[Carlos Ivorra]

Acabamos de dotar a las rectas de estructura de cuerpo, y ahora vamos a probar algunos resultados adicionales sobre esta estructura. En primer lugar extendemos el teorema 128 para abarcar también el producto:

Teorema 134  \( Pr_{oe}^{e'}(abc)\land Ar_{oe'}(a'b'c')\land Par(ee'aa')\land Par(ee'bb')\land Par(ee'cc') \) \( \rightarrow Pr_{oe'}^e(a'b'c') \)

Esto quiere decir que la proyección paralela de \( \overline{oe} \) en \( \overline{oe'} \) marcada por la recta \( \overline{ee'} \) es un isomorfismo de cuerpos.

Demostración:  Podemos suponer que \( a\neq o \), y entonces es inmediato comprobar a partir de la definición de producto que \( Pr_{oe}^{e'}(abc) \) implica \( Pr_{oe'}^a(a'b'c') \), que es equivalente a \( Pr_{oe'}^e(a'b'c') \) porque hemos visto que el producto no depende del punto auxiliar elegido.

Seguidamente demostramos que la proyección paralela entre rectas paralelas también es un isomorfismo de cuerpos:

Teorema 135  \( \overline{oe}\parallel \overline{o'e'}\land \overline{oe}\neq\overline{o'e'}\land Ar_{oe}(abc)\land Ar_{o'e'}(a'b'c') \) \( \land Par(oo'ee')\land Par(oo'aa')\land Par(oo'bb')\land Par(oo'cc') \) \( \rightarrow (Su_{oe}^{e'}(abc)\rightarrow Su_{o'e'}^e(a'b'c'))\land (Pr_{oe}^{e'}(abc)\rightarrow Pr_{o'e'}^e(a'b'c')) \)

Demostración:  En primer lugar probamos que la proyección conserva la suma. Podemos suponer que \( a\neq o \).

Si \( Su_{oe}^{e'}(abc) \), entonces \( Su_{oa}^{o'}(abc) \), porque hemos visto que la suma está completamente determinada por el origen \( o \). Y es fácil ver ahora (por la definición de suma) que esto equivale a \( Su_{o'a'}^a(a'b'c') \), que a su vez equivale a \( Su_{o'e'}^{e'}(a'b'c') \).

El caso del producto es algo más sofisticado. Podemos suponer que \( a,b,c\neq o \). Sea \( e'' \) un punto en \( \overline{oo'} \) distinto de \( o \). Como el producto no depende del punto auxiliar, tenemos \( Pr_{oe}^{e''}(abc) \).

Llamemos \( e''' \) a la suma \( Su_{oe''}^e(e'',o',e''') \). En la figura lo tenemos calculado.

Por construcción \( \overline{e'''e'}\parallel \overline{ee''} \) (ambas líneas están pintadas en verde).

Pero por la independencia respecto del punto auxiliar también se cumple que \( Su_{oe''}^a(e'',o',e''') \), lo que en particular implica que \( \overline{a'e'''}\parallel \overline{ae''} \) (la figura también muestra el cálculo de la suma con \( a \) como punto auxiliar, y estas líneas están pintadas en rojo).

Del mismo modo construimos \( b''' \) de modo que \( Su_{ob''}^b(b''o'b''') \), o equivalentemente, \( Su_{ob''}^c(b''o') \). Esto implica que \( \overline{b'b'''}\parallel \overline{b''b} \) y también \( \overline{c'b'''}\parallel \overline{cb''} \).  Estos pares de rectas también están marcadas en verde y en rojo, porque son paralelas a las anteriores porque \( Pr_{oe}^{e''}(abc) \). Es claro entonces que se cumple \( Pr_{o'e'}^{e'''}(a'b'c') \), luego también \( Pr_{o'e'}^e(a'b'c') \).

Así pues, hemos encontrado dos tipos del isomorfismos de cuerpos entre rectas:

1) Los isomorfismos de tipo 1, que son las proyecciones paralelas de una recta \( \overline{oe} \) en otra \( \overline{oe'} \) realizadas mediante rectas paralelas a \( \overline{ee'} \).

2) Los isomorfismos de tipo 2, que son las proyecciones paralelas de una recta \( \overline{oe} \) en otra recta paralela distinta \( \overline{o'e'} \) con la condición de que \( \overline{oo'}\parallel \overline{ee'} \), y la proyección se realiza mediante rectas paralelas a éstas.

Ahora es fácil concluir un resultado general:

Teorema 136  Todos los pares \( (o,e) \) de puntos distintos determinan cuerpos isomorfos, de modo que un isomorfismo entre dos de ellos puede obtenerse componiendo como máximo tres isomorfismos de los dos tipos que acabamos de describir.

Demostración: Consideremos dos pares \( (o,e) \) y \( o',e') \) y distingamos varios casos:

Caso 1: \( o=o' \). Si \( \lnot Col(oee') \) basta un isomorfismo de tipo 1. Si \( Col(oee') \) tomamos otro punto \( e'' \) no colineal y componemos el isomorfismo entre \( (o,e) \) y \( (o,e'') \) con el isomorfismo entre \( (o,e'') \) y \( (o,e') \).

Caso 2: \( o\neq o' \). Distinguimos varios subcasos:

2a)  Si \( o'\notin\overline{oe} \), entonces, si \( \overline{oe}\parallel \overline{o'e'} \) basta un isomorfismo de tipo 2, mientras que si ambas rectas son secantes, tomamos la paralela a \( \overline{oe} \) por \( \overline{o'} \), que será de la forma \( \overline{o'e''} \), y componemos el isomorfismo de tipo 2 de \( (o,e) \) en \( (o',e'') \) con el isomorfismo de tipo 1 de \( (o',e'') \) en \( (o',e') \).

2b) Si \( o\notin \overline{o'e'} \) razonamos análogamente.

2c) Si no se dan los dos subcasos anteriores, es decir, si \( o'\in \overline{oe} \) y \( o\in \overline{o'e'} \), entonces \( \overline{oe}=\overline{oo'}=\overline{o'e'} \). Entonces tomamos una recta secante \( \overline{oe''} \) y su paralela por \( o' \), y tomamos el punto \( e''' \) donde ésta corta a la paralela a \( \overline{oe} \) por \( e'' \) (con lo que formamos un paralelogramo de vértices \( o, o', e'', e''' \)).

En este caso componemos tres isomorfismos: el de \( (o,e) \) en \( (o, e'') \), de tipo 1, el de \( (o,e'') \) en \( (o',e''') \), de tipo 2, y el de \( (o',e'') \) en \( (o',e') \), de tipo 1.

Así pues, los distintos productos en rectas distintas con orígenes y unidades distintas determinan realmente el mismo cuerpo, desde un punto de vista algebraico.

Probamos ahora un resultado técnico:

Teorema 137  \( Ar_{oe}^{e'}(abcd)\land c\neq o\rightarrow (ab=cd\leftrightarrow Pr_{oc}^{e'}(abd) \)

Demostración:  Podemos suponer que \( a,b,d,\neq o \). Supongamos que \( ab=cd=p \). La figura siguiente muestra la situación:

Para construir el producto \( (ab)_{oc}^{e'} \) levantamos \( b \) paralelamente a \( \overline{ce'} \), con lo que llegamos a \( b* \) y luego hemos de construir la paralela a \( \overline{ae'} \) por \( b^* \), y se trata de probar que es \( \overline{b^*d} \). Ahora bien, esto es consecuencia inmediata del teorema de Papos-Pascal aplicado al hexágono \( p,d',d,b^*,b,b' \), que nos permite pintar de rojo la línea que en la figura está en negro.

Para probar el recíproco suponemos \( Pr_{oc}^{e'}(abd) \) y tomamos el punto \( d_0 \) que cumple \( ab=cd_0 \) (esto es posible porque estamos en un cuerpo y \( c\neq o \)). Por la implicación ya probada tenemos que \( Pr_{oc}^{e'}(abd_0) \), y como el producto de dos puntos es único, tiene que ser \( d=d_0 \), luego \( ab=cd \).

Como consecuencia tenemos lo siguiente:

Teorema 138  \( Ar_{oe}^{e'}(abcd)\land Col(oeu)\land u\neq o\land ab=cd\rightarrow (ab)_{ou}^{e'}=(cd)_{ou}^{e'} \)

Esto significa que, aunque el producto depende de la elección de la unidad \( e \), una relación de la forma \( ab=cd \) se sigue cumpliendo si cambiamos la unidad \( e \) por otra \( u \) (necesariamente en la misma recta).

Aunque sea un caso ligeramente más particular, el significado de este hecho se entiende mejor si escribimos la igualdad como \( \dfrac ac=\dfrac db \) (aunque así hay que exigir que \( c\neq o\neq b \)). Lo que dice el teorema es que el hecho de que dos pares de números sean proporcionales es independiente de la elección de la unidad.

Demostración:  Llamemos \( p \) y \( q \) a los productos \( Pr_{ou}^{e'}(abp) \) y \( Pr_{ou}^{e'}(cdq) \).

El teorema anterior afirma que \( ab=up\land cd=uq \). Por lo tanto, \( ab=cd\rightarrow up=uq\rightarrow p=q \).

