...\} \) ... Nó para todos, ya con n=4 (creo) se dan compuestos, lo que nos debe recordar, que no existe una función generadora de solo números primos... verdad?


* La función podemos escribirla como: \( a=n^{p}+q \) donde claramente comprendemos que \( p \) es primo y \( q=\displaystyle\frac{p+1}{2} \) es una proporción media de \( p+1 \) donde para \( p=19 \) con \( q=10 \) la función conforma naturales donde \( a \) y \( b \) son coprimos, no pudiendo decir por ahora que "siempre" se conformarán coprimos.
→ Si \( p \) es un natural impar compuesto, es mas probable que se llegue a conformar "a" y "b" donde estos no sean coprimos, como sucede con \( p=15 \).

* Por lo tanto, probemos con \( p \) primos, qué sucederá con \( p=5 \) ?

Código: [Seleccionar]

p(5)=138  n:{32,53,73,114,155,...}
PD Comun:{41,491,1021}→ Hasta el Rango(5000) para \( n \) se dan 138 conformaciones donde \( a \) y \( b \) no son coprimos, dándose como únicos divisores comunes los primos: {41,491,1021} algo que nos debería llamar la atención, porque estos divisores se dan como un algo "constante" y ante esto, sospecharemos de hallar un patron de proporcionalidad.

* Para \( p=7 \) en el mismo Rango(5000) tenemos:

Código: [Seleccionar]

p(7)=6  n:{484,1241,1998,2755,3512,4269}
PD Comun: {757}
→ Encontramos seis valores de \( n \) donde se conforman naturales \( a \) y \( b \) que no son coprimos, al ser divisibles entre el primo 757, un divisor "constante" que como dijimos, debe llamarnos la atención en el análisis que hagamos.

* Y que sucede con \( p=11 \) ?... Pues aún no lo sé, hasta el Rango(5000) de \( n \) no se conforman naturales \( a \) y \( b \) que tengan divisores comunes a parte del "1", siendo todos coprimos.
→ Entonces, ya con esto, podemos deducir que la función generadora de coprimos, tendrá un fallo para un \( n \) el cual será mas grande, cuanto mayor sea el valor de \( p \) donde para \( p=3 \) se dá un fallo en \( n=8 \), para \( p=5 \) el primer fallo se da en \( n=32 \) y en \( p=7 \) encontramos el primer fallo en \( n=484 \) lo que desde nuestro criterio empírico, deducimos la afirmación que hicimos, debiendo preguntarnos ahora, si existe una proporción constante, para estimar el valor de \( n \) donde se esperaría un fallo de no coprimalidad, lo que nos sería util, por si desarrollamos ó analizamos una metodología, donde necesitemos de dos naturales que sean coprimos.

Spoiler

○ En el enfoque estructural para \( p=17 \) donde con \( n=1 \) se conforman \( a=10 \) y \( b=131081 \) estos naturales no llegan a ser coprimos, porque \( a=10 \) no tiene estructura valida, al no determinarse un ciclo evaluable, algo que desde ya nos indica una ausencia de primalidad, sucediendo lo mismo con el resto de naturales pares y con los naturales impares que son múltiplos de 3, debido a que estos mismos naturales, el 2 y 3 no tienen primalidad válida, al carecer de una estructura numérica valorable y evaluable.

○ La conformación para \( p=17 \) con el \( n \) que nos puso El_Manco, lo estoy factorizando a la antigua, donde se conformaron \( a \) y \( b \) de 883 digitos, habiéndose reducido apenas hasta 861 digitos con los escasos divisores que estos compuestos tienen, donde luego de encontrar un primo de divide a uno de ellos, el compuesto se reduce al tomar el valor del cociente, momento en que evaluamos su primalidad, que no importa el tamaño que tenga, donde si es primo este mismo llega a ser el ultimo divisor del natural conformado en un inicio. Asi mismo, controlamos, que si un primo llega a dividir a ambos naturales compuestos, el proceso termina, indicando el divisor común que tienen, algo que esperaríamos suceda, según la explicación de nuestro Maestro El_Manco.

[cerrar]

Saludos...

[Luis Fuentes]

Hola

 Victor Luis: Antes de nada como ves he separado tu comentario a un nuevo hilo. El motivo es que el hilo original "Muchos ejemplos...¡NO son una demostración!." tenía como motivación fundamental proporcionar una colección de ejemplos que mostrasen que el hecho de que una propiedad se cumpla en muchísimos casos no garantiza que se cumpla siempre.

 Respecto a lo que has escrito, me parece encomiable y digno de elogio, te lo digo de corazón, todo los avances y todo el trabajo que estás haciendo y como lees y aprovechas otros hilos (como el mío) para poner a prueba y contrastar tus cálculos y teorías.
 
 Sin embargo sinceramente no sé muy bien cual es la idea o ideas concretas que has querido trasnmitir; no sé si pretendías matizar algo, o criticar algo o preguntar algo respecto al contenido del hilo "Muchos ejemplos...¡NO son una demostración!."

 Algún comentario concreto:

* Supongo que Euler desconocía del Conjunto FV, donde 41 pertenece al Grupo PIG[5] y en los primos de este grupo se dan situaciones similares, comenando con el propio primo PIG(5) donde "PIG" es una abreviación que significa "Primo Inicial de Generación".

No sé si Euler conocía o dejaba de conocer tal o cual conjunto, pero es indiferente. Con ese polinomio Euler simplemente prentendía poner un ejemplo de polinomio con el cuál se obtienen unos cuantos primos, y el sabía perfectamente que no siempre se obtenía un número primo. Entonces no sé porque dices esa frase.

Fíjate que 20 años antes de que Euler propusiese ese polinomo Goldbach, en 1752, había demostrado que no puede existir un polinomio con coeficientes enteros que siempre (evaluado sobre cualquier natural) de un número primo. La demostración vista hoy en día es muy sencilla.

