[zorropardo]

Para todo $$ x \in \mathbb{R}$$ , probar: $$| \mbox{sen }  x | \leq{ |x| }.$$

[ani_pascual]

Hola:

Para todo $$ x \in \mathbb{R}$$ , probar: $$| \mbox{sen }  x | \leq{ |x| }.$$

Puedes usar el teorema de Lagrange o del valor medio.
Gracias por la corrección, Juan Pablo Sancho
.
Saludos 🖐🏻

Spoiler

\( f(x)=\sen x\,\, \), es continua en \( [0,x] \) y derivable en \( ]0,x[ \), si es \( x>0 \) o en \( [x,0] \), si es \( x<0 \).  Si es \( x=0 \) es claro que \( |\sen 0|\leq |0| \). Por el teorema del valor medio, existe \( c\in ]0,x[ \) tal que \( f'(c)=\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\Longleftrightarrow\\ \cos c=\dfrac{\sen x}{x}\Longrightarrow \left| \dfrac{\sen x}{x}\right|\leq 1\Longrightarrow \\|\sen x|\leq |x| \)

[cerrar]

[Juan Pablo Sancho]

Teorema del valor medio.

[ani_pascual]

Teorema del valor medio.

Sí, enseguida me he dado cuenta y lo he corregido. 
Gracias y saludos

[zorropardo]

El teorema de Rolle y valor medio esta en el proximo capitulo del libro, asi como derivadas. 

[Juan Pablo Sancho]

Mira la respuesta de Ignacio Larrosa de este hilo:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=110556.msg437127#msg437127

[zorropardo]

Hola de la figura del link ,  se puede entender y mostrar:  $$ \sin x < x$$ para $$ x \in (0, \frac{\pi}{2}].$$ Como consigo concluir con los valores absolutos 

[Juan Pablo Sancho]

Piensalo un poco, es fácil.
Para \( x \in (0,\frac{\pi}{2}]  \) son positivas las dos funciones luego: \( |\sen(x)| = \sen(x) < x = |x|  \).
Editado
Multiplicamos por \( -1 \) y queda \(  -x \color{red} < \color{black} - \sen(x) = \sen(-x)  \) por ser \( \sen(x) \) función impar.

[zorropardo]

Entendi que : $$| \sin x| < |x|$$ pues $$x $$ esta en el intervalo $$(0, \pi/2]$$.

De la otra parte se obtuvo: $$-x< \sin (-x) $$ y esto  que implica   

[Juan Pablo Sancho]

Edité el mensaje, perdona zorropardo