[zorropardo]

Probar que $$ y_{n}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}$$ es creciente.

Intente por el desarrollo del binomio de Newton , asi obtuve:

$$ \begin{align*}
y_{n}&= 1+ \sum_{k=1}^{n}  \Big(1- \frac{k-1}{n} \Big)\Big(1- \frac{k-2}{n} \Big) ...... \Big(1- \frac{1}{n} \Big)   \frac{1}{k!} \\
y_{n+1}&= 1+ \sum_{k=1}^{n+1}  \Big(1- \frac{k-1}{n+1} \Big)\Big(1- \frac{k-2}{n+1} \Big) ...... \Big(1- \frac{1}{n+1} \Big)   \frac{1}{k!} \\
y_{n+1}-y_{n}&= \sum_{k=1}^{n}  \Big[ \Big(1- \frac{k-1}{n+1} \Big)\Big(1- \frac{k-2}{n+1} \Big).. \Big(1- \frac{1}{n+1} \Big)- \Big(1- \frac{k-1}{n} \Big)\Big(1- \frac{k-2}{n} \Big) ... \Big(1- \frac{1}{n} \Big) \Big] \frac{1}{k!} \\
&=+ \Big(1- \frac{n}{n+1} \Big)\Big(1- \frac{n-1}{n+1} \Big)...\Big(1- \frac{1}{n+1} \Big)\Big(1- \frac{1}{n+1} \Big) 
\end{align*} $$

Mi duda es, como garantizo que la parte de corchetes es positivo 

[thadeu]

Hola zorropardo
Pues, en cada paréntesis todas las fracciones son menores que uno.
Por ejemplo.
 $$1+n>n$$ entonces $$1>\displaystyle\frac{n}{n+1}$$
Por  lo tanto $$1-\displaystyle\frac{n}{n+1}>0$$

[zorropardo]

 Hola, me referia a la parte que esta dentro del corchete, la penultima fila.

[thadeu]

Pero esa suceción ya la probaron en un propuesto anterior tuyo.
Aquí.
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=125927.10

[Juan Pablo Sancho]

Pero lo que está entre corchetes :
\( (1-\dfrac{k-1}{n+1}) > (1-\dfrac{k-1}{n})  \)
\( (1-\dfrac{k-2}{n+1}) > (1-\dfrac{k-2}{n})  \)
....

Luego es positivo.

[zorropardo]

Muy agradecido.

[ani_pascual]

Hola:

...
Mi duda es, como garantizo que la parte de corchetes es positivo 

En efecto, como dice Juan Pablo Sancho, si \( a_1>b_1,a_2>b_2,\ldots,a_p>b_p \) con los \( a_i,b_i \) positivos, entonces \( a_1\cdot a_2\cdots a_p>b_1\cdot b_2\cdots b_p\Longrightarrow a_1\cdot a_2\cdots a_p-b_1\cdot b_2\cdots b_p>0 \)
Saludos