[Carlos Ivorra]

Vamos a definir una relación de orden en cada recta compatible con su estructura de cuerpo. Empezamos probando un resultado elemental:

Teorema 139 Sean \( R \) y \( R' \) dos rectas y consideremos puntos tales que \( e\in R\setminus R' \), \( e'\in R'\setminus R \), \( a_1, a_2, a_3\in R \), \( b_1,b_2,b_3\in R' \), \( Par(ee'a_1b_1) \), \( Par(ee'a_3b_3) \), \( Par(ee'a_3b_3) \). Entonces \( a_1-a_2-a_3\leftrightarrow b_1-b_2-b_3 \) y \( a_2\sim_{a_1}a_3\leftrightarrow b_2\sim_{b_1}b_3 \).

Se trata de probar que las proyecciones paralelas entre rectas conservan las relaciones "estar en lados opuestos" y "estar al mismo lado".

Demostración: Podemos suponer que los tres puntos \( a_1, a_2, a_3 \) son distintos dos a dos, pues si dos de ellos coinciden, entonces sus imágenes coinciden también, y el resultado es trivial. Llamamos \( T=\overline{a_2b_2} \) si \( a_2\neq b_2 \). En caso contrario, \( a_2=b_2 \) es el único punto común de \( R \) y \( R' \), luego \( a_1\neq b_1 \) y tomamos como \( R \) la recta paralela a \( \overline{a_1b_1} \) (y a \( \overline{a_3b_3} \)) que pasa por \( a_2=b_2 \).


Si \( a_1-a_2-a_3 \), entonces \( a_1-R-a_3 \), pero se cumple que \( a_1\sim_Tb_1 \) y \( a_3\sim_T b_3 \), porque \( T \) no puede separar puntos de una recta paralela. Por lo tanto \( b_1\sim_Tb_2 \), luego \( b_1-b_2-b_3 \).

La segunda parte es consecuencia de ésta pues, para puntos distintos, \( a_2\sim_{a_1}a_3 \) es lo mismo que \( \lnot a_1-a_2-a_3 \).

Ahora necesitamos un resultado técnico sobre la suma geométrica (que tiene una traducción algebraica clara):

Teorema 140  \( Su_{oe}^{e'}(abc)\land a\sim_ob\rightarrow o-a-c\land a\neq o\land b\neq o\land a\neq b \)

Esto significa que si sumamos dos números que están al mismo lado del cero (es decir, ambos positivos o ambos negativos), entonces la suma está en ese mismo lado y más lejos del cero que un sumando (y que el otro, por la conmutatividad).

Demostración:  Recordemos la construcción de la suma:

Se cumple \( a\sim_{a'o}b \) porque no puede ser \( a-\overline{a'o}-b \), ya que la recta \( \overline{a'o} \) corta a \( \overline{ab} \) en \( o \), que por hipótesis no está entre \( a \) y \( b \).

Por otra parte \( b\sim_{a'o}a'' \), porque una recta no separa puntos de otra paralela. Por lo tanto \( a\sim_{a'o}a'' \), y también \( a\sim_{a'a''}-o \) (de nuevo por paralelismo). Esto nos permite aplicar el teorema 75, que nos da \( o-\overline{aa'}-a'' \). Además \( c\sim_{aa'}a'' \) por paralelismo, luego \( o-\overline{aa'}-c \), que a su vez implica \( o-a-c \), así como que los tres puntos son distintos dos a dos.

Fijados un origen \( o \) y una unidad \( e\neq o \), diremos que un punto \( a \) de la recta \( \overline{oe} \) es positivo si está al mismo lado de \( o \) que \( e \), es decir:

\( Ps_{oe}a\leftrightarrow Ar_{oe}a\land a\sim_oe \).

Teorema 141 La suma y el producto de números positivos son positivos.

En efecto, si \( Su_{oe}^{e'}(abc)\land Ps_{oe}a\land Ps_{oe}b \) entonces \( e\sim_oa\land e\sim_ob \), luego \( a\sim_ob \) y por el teorema anterior \( c\sim_oa\sim_oe \), luego la suma es positiva.

Si  \( Pr_{oe}^{e'}(abc)\land Ps_{oe}a\land Ps_{oe}b \), recordamos la construcción del producto:

Como \( b\sim_oe \), el teorema 139 aplicado a la proyección por las rectas azules nos da \( b'\sim_oe' \), y aplicándolo a su vez a la proyección por las rectas rojas \( c\sim_oa \), luego \( c\sim_oe \) y el producto es positivo.

Definimos \( a<_{oe}b\leftrightarrow Ps_{oe}(b-a) \) y \( a\leq_{oe}b\leftrightarrow a<_{oe}b\lor a=b \). Escribiremos \( < \) o \( \leq \) cuando no sea necesario especificar los puntos \( o \) y \( e \).

Las propiedades siguientes son inmediatas:

• \( a\leq a \)
  
  
• \( a\leq b\land b\leq a\rightarrow a=b \)
  
  Si fuera \( a\leq b \) tendría que cumplirse \( Ps(b-a)\land Ps(a-b) \) y esto es imposible porque, en general, hemos visto que \( -x=S_ox \), luego un número y su opuesto están en lados opuestos de \( o \) y no pueden ser ambos positivos.
  
  
• \( a\leq b\land b\leq c\rightarrow a\leq c \)
  
  Si se da alguna igualdad es inmediato y en caso contrario tenemos que \( b-a \) y \( c-b \) son positivos, luego también lo es su suma \( c-a \)
  
  
• \( a\leq b\lor b\leq a \)
  
  Si \( a=b \) es obvio y, en caso contrario, se trata de que \( a-b \) o \( b-a \) es positivo, lo cual es cierto, porque uno es el simétrico del otro respecto de \( o \), y no pueden estar los dos al mismo lado de \( o \), luego uno de los dos está al mismo lado que \( e \).
  
  
• \( Ar_{oe}abc\land b\leq c\rightarrow a+b\leq a+c \)
  
  Si \( b=c \) es obvio y en caso contrario basta tener en cuenta que \( a+c-(a+b)=c-b \).
  
  
• \( a\geq o\land b\geq o\rightarrow ab\geq o \)
  
  Si uno de los factores es cero es obvio, y en caso contrario basta observar que \( a>0 \) equivale a que \( a \) sea positivo, luego se trata de que el producto de números positivos es positivo, cosa que ya hemos demostrado.

Estas propiedades son los axiomas de orden total y de compatibilidad de la relación de orden con la estructura de cuerpo, luego tenemos demostrado que las rectas cumplen los axiomas de cuerpo ordenado con las operaciones y relaciones que hemos definido. A partir de estos axiomas pueden demostrarse todas las reglas usuales de manipulación de ecuaciones e inecuaciones.

El teorema 139 implica que toda proyección paralela transforma números positivos en números positivos, y de ahí se deduce inmediatamente que los isomorfismos de cuerpos dados por el teorema 136 son de hecho isomorfismos de cuerpos ordenados, luego desde un punto de vista algebraico tenemos una única estructura independiente (salvo isomorfismo) de la elección de los puntos \( o, e \).

[Carlos Ivorra]

Fijados dos puntos \( o\neq e \), llamamos longitud de un segmento \( ab \) al único punto \( x \) que (según el teorema 32, cumple \( x\sim_o e\land ox\equiv ab \) si \( a\neq b \), o bien \( x=o \) si \( a=b \). La representaremos simplemente por \( ab \).

En otros términos, \( ab \) es el único punto \( x \) que cumple \( x\geq o\land ox\equiv ab \).

Notemos que la longitud de un segmento está definida como un punto, pero un punto de una recta sobre la que tenemos definida una estructura de cuerpo ordenado que hace que los puntos se comporten como números. A efectos prácticos no hay diferencia.

Las propiedades siguientes son inmediatas:

• \( Ar_{oe}\rightarrow o\leq ab \)
  
  
• \( Ar_{oe}\rightarrow (ab=o\leftrightarrow a=b) \)
  
  
• \( Ar_{oe}\rightarrow (ab=cd\leftrightarrow ab\equiv cd) \)

La última afirma que dos segmentos son congruentes si y sólo si tienen la misma longitud. Para probarlo llamemos \( x=ab \), \( y=ab \). Por definición \( ox\equiv ab \) (notemos que eso vale incluso si \( a=b \)) e igualmente \( oy\equiv cd \).

Si \( a=b \) entonces ambos miembros de la equivalencia que tenemos que probar son equivalentes a \( c=d \) y viceversa, luego podemos suponer que \( a\neq b\land c\neq d \).

Entonces \( ab=cd\leftrightarrow ox\equiv oy\leftrightarrow x=y \), donde en la última equivalencia usamos la unicidad del teorema 32.

En el teorema siguiente necesitaremos esta observación elemental:

\( Su_{oe}(abc)\rightarrow ob\equiv ac \).

En efecto, si \( a=o\lor b=o \) la conclusión es inmediata, así que supondremos lo contrario. Basta recordar la construcción de la suma:

Los teoremas que hemos probado sobre paralelogramos garantizan que \( ob\equiv a'a''\equiv ac \).

Teorema 142 \( Ar_{oe}\land a-b-c\rightarrow ac=ab+bc \)

Demostración:  Llamemos \( a_1=ab \), \( b_1=bc \) y \( c_1=a_1+b_1 \). Tenemos que probar que \( c_1=ac \).

Si \( a=b\lor b=c \) la conclusión es trivial, luego suponemos lo contrario. Entonces, por definición de longitud, tenemos que\( a_1\sim_oe\sim_ob_1 \), luego el teorema 140 nos da \( o-a_1-c_1 \). Por definición de longitud \( oa_1\equiv ab \), y la observación precedente al teorema nos da \( a_1c_1\equiv ob_1\equiv bc \)

Ahora usamos el teorema 2:

\( a-b-c\land o-a_1-c_1\land ab\equiv oa_1\land bc\equiv a_1c_1\rightarrow ac\equiv oc_1 \), luego \( c_1\equiv ac \) por la definición de longitud.

