[Fermatsito]

Buenos días o tardes. Estaba pensando si era posible demostrar el siguiente teorema sin utilizar el inverso multiplicativo. Hice el intento y al menos mi demostración me parece bastante convincente, pero quisiera saber hasta qué punto es válida.

Teorema. Si ab=0 entonces a=0 o b=0.

Mi demostración alternativa es así: por hipótesis ab=0, entonces ab+ab=0=ab; luego a(b+b)=ab.

De la última igualdad, por comparación, es posible notar que b+b=b, es decir, b cumple con la propiedad del neutro aditivo, y como el neutro aditivo es único, entonces b=0.

Como digo, me parece bastante convincente e intuitiva, solo me hace entrar en duda esa última parte de "por comparación".  No sé si todo lo que dije sea una justificación válida o solo estoy divagando. Agradeceré su tiempo y sus respuestas.

Saludos.

[ani_pascual]

Como digo, me parece bastante convincente e intuitiva, solo me hace entrar en duda esa última parte de "por comparación".  No sé si todo lo que dije sea una justificación válida o solo estoy divagando. Agradeceré su tiempo y sus respuestas.

Hola:
¿Que se supone que son \( a \) y \( b \)? Eso de "por comparación" parece que lleva implícito el uso el inverso de \( a \).
¿No te parece más fácil probar el contrarrecíproco? Si \( a\neq 0 \) y \( b\neq 0 \) entonces \( ab\neq 0 \)
Saludos

[Fermatsito]

Como digo, me parece bastante convincente e intuitiva, solo me hace entrar en duda esa última parte de "por comparación".  No sé si todo lo que dije sea una justificación válida o solo estoy divagando. Agradeceré su tiempo y sus respuestas.

Hola:
¿Que se supone que son \( a \) y \( b \)? Eso de "por comparación" parece que lleva implícito el uso el inverso de \( a \).
¿No te parece más fácil probar el contrarrecíproco? Si \( a\neq 0 \) y \( b\neq 0 \) entonces \( ab\neq 0 \)
Saludos

Tienes razón, me faltó ser más específico, una disculpa. a y b son números naturales. Precisamente por eso no quisiera usar el inverso aditivo, ya que necesito demostrar esa propiedad pero usando solamente los elementos de los números naturales y sus propiedades.

No había pensado en el contrarrecíproco Me parece que ese es el método más adecuado, muchas gracias por la idea.

Saludos.

[ani_pascual]

a y b son números naturales. Precisamente por eso no quisiera usar el inverso aditivo, ya que necesito demostrar esa propiedad pero usando solamente los elementos de los números naturales y sus propiedades.

Hola:
Si \( a,b\in\mathbb{N} \) no tendría sentido lo del inverso aditivo, pero sí lo de por comparación; en efecto, si \( a\neq 0 \) entonces \( am=an\Longrightarrow m=n \), luego de \( a(b+b)=ab \) se podría deducir que \( b+b=b\Longrightarrow b=0 \). Por otro lado, si \( b\neq 0 \), de \( (a+a)b=ab \) se podría deducir que \( a+a=a\Longrightarrow a=0 \); en definitiva, que \( ab=0\Longrightarrow a=0\vee b=0 \)
Saludos

[Carlos Ivorra]

Más fácil: Si \( a\neq 0 \) y \( b\neq 0 \), entonces \( a = u+1 \) y \( b=v+1 \), para ciertos \( u, v \), luego \( ab = uv +u+v+1 \), y esto implica que \( ab\neq 0 \) (pues el cero no es el sucesor de ningún número natural).

[ani_pascual]

Más fácil: Si \( a\neq 0 \) y \( b\neq 0 \), entonces \( a = u+1 \) y \( b=v+1 \), para ciertos \( u, v \), luego \( ab = uv +u+v+1 \), y esto implica que \( ab\neq 0 \) (pues el cero no es el sucesor de ningún número natural).

Hola:
Cierto 
Saludos

[Fermatsito]

a y b son números naturales. Precisamente por eso no quisiera usar el inverso aditivo, ya que necesito demostrar esa propiedad pero usando solamente los elementos de los números naturales y sus propiedades.

Hola:
Si \( a,b\in\mathbb{N} \) no tendría sentido lo del inverso aditivo, pero sí lo de por comparación; en efecto, si \( a\neq 0 \) entonces \( am=an\Longrightarrow m=n \), luego de \( a(b+b)=ab \) se podría deducir que \( b+b=b\Longrightarrow b=0 \). Por otro lado, si \( b\neq 0 \), de \( (a+a)b=ab \) se podría deducir que \( a+a=a\Longrightarrow a=0 \); en definitiva, que \( ab=0\Longrightarrow a=0\vee b=0 \)
Saludos

Muchas gracias por la respuesta. Estuve revisando algunos apuntes acerca de la construcción de los números naturales, los axiomas de Peano y la definición formal de la suma y el producto y puede ver que es como dices: en los naturales sí es posible usar la idea de "comparar" término a término. De hecho, a partir de la definición de la "función producto" se puede demostrar esta ley de cancelación en los naturales.

Saludos.

[Fermatsito]

Más fácil: Si \( a\neq 0 \) y \( b\neq 0 \), entonces \( a = u+1 \) y \( b=v+1 \), para ciertos \( u, v \), luego \( ab = uv +u+v+1 \), y esto implica que \( ab\neq 0 \) (pues el cero no es el sucesor de ningún número natural).

Es verdad Creo que debo acostumbrarme más a pensar en estas demostraciones usando el contrarrecíproco. Digo, como que me he casado mucho con las demostraciones directas o por contradicción y no practico mucho otras técnicas de demostración. Gracias por la respuesta, fue muy útil.

[Masacroso]

Más fácil: Si \( a\neq 0 \) y \( b\neq 0 \), entonces \( a = u+1 \) y \( b=v+1 \), para ciertos \( u, v \), luego \( ab = uv +u+v+1 \), y esto implica que \( ab\neq 0 \) (pues el cero no es el sucesor de ningún número natural).

Una demostración muy bonita ya que sólo utiliza las propiedades de los naturales