→ Aplicando el polinomio de Euler para \( f(5) \) se conforman los siguientes naturales:

\( f(5) \)= {5,7,11,17,25}

Aquí no sé que quieres decir. Me temo que estás mezclando tu notación y teoría con el polinomio que yo he citado de Euler y haciendo un batiburrillo. Ojo no digo que esté mal nada de lo que haces, simplemente no sé que pretendes concluir con todo esto. ¿Quién es \( f(5) \)? ¿En qué sentido se conforman esos naturales?.

2. Para cada \( n \) natural definimos los números \( a=n^{17}+9 \) y \( b=(n+1)^{17}+9 \). Podemos estudiar si son primos entre si; si vamos dando valores a \( n \), 1,2,3,4,…,100, podemos ver que siempre resultan coprimos (su único divisor común es el uno). Y si seguimos 100,101,…, miles de miles de millones,... ¡siguen dando coprimos!. La propiedad parece obvia: \( n^{17}+9 \) y \( (n+1)^{17}+9 \) son primos entre si para cualquier natural \( n \)... Pues ¡no!. El primer fallo aparece para (¿alquien quiere intentar encontralo? )

* Respecto a este enunciado, para \( n=1 \) tenemos:

\( a=1^{17}+9=10 \)
\( b=2^{17}+9=131081 \)

Siendo la descomposición en factores primos:
\( a=10= 2\cdot{}5 \)
\( b=131081=19\cdot{}6899 \)

Código: [Seleccionar]

Divisors[10]= {1,2,5,10}
Divisors[131081]= {1,19,6899,131081}

• Observando encontramos que "a" y "b" son coprimos, al tener como único divisor común al "1", asi mismo, si sacamos la distancia entre estos naturales donde \( c=b-a=131071 \) encontramos que \( c \) es primo, dándose también esto para \( n=\{1,2,3,...\} \) ... Nó para todos, ya con n=4 (creo) se dan compuestos, lo que nos debe recordar, que no existe una función generadora de solo números primos... verdad?


* La función podemos escribirla como: \( a=n^{p}+q \) donde claramente comprendemos que \( p \) es primo y \( q=\displaystyle\frac{p+1}{2} \) es una proporción media de \( p+1 \) donde para \( p=19 \) con \( q=10 \) la función conforma naturales donde \( a \) y \( b \) son coprimos, no pudiendo decir por ahora que "siempre" se conformarán coprimos.
→ Si \( p \) es un natural impar compuesto, es mas probable que se llegue a conformar "a" y "b" donde estos no sean coprimos, como sucede con \( p=15 \).

* Por lo tanto, probemos con \( p \) primos, qué sucederá con \( p=5 \) ?

Código: [Seleccionar]

p(5)=138  n:{32,53,73,114,155,...}
PD Comun:{41,491,1021}→ Hasta el Rango(5000) para \( n \) se dan 138 conformaciones donde \( a \) y \( b \) no son coprimos, dándose como únicos divisores comunes los primos: {41,491,1021} algo que nos debería llamar la atención, porque estos divisores se dan como un algo "constante" y ante esto, sospecharemos de hallar un patron de proporcionalidad.

* Para \( p=7 \) en el mismo Rango(5000) tenemos:

Código: [Seleccionar]

p(7)=6  n:{484,1241,1998,2755,3512,4269}
PD Comun: {757}
→ Encontramos seis valores de \( n \) donde se conforman naturales \( a \) y \( b \) que no son coprimos, al ser divisibles entre el primo 757, un divisor "constante" que como dijimos, debe llamarnos la atención en el análisis que hagamos.

* Y que sucede con \( p=11 \) ?... Pues aún no lo sé, hasta el Rango(5000) de \( n \) no se conforman naturales \( a \) y \( b \) que tengan divisores comunes a parte del "1", siendo todos coprimos.
→ Entonces, ya con esto, podemos deducir que la función generadora de coprimos, tendrá un fallo para un \( n \) el cual será mas grande, cuanto mayor sea el valor de \( p \) donde para \( p=3 \) se dá un fallo en \( n=8 \), para \( p=5 \) el primer fallo se da en \( n=32 \) y en \( p=7 \) encontramos el primer fallo en \( n=484 \) lo que desde nuestro criterio empírico, deducimos la afirmación que hicimos, debiendo preguntarnos ahora, si existe una proporción constante, para estimar el valor de \( n \) donde se esperaría un fallo de no coprimalidad, lo que nos sería util, por si desarrollamos ó analizamos una metodología, donde necesitemos de dos naturales que sean coprimos.

Spoiler

○ En el enfoque estructural para \( p=17 \) donde con \( n=1 \) se conforman \( a=10 \) y \( b=131081 \) estos naturales no llegan a ser coprimos, porque \( a=10 \) no tiene estructura valida, al no determinarse un ciclo evaluable, algo que desde ya nos indica una ausencia de primalidad, sucediendo lo mismo con el resto de naturales pares y con los naturales impares que son múltiplos de 3, debido a que estos mismos naturales, el 2 y 3 no tienen primalidad válida, al carecer de una estructura numérica valorable y evaluable.

○ La conformación para \( p=17 \) con el \( n \) que nos puso El_Manco, lo estoy factorizando a la antigua, donde se conformaron \( a \) y \( b \) de 883 digitos, habiéndose reducido apenas hasta 861 digitos con los escasos divisores que estos compuestos tienen, donde luego de encontrar un primo de divide a uno de ellos, el compuesto se reduce al tomar el valor del cociente, momento en que evaluamos su primalidad, que no importa el tamaño que tenga, donde si es primo este mismo llega a ser el ultimo divisor del natural conformado en un inicio. Asi mismo, controlamos, que si un primo llega a dividir a ambos naturales compuestos, el proceso termina, indicando el divisor común que tienen, algo que esperaríamos suceda, según la explicación de nuestro Maestro El_Manco.

[cerrar]

Aquí no tengo ni idea de a donde querías ir a parar; ¿para qué todas esas disquisiciones.?