Observemos que tenemos dos definiciones distintas de \( ab\leq cd \), por una parte podemos referirnos a la desigualdad de segmentos definida en #10 (y que de momento representaremos por \( ab\leq_scd \)) o bien a la relación de orden entre las longitudes de los segmentos (que representaremos por \( ab\leq_l cd \)). El teorema siguiente demuestra que ambas afirmaciones son equivalentes, por lo que no es necesario distinguirlas:

Teorema 143  \( Ar_{oe}\rightarrow (ab\leq_lcd\leftrightarrow ab\leq_scd) \)

Demostración:  Si \( ab\leq_scd \), por definición existe un punto \( y \) tal que \( c-y-d\land ab\equiv cy \). Entonces \( ab=cy\leq_l cy+yd=cd \), por el teorema anterior.

Es claro entonces que \( ab<_scd\rightarrow ab<_lcd \), luego \( cd\leq_lab\rightarrow cd\leq_sab \), que es la implicación contraria (aunque con otras letras).

Ahora ya podemos demostrar los resultados básicos de la geometría métrica:

Teorema de Tales  \( Ar_{oe}\land Col(pab)\land Col(pcd)\land\lnot Col(pac)\land Par(acbd) \) \( \rightarrow pa\cdot pd = pc\cdot pb \)

Demostración: Si \( b=p \) entonces \( d=p \) por definición de Par, y la conclusión es trivial. Suponemos, pues, que \( b\neq p \), y entonces \( \lnot Col(pbd) \), porque \( b\in \overline{pa} \), \( d\in \overline{pc} \) y son rectas distintas que se cortan en \( p \).

Llamaremos \( a_1=pa \), \( b_1=pb \), \( c_1=pc \), \( d_1=pd \).

Por el teorema 81 existe un punto \( c'_1 \) tal que \( (pac)\equiv (oa_1c'_1) \). En particular \( \overline{oc_1}\equiv \overline{oc'_1} \), luego si tomamos el punto medio \( m=Mc_1c'_1 \), se cumple que \( \overline{om}\perp \overline{c_1c'_1} \), por definición de ángulo recto y de perpendicularidad. Sea \( d'_1=S_{om}d_1 \), de modo que \( \overline{om}\perp\overline{d_1d'_1} \), luego \( Par(c_1c'_1d_1d'_1) \), porque dos rectas con una perpendicular común son paralelas. Como \( S_{om} \) transforma un segmento en otro congruente, tenemos que \( od'_1\equiv od_1\equiv pd \).

Por lo tanto, los triángulos \( dpb \) y \( d'_1ob_1 \) tienen dos lados y un ángulo congruentes, luego por el teorema de congruencia LAL son congruentes. En particular

\( \widehat{d'_1b_1o}\equiv \widehat{dbp}\equiv \widehat{cap}\equiv \widehat{c'_1a_1o} \), donde la penúltima congruencia se cumple por  el teorema 116, que dice que dos paralelas cortan a una misma recta con ángulos iguales. Por la dirección opuesta de este mismo teorema concluimos que \( Par(a_1c'_1b_1d'_1) \). Con esto tenemos que se cumple la definición de \( Pr_{oc_1}^{c'_1}(a_1d_1b_1) \) y el teorema 137 implica entonces \( a_1d_1=c_1b_1 \), como había que probar.

Teorema de Euclides  \( Ar_{oe}\land Racb\land \overline{ch}\perp \overline{ab}\land Col(abh) \) \( \rightarrow ac^2=ah\cdot ab \)

Demostración tomamos \( c', h' \) tales que \( c'\sim_ah\land ac'\equiv ac \) y \( h'\sim_ac\land ah'\equiv ah \).

El criterio LAL implica que \( (ahc)\equiv (a'h'c') \). En particular \( Rah'c' \), luego \( \overline{cb}\parallel \overline{h'c'} \), pues son dos rectas con una perpendicular común. El teorema de Tales nos da que \( ac'\cdot ac=ah'\cdot ab \), luego \( ac^2=ah\cdot ab \).

Continuamos con los clásicos:

Teorema de Pitágoras  \( Ar_{oe}\land Racb\rightarrow ac^2+bc^2=ab^2 \)

Demostración:

Si \( Col(abc) \) las propiedades de los ángulos rectos implcian que \( a=c\lor b=c \) y la conclusión es trivial. Suponemos, pues, que \( \lnot Col(abc) \).

Sea \( h \) el punto por donde corta a \( \overline{ab} \) su perpendicular por \( c \). Por el teorema 97 sabemos que \( a-h-b \), luego \( ah+hb=ab \). Por el teorema anterior \( ac^2=ah\cdot ab \), e intercambiando los papeles de \( a \) y \( b \) tenemos también \( bc^2=bh\cdot ab \), luego \( ab^2+bc^2=ah\cdot ab+bh\cdot ab=(ah+bh)ab = ab^2 \).

El teorema de Pitágoras impone una condición algebraica sobre la estructura de cuerpo de las rectas: si \( a \) y \( b \) son positivos, es fácil construir un triángulo rectángulo con catetos de longitudes \( a \) y \( b \), por lo que se cumplirá \( a^2+b^2=c^2 \) para cierta longitud \( c \) (la longitud de la hipotenusa del triángulo). Como \( a^2=(-a^2) \), en realidad no hace falta suponer que \( a \) y \( b \) sean positivos, sino que tenemos:

Teorema 144 Para todo par de puntos \( o\neq e \), toda suma de dos cuadrados en la recta \( \overline{oe} \) es un cuadrado.

Los cuerpos en los que la suma de dos cuadrados es un cuadrado se llaman cuerpos pitagóricos, con lo que hemos demostrado que las rectas, con la suma y el producto que hemos definido, son cuerpos pitagóricos.

[Carlos Ivorra]

Presentamos aquí algunos resultados previos para la introducción de coordenadas en una subvariedad afín. Los resultados de este mensaje no dependen del axioma de las paralelas.

Dada una variedad afín \( A \) y dos puntos \( p, q\in A \), con \( p\neq q \), definimos

\( M_A(p, q)=\{x\in A\mid px\equiv xq\} \),

es decir, se trata del conjunto de los puntos que equidistan de \( p \) y \( q \). Obviamente el punto medio \( Mpq\in M_A(p,q) \) y el teorema 21 nos da que si \( x,y\in M_A(p,q) \) son puntos distintos, entonces \( \overline{xy}\subset M_A(p,q) \).

Esto basta para justificar que \( M_A(p, q) \) es una variedad afín. En efecto:

Teorema 145 Todo subconjunto no vacío \( S\subset A \) de una variedad afín \( A \) cerrado para rectas (que contiene la recta que pasa por dos cualesquiera de sus puntos) es una variedad afín.

Demostración: Tomamos \( x_0\in S \). Si \( S=\{x_0\} \), entonces es una variedad. En caso contrario tomamos \( x_1\in S\setminus \{x_0\} \). Por hipótesis la recta \( A^1(x_0,x_1)\subset S \). Si se da la igualdad ya tenemos que \( S \) es una variedad. En caso contrario tomamos \( x_1\in S\setminus A^1(x_0,x_1) \).

En general, supongamos que hemos llegado a que \( A^k(x_0,\ldots, x_k)\subset S \) pero no se da la igualdad. Entonces podemos tomar \( x_{k+1}\in S\setminus A^k(x_0,\ldots, x_k) \). Llamemos \( A_k=A^k(x_0,\ldots, x_k) \). Veamos que \( A^{k+1}(x_0,\ldots, x_{k+1})=A^{k+1}(A_k,x_{k+1})\subset S \).

Para ello tomamos un punto \( p \) tal que \( p-A_k-x_{k+1} \). Esto significa que existe un \( v\in A_k \) tal que \( p-v-k_{k+1} \) y, como \( v, x_{k+1}\in S \) y es cerrado para rectas, también \( p\in S \).

Si \( u\in A^{k+1}(A_k,x_{k+1}) \). Entonces, por definición de \( A^{k+1}(A_k, x_{k+1}) \), hay tres posibilidades:

• \( u\in A_k\subset S \)
  
  
• \( u\in SA^{k+1}(A_k, x_{k+1}) \)
  
  Esto significa que \( p-A_k-u \), luego existe un \( v\in A_k \) tal que \( p-v-u \) y como \( S \) es cerrado para rectas y \( p, v\in S \), también \( u\in S \).
  
  
• \( u\in SA^{k+1}(A_k,p) \)
  
  Entonces \( x_{k+1}-A_k-u \), y concluimos igualmente que \( u\in S \).
  

Como la sucesión de puntos \( x_0,\ldots, x_k \) es afínmente independiente y todos ellos están en \( A \), no puede prolongarse más allá de la dimensión de \( A \), luego tras un número finito de pasos llegamos a que \( S=A^k(x_0,\ldots, x_k) \) es una variedad afín.

Por lo tanto, en particular tenemos que \( M_A(p, q) \) es una variedad afín siempre que \( p, q \) son puntos distintos de una variedad \( A \).

Teorema 146 Si \( A \) es una variedad afín de dimensión \( n \) y \( p\neq q \) son puntos de \( A \), entonces \( M_A(p,q) \) es una variedad afín de dimensión \( n-1 \).