Lo único que dije es que la propiedad:

"\( n^{17}+9 \) y \( (n+1)^{17}+9 \) son coprimos"

tiene la particularidad de cumplirse para todos los números naturales desde \( 1 \) a \( 8424432925592889329288197322308900672459420460792432 \) y sin embargo no cumplirse para \( n=8424432925592889329288197322308900672459420460792433 \).

¿Alguna crítica u objección concreta a esto?.

Un último comentario; por ahí en medio vuelves a "colar" cosas como estas:

\( a=10 \)  y \( b=131081 \) estos naturales no llegan a ser coprimos,

y

el 2 y 3 no tienen primalidad válida

Evidentemente y con la noción de número primo y coprimo que maneja la matemática oficial, 10 y 131081 si son coprimos y 2 y 3 si son primos. Y eso es indiscutible.

Lo que pasa es que tu manejas una noción de primalidad y coprimalidad alternativa, y con esas nociones (diferentes) si son ciertas las afirmaciones que haces. Y eso es también indiscutible.

Por tanto la discusión que tenéis tu y feriva sobre si el 2 y el 3 son o no primos es una absoluta pérdida de tiempo. Simplemente llamáis "primo" a conceptos distintos. Mi consejo es que no sigáis malgastando energías en eso.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

* Supongo que Euler desconocía del Conjunto FV, donde 41 pertenece al Grupo PIG[5] y en los primos de este grupo se dan situaciones similares, comenando con el propio primo PIG(5) donde "PIG" es una abreviación que significa "Primo Inicial de Generación".

No sé si Euler conocía o dejaba de conocer tal o cual conjunto, pero es indiferente. Con ese polinomio Euler simplemente prentendía poner un ejemplo de polinomio con el cuál se obtienen unos cuantos primos, y el sabía perfectamente que no siempre se obtenía un número primo. Entonces no sé porque dices esa frase.

De hecho, es inmediato que \( p(40)=40^2+40+41=40(40+1)+41=40\cdot 41+41{\color{red} =}(40+1)41=41^2 \), sin necesidad de evaluar primero y factorizar después, y Euler lo sabía.

Lo más interesante es que Euler sabía demostrar que todos los valores p(n) anteriores son primos sin necesidad de calcular (ni mucho menos factorizar) ninguno de ellos (lo que en cierto modo significa que no es casualidad que sean primos), basándose en la igualdad

\( x^2+x+41=\left(\frac{2x+1+\sqrt{-163}}{2}\right)\left(\frac{2x+1-\sqrt{-163}}{2}\right) \),

junto con el hecho de que los números de la forma

\( a+b\frac{1+\sqrt{-163}}{2} \), \( a,b\in \mathbb Z \)

pueden descomponerse de forma única en factores primos. Esto último no sé si Euler sabía probarlo, pero Gauss sí.

[Víctor Luis]

Buenos Días El_Manco y Carlos Ivorra...

No sé si Euler conocía o dejaba de conocer tal o cual conjunto, pero es indiferente. Con ese polinomio Euler simplemente prentendía poner un ejemplo de polinomio con el cuál se obtienen unos cuantos primos, y el sabía perfectamente que no siempre se obtenía un número primo. Entonces no sé porque dices esa frase.

Cita
→ Aplicando el polinomio de Euler para \( f(5) \) se conforman los siguientes naturales:

\( f(5) \)= {5,7,11,17,25}

Aquí no sé que quieres decir. Me temo que estás mezclando tu notación y teoría con el polinomio que yo he citado de Euler y haciendo un batiburrillo. Ojo no digo que esté mal nada de lo que haces, simplemente no sé que pretendes concluir con todo esto. ¿Quién es \( f(5) \)? ¿En qué sentido se conforman esos naturales?.

• Anterior a esto había indicado:

→ El polinomio de Euler al que denotaremos cono \( f(41) \) hasta n=40 nos conforma los siguientes naturales:

f(41)= {41,43,47,53,61,71,83,97,113,131,151,173,197,223,251,281,313,347,383,421,461,503,547,593,641,691,743,797,853,911,971,1033,1097,1163,1231,1301,1373,1447,1523,1601,1681}

* El polinomio de Euler es: \( p(n)=n^{2}+n+41 \) donde \( n^{2}+n \) es una función invariable para cualquier \( p(n) \) y "41" es un natural primo, que actúa como una constante en este polinomio, digo constante, porque para los valores de \( n=\{1,2,3,4,..\} \) se sigue sumando +41 no siendo afectado por el valor que tenga \( n \).
→ Entonces, podemos escribir el polinomio como: \( p(n)=n^{2}+n+f \) donde \( f=41 \) y en esto no lo hice bien, puesto que directamente dije la función para 5 al indicar \( f(5) \).

* Bueno, lo que me dije, es que si 41 era especial para conformar primos, donde como de costumbre, determino a qué primo PIG de origen pertenece un natural, explicando que en el Conjunto FV sus elementos se generan a partir de los primos: {5,7,11,13} denominando a estos como primos PIG (Primo Inicial de Generación).
→ De acuerdo a esto \( 41\equiv{5} (mod \ 12) \) es decir, que dividiendo 41 entre 12 que es la constante "k" de generación, el resto nos indica el Grupo PIG de los elementos del Conjunto FV, perteneciendo en este caso 41 al Grupo PIG[5] por lo que me dije si otro primo de este grupo, tendría esa misma particularidad de generar primos con el polinomio de Euler.

* En el Grupo PIG[5] tenemos los siguientes elementos naturales: \( PIG[5]=\{5,17,29,41,53,65,77,89,101,...\} \) que los denomino como \( nb \) (Números Base) para evitar redundar en escribir elemento del Grupo. Bueno, como dije \( n^{2}+n \) es una función invariable del polinomio de Euler, donde para \( n \) en el intervalo (0,6) tendríamos:

\( n_{0}=0+f \)
\( n_{1}=2+f \)
\( n_{2}=6+f \)
\( n_{3}=12+f \)
\( n_{4}=20+f \)
\( n_{5}=30+f \)
\( n_{6}=42+f \)

→ Ahora, si cambiamos el valor de la constante donde \( f=5 \) tendremos la siguiente conformación:

\( n_{0}=0+5=5 \)...Primo
\( n_{1}=2+5=7 \)...Primo
\( n_{2}=6+5=11 \)...Primo
\( n_{3}=12+5=17 \)...Primo
\( n_{4}=20+5=25 \)...Primo? NO es Compuesto

* Observé que cuando \( n=f-1 \) se dá un compuesto que es el cuadrado de "f", similar al polinomio original de Euler donde \( f=41 \) dándose el primer compuesto en \( n=f-1=40 \).
→ Ahora, que sucede con \( f=17 \) que es el primer elemento "nb" generado en el Grupo PIG[5]:

\( n_{0}=0+17=17 \)...Primo
\( n_{1}=2+17=19 \)...Primo
\( n_{2}=6+17=23 \)...Primo
\( n_{3}=12+17=29 \)...Primo
\( n_{4}=20+17=37 \)...Primo
\( n_{5}=30+17=47 \)...Primo
\( n_{6}=42+17=59 \)...Primo
\( n_{7}=56+17=73 \)...Primo
\( n_{8}=72+17=89 \)...Primo
\( n_{9}=90+17=107 \)...Primo
\( n_{10}=110+17=127 \)...Primo
\( n_{11}=132+17=149 \)...Primo
\( n_{12}=156+17=173 \)...Primo
\( n_{13}=182+17=199 \)...Primo
\( n_{14}=210+17=227 \)...Primo
\( n_{15}=240+17=257 \)...Primo
\( n_{16}=272+17=289 \)...Primo? NO es Compuesto

* Como vemos, en \( n_{16} \) que es igual a \( n=f-1=16 \) se dá el primer compuesto en esta conformación a partir del polinomio de Euler y además que este es el cuadrado de la constante, es decir \( f^{2} \) lo que no podemos considerar sea algo coincidente, al darse valores en puntos específicos, me refiero a \( n=f-1 \) dando con este razonamiento, en base al Conjunto FV y es por eso que dije que quizás Euler no debio conocer este conjunto, ya que con los casos dados para \( f=5 \) y \( f=17 \) deduciremos que un otro elemento del Grupo PIG[5] también cumpliría con esto, sucediendose con \( f=41 \) que es la constante del polinomio de Euler.
→ Ahora, para \( f=29 \) no se conforman primos hasta \( n=f-1=28 \) ya que con \( n=2 \) se conforma \( p(2)=6+29=35 \) que es compuesto y después de \( f=41 \) los primos del Grupo PIG[5] menores a 100, no conforman primos.

* Si aplicamos el polinomio de Euler a los primos de los otros Grupos PIG, no se llegan a conformar primos, tan solo sucede esto con \( f=11 \) que es el primo origen del Grupo PIG[11].
→ Bueno, no he evaluado mucho, donde puede que algún primo mas grande de alguno de los Grupos PIG, conforme primos hasta \( n=f-1 \) aplicando el polinomio de Euler... o ya se sabe que esto no sucederá?

Aquí no tengo ni idea de a donde querías ir a parar; ¿para qué todas esas disquisiciones.?

Lo único que dije es que la propiedad:

"n17+9 y (n+1)17+9 son coprimos"

tiene la particularidad de cumplirse para todos los números naturales desde 1 a 8424432925592889329288197322308900672459420460792432 y sin embargo no cumplirse para n=8424432925592889329288197322308900672459420460792433.

¿Alguna crítica u objección concreta a esto?.

* Respecto a esto, una misma "función base" \( n^{17}+9 \) conforma a los naturales \( a \) y \( b \) que llegan a ser coprimos, con la diferencia de que para \( b \) se incrementa en +1 a \( n \) resultando que \( b=(n+1)^{17}+9 \)
→ La función podemos escribirla como: \( n^{p}+q \) donde \( p \) es un natural primo y \( q=\displaystyle\frac{p+1}{2} \) a lo que diría es una proporción media de \( p+1 \).

* Me dije, qué sucede si \( p \) es un natural compuesto, encontrando que con \( p=15 \) se daban casi de inmediato naturales no coprimos, por lo que probé con \( p=19 \) dándose coprimos, es decir: \( a=n^{19}+10 \) y \( b=(n+1)^{19}+10 \) hasta \( n=100 \) se tiene que \( a \) y \( b \) son coprimos.
→ Aclarado esto, probe con \( p=5 \) donde al conformar con \( n=32 \) \( a \) y \( b \) eran divisibles entre \( 41 \) sucediendo esto en \( n=\{32,53,73,114,155,...\} \) al haber evaluado hasta \( n=5000 \) donde se dieron 138 conformaciones de naturales no coprimos, por lo que volví a evaluar el rango, exportando los divisores de estos no coprimos, encontrando que solo los divisores: {41,491,1021} llegaban a dividir exactamente a los naturales \( a \) y \( b \) conformados con los 138 valores de \( n \) dato curioso que había que tomarlo en cuenta.

* Ahora evaluando con \( p=7 \) y \( q=4 \) hasta \( n=5000 \) se dieron 6 conformaciones para los \( n=\{484,1241,1998,2755,3512,4269\} \) donde \( a \) y \( b \) no eran coprimos, siendo divisibles todos entre \( 757 \) volviendo a darse este dato curioso.
→ Hasta aquí, observé que al incrementarse \( p \) el valor de \( n \) donde se conformen naturales no coprimos será mayor, por lo que evalué con \( p=11 \) hasta el rango \( n=5000 \) y no se dio ningún fallo, es decir, en todas las conformaciones \( a \) y \( b \) eran coprimos.