Demostración: Llamemos \( M=M_A(p,q) \). Obviamente \( M\neq A \), pues no puede contener a \( p \) ni a \( q \), luego su dimensión es menor que \( n \), Supongamos que su dimensión es \( k<n-1 \).

Entonces la dimensión de \( A^{k+1}(M,p) \) es \( k+1<n \), luego podemos tomar un punto \( x\in A\setminus A^{k+1}(M,p) \).

Sea \( m=Mpq\in M \). Como \( m,p\in A^{k+1}(M,p) \), también \( q\in A^{k+1}(M,p) \), pero \( x\notin \overline{pq} \), ya que en caso contrario \( x\in A^{k+1}(M,p) \).

Por el teorema 60 existe un punto \( r \) y un \( t\in \overline{pq} \) tal que \( \overline{rm}\perp\overline{pq}\land r-t-x \).

Por definición de perpendicularidad, \( rp\equiv rq \), luego \( r\in M \), pero \( t\in \overline{pq}\subset A^{k+1}(M,p) \) y \( Col(rtx) \), luego \( x\in A^{k+1}(M,p) \), contradicción.

Ahora ya podemos extender el concepto de perpendicularidad de rectas:

Si \( A \) es una variedad afín y \( R \) es una recta, diremos que son perpendiculares (\( A\perp R \), o \( R\perp A \)) si se cortan en un punto \( x \) y toda recta \( S\subset A \) tal que \( x\in S \) cumple \( S\perp R \).

Es claro que si \( A \) es una recta esta noción de perpendicularidad coincide con la que ya teníamos definida para rectas.

Es evidente que si \( R\perp A \) se cortan en \( x \) y \( B \) es una variedad afín tal que \( x\in B\subset A \), entonces \( R\perp B \).

Observemos que si \( p\neq q \) son dos puntos distintos de una variedad afín \( A \) y \( M=M_A(p,q) \), entonces \( \overline{pq}\perp M \), pues si \( S\subset M \) es cualquier recta que pase por \( m=M(pq) \) (que es la intersección de \( M \) con \( \overline{pq} \)), entonces si \( x\in S \) es distinto de \( m \) se cumple que \( xp\equiv xq \), por definición de \( M_B(p,q) \), luego \( Rpxq \), luego \( \overline{pq}\perp S \), luego \( \overline{pq}\perp M \).

Por lo tanto:

Teorema 147  Si \( A \) es una variedad de dimensión \( n \), \( R\subset A \) es una recta y \( x\in R \), entonces existe una única variedad \( M\subset A \) de dimensión \( n-1 \) tal que \( x\in M \) y \( R\perp M \).

Demostración:  Sea \( p\in R \) distinto de \( x \) y sea \( q=S_xp \). Así \( x=Mpq \). Basta tomar \( M=M_A(p,q) \).

La unicidad se debe a que si \( M'\subset A \) cumple lo mismo, todo \( u\in M \) distinto de \( x \) cumple que \( \overline{xu}\perp \overline{pq} \), luego \( Ruxp \), luego \( up\equiv uq \), luego \( u\in M_A(p,q) \). Así pues, \( M'\subset M_A(p,q) \), y como las dos tienen dimensión \( n-1 \) son iguales.

Teorema 148 Si \( A=A^n(x_0,\ldots, x_n) \) y \( R \) es una recta tal que \( x_0\in R \) y \( R\perp \overline{x_0x_1}\land \cdots \land R\perp \overline{x_0x_n} \) entonces \( R\perp A \).

Esto significa que para que una recta sea perpendicular a una variedad no hace falta comprobar que es perpendicular a todas las rectas que pasan por su punto de intersección, sino que basta que lo sea a las rectas que unen dicho punto con los demás puntos de un generador afínmente independiente de la variedad.

Demostración: Sea \( S\subset A \) una recta que pase por \( x_0 \), sea \( p\in R \) tal que \( p\neq x_0 \) y sea \( q=S_{x_0}p \). Llamemos \( B=A^{n+1}(A,p) \).

Por hipótesis \( R px_0x_1\land \cdots \land Rpx_0x_n \), luego \( x_iq\equiv x_iq \), luego \( x_0,\ldots, x_n\in M_B(p,q) \), luego \( A\subset M_B(p,q) \), luego \( A\perp \overline{pq} \).

Necesitamos un último resultado. Éste requiere el axioma de las paralelas:

Teorema 149 Si \( A \) es una variedad afín y \( R, S \) son rectas tales que  \( R\perp A \) y \( S\parallel R \), \( S\cap A\neq \emptyset \), entonces \( S\perp A \).

Demostración: Sea \( p \) el punto de corte de \( R \) y \( A \) y sea \( q\in S\cap A \). Podemos suponer que \( p\neq q \), pues en caso contrario \( R=S \).

Notemos también que \( S\cap A=\{q\} \), pues en caso contrario \( S\subset A \), y entonces \( R\subset Pl(T,q)\subset  A \), lo cual contradice a la perpendicularidad de \( R \).

Tenemos que probar que \( S \) es perpendicular a cualquier recta \( T\subset A \) que pase por \( q \), pero podemos suponer que \( p\notin S \), pues como \( R\perp\overline{pq} \), también \( S\perp\overline{pq} \), por el teorema 116 (una perpendicular a una recta lo es a todas sus paralelas).

Sea \( q'\in T \) un punto distinto de \( q \). Sea \( p' \) el punto donde la paralela a \( T \) por \( p \) corta a la paralela a \( \overline{pq} \) por \( q' \). Sea \( q'' \) cualquier punto de \( S \) distinto de \( q \) y sea \( p'' \) el punto en el que la paralela a \( \overline{pq} \) por \( q'' \) corta a \( R \).

El cuadrilátero \( pqq'q' \) es un paralelogramo, luego el teorema 115 c) nos da que \( pq\cong p'q'\land pp'\cong qq' \). Igualmente \( pq\equiv p''q''\land pp''\cong qq'' \).

Ahora consideramos el cuadrilátero \( p'q'q''p'' \), que tiene dos lados paralelos \( \overline{p'q'}\parallel \overline{p''q''} \) y congruentes, \( p'q'\equiv p''q'' \). Podemos aplicar 115 d), para lo cual necesitamos que \( p''-\overline{p'q''}-q' \). Esto se sigue del teorema 75. En efecto, \( p''\sim_{p'q'}q'' \) por paralelismo, y \( q'\sim_{p'p''}p' \) porque, si llamamos \( P=Pl(pp'p'') \), se cumple \( q'\sim_{p'p}q\land a\sim_{pp''}q'' \) por paralelismo, luego \( q'\sim_Pq\land a\sim_Pq'' \), luego \( q'\sim_Pq'' \), luego también \( q'\sim_{p'p''}p' \).

La conclusión del teorema 115 d) es que \( p'p''\equiv q'q'' \), luego \( (pp'p'')\equiv (qq'q'') \), luego \( Rq'qq'' \) (porque sabemos que \( Rp'pp'' \)), luego \( S\perp T \), como había que probar.

[Carlos Ivorra]

De momento trabajamos sin el axioma de las paralelas.

Diremos que unos puntos \( s, u_1,\ldots, u_n \) son un sistema de coordenadas respecto de unos puntos \( o, e \) si se cumple

\( SC_{oe}su_1\cdots u_n\leftrightarrow Ar_{oe}\land \bigwedge\limits_{i=1}^n su_i\equiv oe\land \bigwedge\limits_{i\neq j}Ru_isu_j \),

es decir, si todos segmentos \( su_i \) son unitarios y todas las rectas \( \overline{su_i} \) son perpendiculares dos a dos. El punto \( s \) es el origen del sistema de coordenadas y las rectas \( \overline{su_i} \) son sus ejes.

Notemos que si \( m\leq n \), se cumple obviamente que

\( SC_{oe}su_1\cdots u_n\rightarrow SC_{oe}su_1\cdots u_m \)

Otra consecuencia es que los puntos \( s, u_1,\ldots, u_n \) son afínmente independientes. En efecto, para \( n=0 \) es trivial, y si vale para \( n-1 \), el hecho de que \( \overline{su_n}\perp \overline{su_i} \), para todo \( i<n \), implica, por el teorema 148 que \( \overline{su_n}\perp A^{n-1}(s,u_1,\ldots, u_{n-1}) \), luego en particular \( u_n\notin  A^{n-1}(s,u_1,\ldots, u_{n-1}) \), luego \( AI(s,u_1,\ldots, u_n) \).

Existen sistemas de coordenadas:

Teorema 150 Si \( o\neq e \), \( A \) es una variedad \( n \)-dimensional y \( s\in A \), existen \( u_1,\ldots, u_n\in A \) tales que \( SC_{oe}su_1\cdots u_n \) y \( A=A^n(s,u_1,\ldots, u_n) \).

Para \( n=0 \) es trivial. Si \( n>0 \) tomamos \( u_1\in A \) tal que \( su_1\equiv oe \). Sea \( u'_1=S_su_1 \) y sea \( A_1=M_A(u_1, u'_1)\subset A \), de modo que \( A_1 \) es una variedad de dimensión \( n-1 \) y \( \overline{su_1}\perp A_1 \).

Si \( n\neq 1 \) existe un \( u_2\in A_1 \) tal que \( su_2\equiv oe \), consideramos \( u'_2=S_su_2 \) y \( A_2=M_{A_1}(u_2u'_2)\subset A_1 \), que es una variedad de dimensión \( n-2 \).

Al cabo de \( n \) pasos obtenemos puntos \( u_1,\ldots, u_n\in A \) tales que \( su_i\equiv oe \) y cada \( \overline{su_i} \) es ortogonal a las rectas \( \overline{su_j} \) con \( j<i \). Por lo tanto \( SC_{oe}(su_1\cdots u_n) \).

Como los puntos de un sistema de coordenadas son afínmente independientes, necesariamente \( A=A^n(s,u_1,\ldots, u_n) \).

Diremos que un punto \( p \) tiene coordenadas \( x_1,\ldots, x_n \) respecto de \( o,e \) y de \( s,u_1,\ldots, u_n \) si

\( Coord^{oe}_{su_1,\ldots, u_n}(p, x_1,\ldots, x_n)\leftrightarrow SC_{oe}su_1\cdots u_n\land p\in A^n(s,u_1,\ldots, u_n)\land \) \(  \exists p_1\cdots p_n\ \bigwedge\limits_{i=1}^n(Col(su_ip_i)\land (p_i=p\lor \overline{pp_i}\perp \overline{su_i})\land (oex_i)\equiv (su_ip_i))) \)

Esto significa que \( o\neq e \), que \( s, u_1,\ldots, u_n \) es un sistema de coordenadas, \( p \) está en la variedad afín que genera, cada \( p_i \) es el punto del eje \( \overline{ou_i} \) en el que corta la perpendicular que pasa por \( p \) y \( x_i \) es el único punto de la recta \( \overline{oe} \) que cumple \( (oex_i)\equiv (su_ip_i) \) (teoremas 19 y 22).

En particular \( Ar_{oe}x_1,\ldots, x_n \) (es decir, todas las coordenadas están en la recta \( \overline{oe} \)).

También es claro que cada punto \( p\in A^n(s, u_1,\ldots, u_n) \) tiene unas únicas coordenadas \( x_1,\ldots, x_n \) respecto de un sistema de coordenadas dado, pues \( p \) determina las perpendiculares a los ejes, y a su vez los puntos de corte \( p_i \), y a su vez las coordenadas \( x_i \).

Lo que no es trivial es que toda n-tupla de coordenadas determina un punto. La prueba requiere el axioma de las paralelas y previamente demostramos un teorema auxiliar:

Teorema 151  Sea \( n\geq 1 \) y consideremos un sistema de coordenadas \( SC_{oe}(su_1\cdots u_n) \), sea \( A=A^n(s, u_1,\ldots, u_n) \) y para cada \( i=1,\ldots, n \) sea \( A_i\subset A \) una variedad de dimensión \( n-1 \) tal que \( \overline{su_i}\perp A_i \). Sea \( R=\bigcap\limits_{i=1}^{n-1}A_i \) (entendiendo que \( R=A \) si \( n=1 \)). Entonces \( R \) es una recta, \( R\perp A^{n-1}(s, u_1, \ldots, u_{n-1}) \) y \( R\perp A_n \), \( R\parallel \overline{su_n} \) y \( \bigcap\limits_{i=1}^nA_i \) es un punto.

Demostración: Por inducción sobre \( n \). Si \( n=1 \) entonces \( A=A^1(s, u_1) \) y \( A_1=\{p\} \), \( R=A=\overline{su_1} \). Trivialmente \( R\perp A^0(s) \), \( R\perp A_1 \) y \( R\parallel \overline{su_1} \). Además \( A_1 \) es un punto porque tiene dimensión \( 0 \).

Consideremos \( n\geq 2 \) y supongamos el resultado cierto para \( n-1 \). Llamemos \( A'=A^{n-1}(s,u_1,\ldots, u_{n-1}) \) y sea \( A'_i=A_i\cap A' \), para \( i=1,\ldots, n-1 \).

Se cumple que \( A_i+A'=A \), porque \( \overline{su_i}\subset A' \), pero sólo uno de sus puntos está en \( A_i \), luego \( A_i+A' \) contiene estrictamente a \( A' \), luego su dimensión es mayor que \( n-1 \), luego es \( n \) y se da la igualdad.

El teorema 109 implica que la dimensión de \( A'_i \) es \( n-2 \), luego podemos aplicar la hipótesis de inducción a \( A' \) con \( s, u_1, \ldots, u_{n-1} \) y los \( A'_i \).

Concluimos que \( \bigcap\limits_{i=1}^{n-1}A'_i=\{p'\} \), para un cierto punto \( p' \).

Sea \( A_i\cap \overline{su_i}={p_i} \).

La paralela \( T_i \) a \( \overline{su_n} \) por \( p_i \)es perpendicular a \( \overline{su_i} \), porque una perpendicular a una recta lo es a todas sus paralelas, luego está en \( A_i \) (porque en la prueba del teorema 147 se ve que \( A_i \) es de la forma \( M_A(s,S_{p_i}s) \) y contiene a todas las perpendiculares a \( \overline{su_i} \)).

Por lo tanto, la paralela \( R' \) a \( \overline{su_n} \) por \( p' \) cumple \( R'\subset A_i \), porque es paralela a \( T_i \), luego \( R'\subset Pl(T_i,p')\subset A_i \).

Por lo tanto tenemos que \( R'\subset \bigcup\limits_{i=1}^{n-1}A_i=R \).

Por otra parte \( R\cap A' = \bigcup\limits_{i=1}^{n-1}A_i\cap A'=\bigcup\limits_{i=1}^{n-1}A'_i=\{p'\} \).

El teorema 109 nos da la relación

\( dim R+dim A'-dim(R\cap A')=dim(R+a') \), luego \( dim R+n-1-0\leq n \), luego \( dim R\leq 1 \), luego \( R=R' \).

Ahora es inmediato que \( R\parallel \overline{su_n} \) (porque lo cumple \( R' \) por construcción).

Como \( \overline{su_n} \) es perpendicular a \( A' \) (por el teorema 148) y a \( A_n \) (por hipótesis), el teorema 149 nos da que su paralela \( R \) cumple lo mismo.

Por último, \( \bigcup\limits_{i=1}^nA_i=R\cap A_n \) es un punto porque \( R\perp A_n \).

Teorema 152 \( Ar_{oe}x_1\cdots x_n\land SC_{oe}su_1\cdots u_n\rightarrow \) \( \exists p\in A(s,u_1,\ldots, u_n)\ Coord^{oe}_{su_1\cdots u_n}px_1\cdots x_n \)

Es decir, dados \( n \) puntos en la recta graduada \( \overline{oe} \), existe un punto \( p \) en \( A^n(s,u_1,\ldots, u_n) \) (que ya hemos visto que es único) cuyas coordenadas son \( x_1,\ldots, x_n \).

Demostración: Sea \( A=A^n(s,u_1,\ldots, u_n) \). Por los teoremas 19 y 22 existe un único \( p_i \) tal que \( (oex_i)\equiv(su_ip_i) \). Sea \( A_i\subset A \) la variedad de dimensión \( n-1 \) que cumple \( p_i\in A_i\land A_i\perp \overline{ou_i} \).

Por el teorema anterior existe un punto \( p\in \bigcap\limits_{i=1}^nA_i \). Así, \( p=p_i \) o bien \( \overline{pp_i}\perp \overline{su_i} \). Es claro entonces que \( p \) tiene por coordenadas a los puntos dados.

En definitiva, fijada una recta graduada \( \overline{oe} \) y un sistema de referencia \( s,u_1,\ldots, u_n \) en una variedad afín \( n \)-dimensional \( A \), cada punto de \( A \) se corresponde biunívocamente con una \( n \)-tupla de puntos de \( \overline{oe} \).

En particular, si suponemos los axiomas A8 y A9 para un espacio \( n \)-dimensional, es decir, los axiomas que afirman que el espacio completo es una variedad afín de dimensión \( n \), entonces lo anterior vale para todo punto del espacio.

Cuando podamos sobrentender la elección de la recta graduada y del sistema de referencia, escribiremos \( p=(x_1,\ldots, x_n) \) para indicar que \( p \) es el punto de coordenadas \( x_1,\ldots, x_n \).

[Carlos Ivorra]

Vamos a expresar en términos de coordenadas las dos relaciones no definidas de la teoría: la congruencia y la relación "estar entre". Veamos algunos resultados previos. El primero afirma simplemente que la longitud de un segmento en una recta graduada es simplemente la resta entre su extremo mayor menos su extremo menor:

Teorema 153  \( Ar_{oe} xy\land y\leq x\rightarrow xy=x-y \)

\( Ar_{oe}xy\rightarrow xy^2=(x-y)^2 \)

Demostración: Sea \( d=x-y \). Por la observación previa al teorema 142 \( od\equiv xy \). Por hipótesis \( d\geq o \), luego por definición de longitud \( d=xy \).

Para probar la segunda afirmación distinguimos dos casos: si \( y\leq x \) hemos probado que \( xy=(x-y) \), luego obviamente \( xy^2=(x-y)^2 \). Si por el contrario \( x\leq y \), la parte ya probada nos da que \( xy=yx=y-x=-(x-y) \), luego \( xy^2=(x-y)^2 \).