* Para dar algo de validez a lo que suponía, evalué con \( p=3 \) dándose 9 conformaciones de los fallos que digo, es decir, que los naturales conformados no son coprimos. Probando con \( p=6 \) también se dieron 9 fallos, donde 6 es un múltiplo de 3 y al probar con \( p=9 \) hasta el rango \( n=5000 \) como los anteriores, tan solo se dió 1 fallo, siendo que 9 es también múltiplo de 3, por lo que al incrementarse \( p \) el valor de \( n \) donde se conformen los naturales \( a \) y \( b \) que no sean coprimos, será un valor alto.
→ De esta manera, como en la función de El_Manco se tiene que \( p=17 \) el valor de \( n \) donde se dé el fallo de los naturales no coprimos, será grande, pudiendo ser el que nos lo puso en el Spoiler, cosa que no lo he comprobado, al interrumpir la evaluación para intentar determinar el ciclo de los compuestos \( a \) y \( b \) que son de 883 digitos.

Evidentemente y con la noción de número primo y coprimo que maneja la matemática oficial, 10 y 131081 si son coprimos y 2 y 3 si son primos. Y eso es indiscutible.

Lo que pasa es que tu manejas una noción de primalidad y coprimalidad alternativa, y con esas nociones (diferentes) si son ciertas las afirmaciones que haces. Y eso es también indiscutible.

Por tanto la discusión que tenéis tu y feriva sobre si el 2 y el 3 son o no primos es una absoluta pérdida de tiempo. Simplemente llamáis "primo" a conceptos distintos. Mi consejo es que no sigáis malgastando energías en eso.

• Muy bien... ya entendí, evitaré volver a tocar el tema, aunque no concuerde en esto con ustedes y como vieron, ya me están desterrando del Foro y no sé la posición a asumir...

☼ Una breve explicación sobre la factorización estructural Amigos El_Manco, Carlos Ivorra y Feriva.

1°) Sean \( p \), \( q \) y \( m \) números naturales, donde \( p|m \) y \( q|m \) comprendemos que \( m=p\cdot{}q \) es decir que "m" es un compuesto conformado por sus divisores "p" y "q".


2°) Sean los ciclos estructurales de \( p=2c \), \( q=3c \) y \( m=6c \) donde "c" denota que es un ciclo y la parte numeral indica la extensión del ciclo, donde observamos que el ciclo del compuesto, es como digo proporcional al ciclo de sus divisores, lo que supongo sería correcto decir, que el ciclo del compuesto es divisible al ciclo de sus divisores.

Spoiler

○ Esto lo he comprobado y se cumple, de una manera muy simple, ya que factorizar un compuesto en sus divisores primos, tiene mucha complejidad. Lo que hice fue generar elementos "nb" en el Conjunto FV, conformando sus múltiplos con la secuencia SMD, es decir si \( pb \) es un número base generado, con la secuencia SMD={4,2,4,2} se conforman \( \{nb_{1},nb_{2},nb_{3},nb_{4},...,nb_{n}\} \) siendo todos divisibles entre \( pb \) determinando el otro divisor en \( q_{n}=\displaystyle\frac{nb_{n}}{pb} \) ...verdad?

Ahora, determinamos el ciclo de \( pb \) que es \( c_{pb} \) luego el ciclo de \( nb_{1} \) que es \( c_{nb_{1}} \) después obtenemos \( q_{1} \) siendo su ciclo \( c_{q_{1}} \) evaluando que \( c_{nb_{1}} \ mod \ c_{pb}=0 \) y \( c_{nb_{1}} \ mod \ c_{q_{1}}=0 \) haciendo lo mismo con los demás múltiplos \( nb_{n} \) como también con los \( pb \) generados, hasta el Rango(1000000)

No se encontró una sola falla en la evaluación , es decir, no hubo un solo caso donde el ciclo del compuesto no sea divisible entre los ciclos de sus divisores.

[cerrar]

3°) Siendo \( 2c \) el ciclo de \( p \) el primer divisor del compuesto \( m \) y al darse solo dos divisores, comprendemos que estos son primos, donde la estructura de los naturales primos es proporcional y/o conformable a su ciclo, por lo que el primo \( p \) podrá tener una de estas conformaciones:

\( p=2c+1 \)
\( p=2c+2c+1 \)
\( p=2c+2c+2c+1 \)

Y el primo \( q \) una de estas conformaciones:

\( q=3c+1 \)
\( q=3c+3c+1 \)
\( q=3c+3c+3c+1 \)
\( q=3c+3c+3c+3c+1 \)

* Sumamos "+1" porque no es posible que se dé un ciclo en el primer ladrillo de la estructura numérica, que si fuera asi, todos los naturales serian primos, es como validar al "1" como primo.
→ \( q=3c+1=4c \) no puede ser porque los primos son naturales impares, como tampoco lo será \( q=3c+3c+3c+1=10 \) siendo el valor natural de \( q \) uno de estos: \( q=3c+3c+1=7 \) ó \( 3c+3c+3c+3c+1=13 \)
→ En el caso de \( p \) su valor natural podrá ser: \( p=2c+2c+1=5 \) ó \( p=2c+2c+2c+1=7 \) NO así \( p=2c+1=3 \) ya que esto no sucede, el natural  no presenta este ciclo, donde la valoración de este unico punto estructural, no indica la conformación de un ciclo valido, sino lo que podría decir, un ciclo parcialmente nulo.

* Continuando para no entrar en polémica sobre lo dicho, solo tenemos una cantidad limitada de posibles naturales que lleguen a ser los divisores del compuesto \( m \) lo que dependerá de la extensión de su estructura, sabiendo de antemano, que su estructura no será proporcional y/o divisible entre su ciclo, algo que se cumple en todos los primos y algunos compuestos, determinado ya esto por la "Primalidad Estructural".
→ Si desconocemos los divisores de \( m \) al determinar su ciclo \( c_{m} \) el cociente \( \displaystyle\frac{m}{c_{m}} \) nos indica las proporciones de iteración para conformar a sus divisores naturales, ya sea reduciendo ó aplificando su ciclo \( c_{m} \).
→ Del mismo modo, sabiendo el ciclo de uno de sus divisores, podemos llegar mas pronto a determinar el ciclo del compuesto, en lugar de valorar y evaluar uno a uno cada ladrillo estructural.