Teorema 154  Si \( k\geq 1 \) se cumple:

\( Ar_{oe}a_1\cdots a_k\land \bigwedge\limits_{i=1}^k\ (oea_i)\equiv (sup_i)\rightarrow (oea_1\cdots a_k)\equiv (sup_1\cdots p_k) \)

Demostración: Tenemos que probar cada segmento formado por dos puntos de entre \( o,e,a_1,\cdots, a_k \) es congruente al formado por los puntos correspondientes de entre \( s,u,p_1,\cdots, p_k \). Las únicas congruencias que no se cumplen por hipótesis son las de la forma \( a_ia_j\equiv p_ip_j \), para \( i\neq j \), pero basta aplicar el teorema 20 a la configuración  \( Conf5\left(\begin{array}{cccc}o&e&a_i&a_j\\ s&u&p_i&p_j\end{array}\right) \).

Ya podemos probar uno de los resultados principales:

Teorema 155  Fijado un sistema de referencia \( SC_{oe}su_1\cdots u_n \), si dos puntos \( p \) y \( q \) tienen coordenadas \( x_1,\ldots, x_n \) e \( y_1, \ldots, y_n \), respectivamente, entonces \( pq^2=\sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2 \).

Demostración: Lo probamos por inducción sobre \( n \). Para \( n=1 \) tenemos que \( (oex_1)\equiv (su_1p) \) y \( (oey_1)\equiv (su_1q) \). El teorema anterior nos da que \( pq\equiv x_1y_1 \), luego \( pq^2=xy^2=(x_1-y_1)^1 \).

Supongamos cierto el resultado para \( n-1 \), llamemos \( A=A^n(o, u_1,\ldots, u_n) \), sea \( A'=A^{n-1}(s,u_1,\ldots, u_{n-1}) \), sea \( p_i=p \) si \( p\in \overline{ou_i} \) o bien el punto donde la perpendicular a \( \overline{ou_i} \) por \( p \) corta a \( \overline{ou_i} \). Igualmente sea \( q_i = q \) o bien el punto donde  la perpendicular a \( \overline{ou_i} \) por \( q \) corta a \( \overline{ou_i} \).

Sea \( U_i \) la variedad de dimensión \( n-1 \) perpendicular a \( \overline{su_i} \) que pasa por \( p_i \) y \( V_i \) la variedad de dimensión \( n-1 \) perpendicular a \( \overline{su_i} \) que pasa por \( q_i \).

El teorema 151 nos da que \( R=\bigcap\limits_{i=1}^{n-1}U_i \) y \( S=\bigcap\limits_{i=1}^{n-1}V_i \) son rectas paralelas a \( \overline{su_n} \) que cortan a \( A' \) en puntos \( p' \) y \( q' \).

Como \( p'\in U_i \), para \( i\leq n-1 \), tenemos que \( p'=p_i \) o bien \( \overline{p'p_i}\perp \overline{su_i} \), por lo que las coordenadas de \( p' \) respecto de \( s, u_1,\ldots, u_{n-1} \) son \( x_1,\ldots, x_{n-1} \), e igualmente las coordenadas de \( q' \) son \( y_1,\ldots, y_{n-1} \).

Por hipótesis de inducción \( p'q'^2=\sum\limits_{i=1}^{n-1}(x_i-y_i)^2 \).

Si \( R\neq \overline{su_n} \), la perpendicular a \( R \) por \( q_n \) corta a \( R \) en un punto \( p'' \) que está en \( V_n \) (por estar en una perpendicular a \( \overline{su_n} \) por \( q_n \)), luego \( V_n\cap R\neq \emptyset \). Más aún, como \( \overline{su_n}\perp V_n \) y \( \overline{su_n}\parallel R \), el teorema 149 implica que \( R\perp V_n \). Entonces \( \overline{p_np} \) y \( \overline{q_np''} \) están en el plano que contiene a \( \overline{su_n} \) y a \( R \), luego son coplanares, y ambas son perpendiculares a \( \overline{su_n} \) (porque están en \( U_n \) y \( V_n \), respectivamente), luego son paralelas. Por lo tanto \( p, p_n, q_n, p'' \) forman un paralelogramo (tal vez degenerado, con \( p=p'' \) y entonces \( p_n=q_n \)) y en consecuencia \( pp''\equiv p_nq_n \).

En cualquier caso \( pp''\equiv p_nq_n\equiv x_ny_n \). La última congruencia se sigue del teorema anterior, ya que \( (oex_n)\equiv (su_np_n) \) y \( (oey_n)\equiv (su_nq_n) \).

Observemos ahora que \( q\in S\cap V_n \) y, como \( V_n\perp \overline{su_n} \), también \( V_n\perp S \). Si \( R=\overline{su_n} \), entonces \( p=p_n \), tomamos \( p''=q_n \) y trivialmente \( pp''\equiv p_nq_n \). Igualmente \( q'\in A'\cap S \) y, como \( A'\perp \overline{su_n} \), también \( A'\perp S \).

Si \( R\neq S \) entonces \( q, p'', p', q' \) forman un paralelogramo (tal vez degenerado, con \( p''=p' \) y \( q=q' \)), ya que \( \overline{p''q} \) y \( \overline{p'q'} \) son coplanares (están en el plano que contiene a \( R \) y a \( S \), que son paralelas) y ambas son perpendiculares a \( S \) (por estar contenidas en \( V_n \) y \( A' \) respectivamente), luego son paralelas. Por lo tanto \( p''q\equiv p'q' \). Si \( R=S \) entonces \( p''=q \) y \( p'=q' \) y tenemos igual la congruencia.

Finalmente, se cumple que \( Rpp''q \) (porque \( R\perp V_n \)), luego por el teorema de Pitágoras concluimos que

\( pq^2=p''q^2+pp''^2=p'q'^2+x_ny_n^2=\sum\limits_{i=1}^{n-1}(x_i-y_i)^2+(x_n-y_n)^2 \).

Así ya podemos caracterizar la congruencia en términos de coordenadas:

Teorema 156  Fijado un sistema de coordenadas, si cuatro puntos \( a, b, c, d \) tienen coordenadas \( a_1, \ldots, a_n \), \( b_1, \ldots, b_n \), \( c_1, \ldots, c_n \) y \( d_1, \ldots, d_n \), respectivamente, entonces

\( ab\equiv cd\leftrightarrow \sum\limits_{i=1}^n(a_i-b_i)^2=\sum\limits_{i=1}^n(c_i-d_i)^2 \).

Basta tener en cuenta que \( ab\equiv cd\leftrightarrow ab=cd \) y el teorema anterior.

Ahora caracterizamos la relación "estar entre":

Teorema 157 Fijado un sistema de coordenadas, si tres puntos \( p, q, r \) tienen coordenadas \( x_1,\ldots, x_n \), \( y_1,\ldots, y_n \) y \( z_1,\ldots, z_n \), respectivamente, entonces

\( p-q-r\leftrightarrow \exists t(Ar_{oe}t\land o\leq t\leq e\land \bigwedge\limits_{i=1}^n\ y_i-x_i=t(z_i-x_i)) \)

Demostración:

Supongamos que \( p-q-r \). El teorema 142 nos da que \( pr=pq+qr \). Como todas las longitudes son \( \geq 0 \), se cumple \( 0\leq pq\leq pr \). Si \( p\neq r \) definimos \( t=\dfrac{pq}{pr} \), de modo que \( o\leq t\leq e \). Así \( pq=t\cdot pr \), y esto vale trivialmente para \( t=e \), por ejemplo, si \( p=r \) (lo que implica \( p=q \)).

Vamos a probar que este \( t \) cumple lo requerido. Sea \( A=A^n(s,u_1,\ldots, u_n) \).

Sean \( p_i, q_i, r_i \) según la definición de coordenadas (es decir, \( p_i=p \) o bien \( p_i \) es el punto donde corta a \( \overline{su_i} \) la perpendicular por \( p \), e igualmente con los demás.

Sean \( U_i, V_i, W_i \) las variedades de dimensión \( n-1 \) perpendiculares a \( \overline{su_i} \) que pasan por \( p, q, r \), respectivamente.

Sea \( R_i \) la paralela a \( \overline{su_i} \) que pasa por \( p \). Como ya hemos razonado en otras casiones, \( R_i\perp V_i \) y \( R_i\perp W_i \). Llamamos \( q'_i \) y \( r'_i \) a los puntos de corte.

Si \( \lnot Col (prr'_i) \), podemos aplicar el teorema de Tales al triángulo \( prr'_i \). Notemos que \( \overline{qq'_i}\parallel \overline{rr'_i} \) porque ambas rectas son perpendiculares a \( R_i \). El teorema de Tales implica que \( pr\cdot pq'_i=pr'_i\cdot pq=pr'_i\cdot t\cdot pr \), luego \( pq'_i=pr'_i\cdot t \) (notemos que \( p\neq r \) por la hipótesis de no colinealidad).

Si \( Col(prr'_i) \), hay varias posibilidades, pero todas llevan a la misma conclusión. Si \( p\notin W_i \), tiene que ser \( r=r'_i \) (pues \( r \) y \( r'_i \) están ambos en \( W_i\cap R \)) y análogamente \( q=q'_i \), de donde \( pq'_i=pr'_i\cdot t \).

Si \( p\in W_i \), entonces \( p=r'_i \) (porque ambos puntos son el corte de \( R_i \) con \( W_i \)) y como \( p, r\in W_i \), también \( q\in W_i \), porque las variedades son cerradas para rectas, luego \( W_i=V_i \), luego también \( p=q'_i \), y de nuevo llegamos a que \( pq'_i=pr'_i\cdot t \).