○ Esto es una síntesis de la metodología de Factorización Estructural, que espero se comprenda, donde quiero decir, que para factorizar cualquier compuesto \( n \) natural, con solo determinar su ciclo-estructural, tendremos el camino mas directo para saber y dar con al menos, uno de sus divisores, donde como se comprende, no requerimos de saber los primos que se den hasta su raiz cuadrada, ni efectuar funciones y/o operaciones complejas, donde no sé si este criterio metodológico ya se aplicó en alguna de las metodologías de la literatura de Teoría de Números ó en la Matemática en si.



Saludos...

[Luis Fuentes]

Hola

Evidentemente y con la noción de número primo y coprimo que maneja la matemática oficial, 10 y 131081 si son coprimos y 2 y 3 si son primos. Y eso es indiscutible.

Lo que pasa es que tu manejas una noción de primalidad y coprimalidad alternativa, y con esas nociones (diferentes) si son ciertas las afirmaciones que haces. Y eso es también indiscutible.

Por tanto la discusión que tenéis tu y feriva sobre si el 2 y el 3 son o no primos es una absoluta pérdida de tiempo. Simplemente llamáis "primo" a conceptos distintos. Mi consejo es que no sigáis malgastando energías en eso.

• Muy bien... ya entendí, evitaré volver a tocar el tema, aunque no concuerde en esto con ustedes y como vieron, ya me están desterrando del Foro y no sé la posición a asumir...

No, si dices esa frase es que no has entendido.

Si hubieses entendido comprenderías perfectamente porque la discusión es una pérdida de tiempo.

Por otra parte nadie te está desterrando del foro. Mi consejo no tiene un carácter mafioso o amenazante, sino sincero. Es decir, tu eres libre de seguir discutiendo con feriva o con quien sea si el dos o el tres es número primo. Tienes libertad absoluta para escribir líneas y líneas el el foro sobre ese tema. Lo que me gustaría que comprendieses de una vez por todas que es puramente un problema de nombres y es por ese motivo por le cual considero ese debate concreto una pérdida de tiempo.

☼ Una breve explicación sobre la factorización estructural Amigos El_Manco, Carlos Ivorra y Feriva.

1°) Sean \( p \), \( q \) y \( m \) números naturales, donde \( p|m \) y \( q|m \) comprendemos que \( m=p\cdot{}q \) es decir que "m" es un compuesto conformado por sus divisores "p" y "q".


2°) Sean los ciclos estructurales de \( p=2c \), \( q=3c \) y \( m=6c \) donde "c" denota que es un ciclo y la parte numeral indica la extensión del ciclo, donde observamos que el ciclo del compuesto, es como digo proporcional al ciclo de sus divisores, lo que supongo sería correcto decir, que el ciclo del compuesto es divisible al ciclo de sus divisores.

Y aquí volvemos a lo mismo. Vuelves a hablar de "ciclos" sin haber explicado con precisión que es un ciclo. Intenté seguirte en otro hilo, pero no contestaste a todas mis dudas y objecciones.

Saludos.

[elcristo]

* Supongo que Euler desconocía del Conjunto FV, donde 41 pertenece al Grupo PIG[5] y en los primos de este grupo se dan situaciones similares, comenando con el propio primo PIG(5) donde "PIG" es una abreviación que significa "Primo Inicial de Generación".

No sé si Euler conocía o dejaba de conocer tal o cual conjunto, pero es indiferente. Con ese polinomio Euler simplemente prentendía poner un ejemplo de polinomio con el cuál se obtienen unos cuantos primos, y el sabía perfectamente que no siempre se obtenía un número primo. Entonces no sé porque dices esa frase.

De hecho, es inmediato que \( p(40)=40^2+40+41=40(40+1)+41=[color=red]40\cdot 41+41(40+1)41[/color]=41^2 \), sin necesidad de evaluar primero y factorizar después, y Euler lo sabía.

Lo más interesante es que Euler sabía demostrar que todos los valores p(n) anteriores son primos sin necesidad de calcular (ni mucho menos factorizar) ninguno de ellos (lo que en cierto modo significa que no es casualidad que sean primos), basándose en la igualdad

\( x^2+x+41=\left(\frac{2x+1+\sqrt{-163}}{2}\right)\left(\frac{2x+1-\sqrt{-163}}{2}\right) \),

junto con el hecho de que los números de la forma

\( a+b\frac{1+\sqrt{-163}}{2} \), \( a,b\in \mathbb Z \)

pueden descomponerse de forma única en factores primos. Esto último no sé si Euler sabía probarlo, pero Gauss sí.

Hola.

\( p(40)=40^2+40+41=40(40+1)+41=40*41+41\neq 40*41+41(40+1)41=41^3 \)

No sé exactamente a dónde querías llegar ni dónde está la errata, pero la verdad, me gustaría terminar de ver el razonamiento bien escrito, si no es mucho pedir.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

No sé exactamente a dónde querías llegar ni dónde está la errata, pero la verdad, me gustaría terminar de ver el razonamiento bien escrito, si no es mucho pedir.

La errata es que se comió un igual, simplemente:

De hecho, es inmediato que \( p(40)=40^2+40+41=40(40+1)+41=40\cdot 41+41(40+1)41=41^2 \), sin necesidad de evaluar primero y factorizar después, y Euler lo sabía.

Sería:

\( p(40)=40^2+40+41=40(40+1)+41=40\cdot 41+41\color{red}=\color{black}(40+1)41=41^2 \)

Saludos.

[Carlos Ivorra]

La errata es que se comió un igual, simplemente:

De hecho, es inmediato que \( p(40)=40^2+40+41=40(40+1)+41=40\cdot 41+41(40+1)41=41^2 \), sin necesidad de evaluar primero y factorizar después, y Euler lo sabía.

Sería:

\( p(40)=40^2+40+41=40(40+1)+41=40\cdot 41+41\color{red}=\color{black}(40+1)41=41^2 \)

Gracias, ya lo he modificado.

[Víctor Luis]

Buenas Tardes El_Manco...

La definición de primo está dada si tu no la aceptas puedes aceptar otros hilos o foros.

Yo no dejo nada para el algebra ni para la aretmética hay una definición clara de número primo si no la quieres en otros foros seguro te la aceptan.

• Tomaré tu palabra, desechando lo que comprendí se me decía en ese comentario... Gracias.

No, si dices esa frase es que no has entendido.

Si hubieses entendido comprenderías perfectamente porque la discusión es una pérdida de tiempo.

• Pues ahora si que entiendo menos... cuando hablo de estructura numérica me refiero a todos los números del Conjunto \( \mathbb{N} \) a los que ustedes también hacen referencia, diferenciando estos naturales a excepción del 1, en dos grupos: Grupo de Primos y Grupo de Compuestos, hasta ahi tenemos el mismo enfoque... verdad?

* Ahora, el TFA nos dice que un número es "primo" cuando este es divisible entre 1 y entre si mismo, de no ser así, este sería "compuesto".
→ La divisibilidad es algo que nadie, ni yo, puede refutar y peor contradecir, donde si \( a \) y \( b \) son naturales, con \( a\leq{b} \) se da una división con un cociente \( q \) y un resto \( r \) cumpliéndose que \( b=(a\cdot{}q)+r \). Ahora si el resto es \( r=0 \) cero, decimos es una división exacta, donde \( a|b \) y \( q|b \) es decir que, \( a \) divide exactamente a \( b \) y también \( q \) divide exactamente a \( b \) reiterando que en esto solo estamos razonando lo que es la "divisibilidad".

Spoiler

* Pues bien, no sé de la historia de la matemática, cuándo y quién postuló ó promulgó el enunciado de "primo" del TFA, donde comprendo, que la divisibilidad sería la única forma eficiente y precisa para determinar la primalidad de un \( n \) natural, aclarando que no digo no sea valida ni cierta, sino la "única" manera de saber sin duda alguna que un natural es primo ó compuesto.
→ Yo también me basaba en esto, hasta que descubrí la estructura numérica, reitero... descubrí, di con esto, concebí de su presencia y no lo cree o desarrollé para tener un test de primalidad, pues recuerda que yo analizaba el Conjunto FV y la Organización de PO. Este enfoque de Estructura Numérica, surge cuando realizaba mi analisis de forma manual, al haberse quemado mi computador, escribiendo datos de las ideas que me venían a la mente, sin saber que ya estaba recorriendo la estructura de los naturales, también pasé y repasé por lo que son los ciclos, sin concebir su importancia, pues no dicen nada concreto y específico como uno esperaría, asi como tu función de coprimos. Llevando ya 4 cuadernos escritos, se volvio un lio continuar analizando, por lo que me dije hacer un resumen de lo mas importante, donde al hacer esto, recién comprendi lo que había estado todo el tiempo frente a mis ojos, algo que tenían coincidéntemente los primos y no así los compuestos, llamando a esto ladrillo de primalidad [c1] pero al revisar los datos de los compuestos, encontré que algunos también cumplian con esto, siendo azares del destino, que justamente había analizado tanto primo como compuestos que me llevaron a concebir en el ladrillo de primalidad [c2] es decir, en la estructura de todo natural \( n>2 \) encontramos este punto de su estructura, que al valorarlo esperamos dos únicos posibles resultados que nos dirán si es primo, caso contrario este es compuesto, donde con solo esto y sin dármelas de algo muy, ya superé con poco al critero de primalidad de Fermat (matemático que admiro), al criterio de Miller-Rabin que digo son aleatorios, porque no llegan a evaluar el ladrillo [c2] en todos los casos, como yo encontré que se debía hacerlo y superé también a los números de Carmichael, donde la mayoría al evaluar el punto [c2] nos dice es compuesto.

(disculpa que me extienda un poco...trataré de ser breve.?

* Ya con el computador arreglado, probé el criterio de mi metodología, encontrando compuestos que pasaban como primos, diciéndome que hasta ahí no mas llegué, mas se me ocurrió cargar en un array estos compuestos para luego exportar todos sus datos, siendo mucha información entrecruzada, por lo que hice lo mismo, pero exportando datos según cada Grupo PIG, lo que aclaró el panorama, concibiendo la importancia de lo que llamo "ciclo" el cual es proporcional a la estructura del número, es decir, los primos estan conformados por una cantidad exacta de ciclos y los compuestos no, es como dividir la extensión de su estructura entre el ciclo y no se dá una división exacta como sucede con los primos.
→ Los compuestos que pasaban como primos, tenian todo esto que caracterizaban a los primos validos, es decir, su ciclo era proporcional a la extención de su estructura... pero Ahh!!! pero su valoracion en [c2] era diferente a de los primos, lo que me permitió ajustar el criterio de evaluación, de modo que se consideren ambos casos con una sola evaluación, descartando con esto, al 99% de compuestos, revisando siempre que los primos si pasen la evaluación.