Veamos ahora que \( (p,q'_i,r'_i)\equiv (p_i,q_i,r_i) \). En efecto, si \( p=p_i \), entonces \( R_i=\overline{su_i} \) y entonces \( p=p_i, q'_i=q_i, r'_i=r_i \), con lo que la congruencia se cumple trivialmente). Igualmente podemos suponer que los tres pares de puntos son distintos dos a dos, con lo que definen tres rectas \( \overline{pp_i} \), \( \overline{q'_iq_i} \), \( \overline{r'_ir_i} \), y son paralelas, pues están en el plano de \( R_i \) y \( \overline{su_i} \) y son perpendiculares a \( \overline{su_i} \).

Por lo tanto tenemos paralelogramos y sabemos que sus lados opuestos son congruentes, lo que no da la congruencia triple indicada.

Por definición de coordenadas, \( (oex_i)\equiv (su_ip_i) \), \( (oey_i)\equiv (su_iq_i) \), \( (oez_i)\equiv (su_ir_i) \), y el teorema 154 nos da que \( (p_i,q_i,r_i)\equiv (x_i,y_i,z_i) \). Por lo tanto

\( x_iy_i=p_iq_i=pq'_i=t\cdot pr'_i=t\cdot p_ir_i=t\cdot x_iz_i \). Por el teorema 153 llegamos a que

\( y_i-x_i=\pm t(z_i-x_i) \). Sólo falta probar que el signo correcto es el positivo. Ahora bien, por el teorema 139 podemos concluir que \( p-q-r \) implica \( p-q'_i-r'_i \), y a su vez \( (pq'_ir'_i)\equiv (x_iy_iz_i) \) implica que \( x_i-y_i-z_i \) (teorema 15).

Es claro entonces que, o bien \( x_i\leq y_i\leq z_i \), o bien \( z_i\leq y_i\leq x_i \), luego el signo de \( y_i-x_i \) es el mismo que el de \( z_i-y_i \), por lo que tiene que ser \( y_i-x_i= t(z_i-x_i) \), ya que \( t \) es positivo.

Veamos ahora la implicación opuesta. Suponemos que \( t \) cumple las condiciones del enunciado. Si \( a=t\cdot pr \), entonces oa = t\cdot pr.  Podemos tomar \( q^* \) tal que \( q^*\sim_pr \) y \( pq^*\equiv oa \), es decir, \( pq^*=t\cdot pr \).

Como \( o\leq t\leq e \), se cumple que \( pq^*\leq pr \) (como longitudes, pero también como segmentos), luego \( p-q^*-r \). En la prueba de la implicación opuesta hemos visto que el \( t \) con el que \( p, q^*, r \) cumplen el teorema es precisamente el que cumple  \( pq^*=t\cdot pr \), es decir, el que tenemos, y por lo tanto, si \( y^*_i \) son las coordenadas de \( q^* \), concluimos que \( y^*_i-x_i=t(z_i-x_i) \), luego \( y^*_i=y_i \), luego \( q=q^* \), luego \( p-q-r \).

[Carlos Ivorra]

Hemos demostrado que todo punto de una variedad de dimensión \( n \) está determinado por \( n \) coordenadas en un cuerpo pitagórico, de modo que las dos relaciones geométricas no definidas pueden expresarse en términos de la aritmética de dicho cuerpo. Ahora vamos a probar que si tomamos un cuerpo pitagórico cualquiera y definimos las relaciones geométricas según los teoremas 156 y 157 se cumplen todos los axiomas de la geometría de Tarski. Para no depender de la teoría de conjuntos partiremos de una teoría axiomática de cuerpos.

Recordemos que todos los resultados de la geometría sintética que hemos venido desarrollando se pueden enunciar y demostrar en un lenguaje \( L_S \) que, aparte de variables y signos lógicos, no tiene más signos que \( ab\equiv cd \) y \( a-b-c \). Ahora introducimos un lenguaje \( L_A \) que, aparte de las variables y los signos lógicos, tiene los signos siguientes: \( 0, 1, +, \cdot, \leq \), y consideramos la teoría CO formada por los axiomas siguientes:

• \( (x+y)+z=x+(y+z) \)
• \( x+y=y+x \)
• \( x+0=x \)
• \( \exists y\ x+y=0 \)
• \( x(yz)=(xy)z \)
• \( xy=yx \)
• \( x1=x \)
• \( x\neq 0\rightarrow \exists y\ xy=1 \)
• \( x(y+z)=xy+xz \)
  
  
• \( x\leq x \)
• \( x\leq y\land y\leq x\rightarrow x=y \)
• \( x\leq y\land y\leq z\rightarrow x\leq z \)
• \( x\leq y\lor y\leq x \)
  
  
• \( x\leq y\rightarrow x+z\leq y+z \)
• \( x\geq 0\land y\geq 0\rightarrow xy\geq 0 \)

Los primeros axiomas son los de cuerpo, los segundos los de conjunto totalmente ordenado y los terceros los de compatibilidad. Todos ellos son los axiomas de cuerpo ordenado. A partir de ellos se prueba fácilmente que  el simétrico y el inverso de un número son únicos, con lo que podemos representarlos por \( -x \) y \( x^{-1} \) o \( 1/x \), respectivamente. Más en general, a partir de los aciomas de CO se pueden demostrar todas las propiedades elementales que usamos al manipular algebraicamente los números reales, como que todo cuadrado es \( \geq 0 \), o que \( x\geq 0\leftrightarrow -x\leq 0 \), etc. Las daremos por conocidas.

La teoría CP es la que resulta de añadir a CO el axioma pitagórico que dice que toda suma de cuadrados es un cuadrado:

\( \exists z\ x^2+y^2=z^2 \)

Fijado un número natural \( n\geq 2 \), a cada fórmula \( \phi(x_1,\ldots, x_n) \) de \( L_S \) le podemos asociar una fórmula \( \phi^{A,n} \) de \( L_A \) según las reglas siguientes:

A cada variable \( x \) de \( \phi \) le asignamos \( n \) variables distintas de \( L_A \), digamos \( x_1,\ldots, x_n \), entendiendo que si \( x, y \) son dos variables distintas, entonces sus variables asociadas son distintas dos a dos.

Si \( \phi \) es \( x=y \), entonces definimos \( \phi^A \) como \( \bigwedge\limits_{i=1}^n\ x_i=y_i \)  (como veremos, esto en el fondo afirma que dos puntos son iguales si y sólo si sus coordenadas en un cierto sistema de referencia son iguales).

Si \( \phi \) es \( x-y-z \), entonces definimos \( \phi^A \) como \( \exists t(0\leq t\leq 1\land \bigwedge\limits_{i=1}^n\ y_i-x_i=t(z_i-x_i)) \)  (comparar con el teorema 157)

Si \( \phi \) es \( xy\equiv zw \), entonces definimos \( \phi^A \) como \( \sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2 = \sum\limits_{i=1}^n(z_i-w_i)^2 \) (comparar con el teorema 156).

Para las fórmulas construidas a partir de éstas, la "traducción" respeta la estructura lógica, es decir, \( (\lnot \phi)^A  \) es \( \lnot \phi^A \), \( (\forall x\phi)^A \) es \( \forall x_1\cdots x_n\ \phi^A \), etc.

Pues bien:

Teorema En CO pueden demostrarse las traducciones analíticas de los axiomas A1-A8 excepto A4, el cual es demostrable en CP.

Demostración:  La prueba de la mayoría de los axiomas es trivial. Por ejemplo, consideremos A3:

\( ab\equiv cc\rightarrow a=b \)

Su traducción es

\( \sum\limits_{i=1}^n(a_i-b_i)^2=\sum\limits_{i=1}^n(c_i-c_i)^2\rightarrow \bigwedge\limits_{i=1}^n\ a_i=b_i \).

Esto es trivial, porque lo que tenemos es que \( \sum\limits_{i=1}^n(a_i-b_i)^2=0 \), y basta usar que los cuadrados son no negativos, y que una suma de números no negativos sólo puede dar \( 0 \) si todos sus sumandos son \( 0 \), de donde cada \( (a_i-b_i)^2=0 \), lo que implica que \( a_i=b_i \). Todos estos hechos se pueden probar fácilmente, como hemos señalado, a partir de los axiomas de CO.

Los únicos axiomas cuya prueba no es trivial son A5, A7 y, a lo sumo, A8. Analicemos con detalle estos casos.

A5 es \( a\neq b\land a-b-c\land a'-b'-c'\land ab\equiv a'b'\land bc\equiv b'c'\land ad\equiv a'd'\land bd\equiv b'd' \) \( \rightarrow cd\equiv c'd' \)

Demostración

La traducción de \( a\neq b \) es que \( a_i\neq b_i \) para algún \( i \), lo que se traduce en que \( \sum\limits_{i=1}^n(a_i-b_i)^2>0 \).

La traducción de \( ab\equiv a'b' \) es \( \sum\limits_{i=1}^n(a_i-b_i)^2=\sum\limits_{i=1}^n(a'_i-b'_i)^2 \), luego el miembro derecho es también no nulo y \( c'_i\neq d'_i \) para algún \( i \).

La traducción de \( a-b-c \) es que existe un \( t \) tal que \( 0\leq t\leq 1 \) de modo que \( b_i-a_i=t(c_i-a_i) \) para todo \( i \). De hecho, como \( a_i\neq b_i \) para algún \( i \), tiene que ser \( 0<t\leq 1 \).

Similarmente tenemos que existe \( 0<t'\leq 1 \) tal que \( b'_i-a'_i=t(c'_i-a'_i) \) para todo \( i \).