* Como era de esperarse, se dieron algunos pocos compuestos que pasaban como primos, donde analizando no encontré un ladrillo [c3] de primalidad, pasando a analizar el ciclo, que como te dije, según cada Grupó PIG, los datos son mas claros, y se dio esto mismo, los ciclos se daban con valores pares en un Grupo, impares en otro y en uno solo como una mezcla de los dos, lo que no decía aún nada, sino que analizando mayor cantidad de datos, otra vez el destino, puso ante mi vista, dos resultados de dos puntos proporcionales al ciclo, los que conformaban la valoración del ciclo mismo, algo que primero uno piensa es coincidente, y para despejar esto, evalué si los primos cumplian esto y lo hacían, solo que como dije, se dan ciclos pares e impares, siendo en base a esto, que se verifica la conformación del ciclo-estructural, algo inpensable que llegaban a cumplir todos los primos de acuerdo al Grupo PIG que pertenezcan... y recalco, y espero se comprenda, que el Conjunto FV, no nos da el criterio de estructura numérica, solo nos ayuda a organizar a los naturales y comprender sus características ciclo-estructura. Mira que con la implementación de este criterio a la metodología, se determina la primalidad de los naturales en un 99,9999% con resultado determinista, donde indico este porcentaje, de forma figurativa, porque los compuestos que llegan a pasar como primos son contados con los dedos de una mano, habiendo evaluado hasta el natural 37.500.000.000 (disculpa por los puntos de mil, se que recomendaste no se emplean) donde solo encontré 4 compuestos que pasan como primos, donde si calculamos cuantos elementos "nb" se generan hasta este limite, tendríamos: \( \displaystyle\frac{37500000000}{12}=3125000000 \) que son líneas de generación, donde en cada linea cada primo PIG (que son 4) conforman 4 naturales "nb" teniendo por lo tanto: \( nb=3125000000*4=12500000000 \) de los cuales diremos son primos el 25% es decir 3.125.000.000 (cuando en realidad son 1.609.414.489) entonces tenemos 9.375.000.000 compuestos evaluados, donde 4 pasan como primos, correspondiendo estos al 4.2666666666666666666666666666667e-8 y los compuestos determinados como tales, al 99.999999957333333333333333333333 que es lo que me da la calculadora de Windows.
→ Analizando los datos de estos 4 compuestos, tenían todo lo que había encontrado que tienen los primos en su ciclo y estructura, observando que todos estos pertenecíanal Grupo PIG donde los ciclos se dan como pares e impares de forma irregular, diciéndome esto, que me faltaba tomar en cuenta algo, debiendo encontrar mas de estos compuestos, mas por mi impaciencia, probé cuanta idea se me vino a la cabeza, donde en un momento, se exporto un resultado "R=0" donde había dividido a uno de los compuestos iterando su ciclo, es decir, había dado con uno de sus divisores, algo que puede ser coincidente, porlo que hice lo mismo con los otros y se dio este mismo hecho, donde al no tener mas de estos compuestos, comprobe este criterio con los naturales compuestos del Conjunto FV, ya que no se puede hacer esto de la factorización estructural con los naturales de la forma \( 2n \) y \( 3n \) al no determinarse en todos un ciclo valido y cabalmente, los elementos del Conjunto FV, no son de esta forma, lo que no interviene en el criterio, solo es una forma de selección nada mas. Ya con esto, es que te dije es dable la factorización desde la estructura de un natural compuesto.

* Bueno, sin entrar en esto de la factorización que aun no esta del todo analizado, para finalizar, se me ocurrió pensar, que la estructura-ciclica de los primos nos indican su primalidad, habrá algo en la estructura de los primos de Mersenne?
 Sabemos que todos los Mn pertenecen al Grupo PIG[7] y de acuerdo a esto, los ciclos tienen una modalidad particular de evaluarse, donde observando la valoración de cada ladrilo, es un montón de valores que no decían nada, hasta que otra vez el destino interviene (quién mas) observando la valoración de un ladrillo estructural, donde al buscar el ladrilo donde se tenía que dar esto, no había. Busque esto mismo en otro Mp primo, y no se daba, y digo es obra del destino, porque me empeciné con esto, encontrando un ladrillo proporcional que tienen todos los Mp primos y no asi casi todos los Mn compuestos, habiendo ya un criterio que los diferenciaba, por lo que exporte la valoración de este punto ó ladrillo y compararlos entre primos y compuestos, lo que no fue facil, ya que estos aumentan de tamaño exponencialmente y recorrer la estructura ladrillo por ladrillo era moroso, mientras se hacía esto, miraba y miraba los resultados de los Mp primos y vi que estos pertenecían a una sucesión específica, lo que podria ser coincidencia en los pocos Mp primos evaluados, pero entre estos habian muchos Mn compuetos, donde al evaluar con este criterio, se dió de sorpresa, que los que son Mp primos pasaban esta evaluación y no asi los que son Mn compuestos.
→ Ante esto, debía evaluar mas Mp primos y ver si cumplian este criterio, por lo que mejoré las funciones para que valoraran mas pronto el ladrillo de primalidad de estos naturales, llegando a comprobar hasta el Mp[32] que si cumplian esta evaluación y luego, evalué los Mn compuestos hasta el exponente 30.000 y un poco mas, donde ninguno paso como un falso primo de Mersenne.

◘ Disculpa otra vez El_Manco por haberme extendido, pero te comento todo esto, la cronología de mis analisis, para que se comprenda que en si yo no inventé esto de la primalidad estructural, algo que siempre ha existido, solo que no se tomó el camino acertado, donde si Fermat hubiera hecho lo mismo, ya no tendríamos el problema de los números primos, ni que sea imposiblemente humano el determinar la primalidad de un "n" natural, tan grande como uno quiera, algo que me comentó Feriva, y supongo es algo asi como se vería este asunto.

◘ Entonces, no es un test de primalidad que invalida a los naturales que ya sabemos, sino que considero es un enfoque algo mas directo hacia la primalidad de los naturales y cuando digo que {7,10} no son coprimos, es por la incompatibilidad de estructura valida que estos tienen, pudiendo surgir la pregunta: ¿Entonces qué naturales pueden ó son coprimos? Algo interesante de analizar, donde al restringirse de esta propiedad muchos de los números naturales, la función de coprimalidad, quizás sea mas efectiva en la utilidad que le dan, al menos eso llego a imaginarme, pues de esto se poco, tan solo que comparten al "1" como único divisor en común.

[cerrar]

☼ Bueno, no te canso mas y GRACIAS por tu tiempo Amigo...



Saludos Cordiales...

Spoiler

○ Ya Gracias por reintegrarme al excelente Foro....

[cerrar]