La traducción de \( bc\equiv b'c' \) es \( \sum\limits_{i=1}^n(c_i-b_i)^2 = \sum\limits_{i=1}^n(c'_i-b'_i)^2 \).

Desarrollamos el primer miembro:

\( \sum\limits_{i=1}^n(c_i-b_i)^2 = \sum\limits_{i=1}^n(c_i-a_i-(b_i-a_i))^2= \sum\limits_{i=1}^n(\frac1t(b_i-a_i)-(b_i-a_i))^2 \) \( =\left(\frac1t-1\right)^2\sum\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)^2 \)

Haciendo lo mismo con el segundo miembro llegamos a que

\( =\left(\frac1t-1\right)^2\sum\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)^2=\left(\frac1{t'}-1\right)^2\sum\limits_{i=1}^n(b'_i-a'_i)^2 \),

pero sabemos que los sumatorios son iguales y no nulos, luego podemos simplificarlos:

\( \left(\frac1t-1\right)^2=\left(\frac1{t'}-1\right)^2 \).

Los términos dentro de los cuadrados son no negativos, luego podemos eliminar los cuadrados y concluimos que \( t=t' \).

También tenemos que \( \sum\limits_{i=1}^n(d_i-b_i)^2 = \sum\limits_{i=1}^n(d'_i-b'_i)^2 \). Desarrollando el primer miembro:

\( \sum\limits_{i=1}^n(d_i-b_i)^2=\sum\limits_{i=1}^n(d_i-a_i-(b_i-a_i))^2= \) \( \sum\limits_{i=1}^n(d_i-a_i)^2+\sum\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)^2+2\sum\limits_{i=1}^n(d_i-a_i)(b_i-a_i) \).

Al desarrollar igualmente el segundo miembro podemos cancelar los sumatorios de cuadrados, que sabemos que son iguales, y nos queda:

\( \sum\limits_{i=1}^n(d_i-a_i)(b_i-a_i)=\sum\limits_{i=1}^n(d'_i-a'_i)(b'_i-a'_i) \).

Tenemos que demostrar la traducción de \( cd\equiv c'd' \), ahora bien:

\( \sum\limits_{i=1}^n(d_i-c_i)^2=\sum\limits_{i=1}^n(d_i-a_i-(c_i-a_i))^2= \) \( \sum\limits_{i=1}^n(d_i-a_i-\frac1t(b_i-a_i))^2 \) \( =\sum\limits_{i=1}^n(d_i-a_i)^2 +\frac1{t^2}\sum\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)^2-\frac2t\sum\limits_{i=1}^n(d_i-a_i)(b_i-a_i) \),

y hemos demostrado que todas estas expresiones son iguales a las correspondientes con primas, luego \( \sum\limits_{i=1}^n(d_i-c_i)^2=\sum\limits_{i=1}^n(d'_i-c'_i)^2 \), como había que probar.

[cerrar]

A7 es \( a-p-b\land q-c-b\rightarrow \exists x(p-x-q\land c-x-a) \)

Demostración

La traducción de las hipótesis es que existen \( 0\leq t\leq 1 \) y \( 0\leq t'\leq 1 \) tales que \( c_i-b_i=t(q_i-b_i) \) y \( p_i-b_i=t'(a_i-b_i) \).

Debemos encontrar \( x_1,\ldots, x_n \) que cumplan

\( x_i-c_i=u(a_i-c_i) \), \( x_i-p_i=u'(q_i-p_i) \), para ciertos \( 0\leq u\leq 1 \), \( 0\leq u'\leq 1 \).

Si \( tt'=1 \), necesariamente \( t=t'=1 \), en cuyo caso \( c_i=q_i \) y \( p_i=a_i \), y basta tomar \( x_i=p_i \), \( u=1, u'=0 \).

En caso contrario \( tt'<1 \), y queremos que se cumplan las ecuaciones

\( c_i+u(a_i-c_i)=p_i+u'(q_i-p_i) \), que equivalen a

\( b_i+t(q_i-b_i)+u(a_i-b_i-t(q_i-b_i))=b_i+t'(a_i-b_i)+u'(q_i-b_i-t'(a_i-b_i)) \), o también:

\( t(q_i-b_i)+u(a_i-b_i)-ut(q_i-b_i)=t'(a_i-b_i)+u'(q_i-b_i)-u't'(a_i-b_i) \).

Para que se cumpla esto (igualando los coeficientes de \( q_i-b_i \) y los de \( a_i-b_i \)) basta con que

\( t-ut=u' \),    \( u=t'-u't' \).

Sustituimos la segunda ecuación en la primera: \( t-t'(1-u')t=u' \), de donde \( u'=\dfrac{t(1-t')}{1-tt'} \). Es claro que eligiendo así \( u' \) se cumple \( 0\leq u'\leq 1 \), y \( u=t'(1-u') \) cumple lo mismo, luego eligiendo \( x_i = c_i+u(a_i-c_i)=p_i+u'(q_i-p_i) \) se cumple lo requerido.

[cerrar]

El axioma A8, es decir, la existencia de tres puntos no colineales, se cumple sin más que definir \( a_1=1 \) y \( a_i=0 \) para \( i\neq 1 \), \( b_2=1 \) y \( b_i=0 \) para \( i\neq 2 \) y \( c_1=c_2=1 \) y \( c_i=0 \) para \( i>2 \) (estamos tomando simplemente las n-tuplas de coordenadas \( (1,0,0,\ldots) \), \( (0,1,0,\ldots) \) y \( (1,1,0,\ldots) \)).

Comprobar que no cumplen la definición de colinealidad (es decir, que ninguno de los tres puntos está entre los otros dos) no ofrece ninguna dificultad.

A4 es \( \exists x(q-a-c\land ac\equiv bc) \), y es el único axioma responsable de que los cuerpos geométricos sean pitagóricos.

Vamos a demostrar su traducción en CP.

Demostración

Hemos de definir \( x_1,\ldots, x_n \) de modo que exista \( 0\leq t\leq 1 \) de manera que \( a_i-q_i=t(x_i-q_i) \) y además \( \sum\limits_{i=1}^n(a_i-x_i)^2=\sum\limits_{i=1}^n(b_i-c_i)^2 \).

Si \( q_i=a_i \) para todo \( i \), entonces la primera parte se cumple trivialmente para cualquier elección de los \( x_i \) tomando \( t=0 \) y para la segunda tomamos \( x_i= a_i-b_i+c_i \).

Supongamos, pues, que algún \( q_i\neq a_i \), con lo que tenemos que buscar un \( t>0 \) y unos \( x_i \) de la forma \( x_i=q_i+\frac1t(a_i-q_i) \).

Para que se cumpla la segunda parte:

\( \sum\limits_{i=1}^n(b_i-c_i)^2 =\sum\limits_{i=1}^n(a_i-x_i)^2 = \sum\limits_{i=1}^n(a_i-q_i-\frac1t(a_i-q_i))^2= \) \( \left(1-\frac1t\right)^2 \sum\limits_{i=1}^n(a_i-q_i)^2 \).

El último sumatorio es no nulo porque algún \( a_i\neq q_i \), y es un cuadrado porque estamos suponiendo el axioma pitagórico. Digamos que es \( A^2 \), con \( A>0 \). El primer sumatorio es también un cuadrado, digamos \( B^2 \), con \( B\geq 0 \). Entonces, si llamamos \( C=B/A\geq 0 \), todo se reduce a elegir un \( t \) que cumpla

\( \left(\frac1t-1\right)^2=C^2 \)   y   \( 0\leq t\leq 1 \).

Obviamente sirve \( t=\frac1{1+C} \).

[cerrar]

Teorema En CO se demuestra también el axioma euclídeo A10

Demostración: Hemos definido A10 como la parte c) del teorema 113:

\( a-d-t\land c-d-b-\land a\neq d\rightarrow \exists xy(a-b-x\land a-c-y\land x-t-y) \)

Demostración

La traducción de las hipótesis es que existen \( 0\leq\lambda\leq 1 \) y \( 0\leq \mu\leq 1 \) tales que

\( d_i-c_i=\lambda(b_i-c_i) \),    \( d_i-a_i=\mu(t_i-a_i) \).

La hipótesis \( a\neq d \) se traduce en que tiene que ser \( \mu>0 \). Basta tomar

\( x_i = a_i+\frac1\mu(b_i-a_i) \),  \( y_i=a+\frac1\mu(c_i-a_i) \).

De la propia definición se sigue inmediatamente que \( b_i-a_i=\mu(x_i-a_i) \), \( c_i-a_i=\mu(y_i-a_i) \), y esto es la traducción de \( a-b-x\land a-c-y \). Sólo falta demostrar la traducción de \( x-t-y \).

Para ello basta comprobar que \( t_i-y_i=\lambda(x_i-y_i) \). En efecto, el miembro izquierdo es

\( t_i-y_i=a_i+\frac1\mu(d_i-a_i)-a_i-\frac1\mu(c_i-a_i)=\frac1\mu(d_i-c_i) \).

Y el miembro derecho:

\( \lambda(x_i-y_i)=\lambda(\frac1\mu(b_i-a_i)-\frac1\mu(c_i-a_i))=\frac\lambda\mu(b_i-c_i)=\frac1\mu(d_i-c_i) \).

[cerrar]

Teorema En CP se demuestra la traducción del axioma \( dim_n^- \), es decir, la existencia de \( n+1 \) puntos afínmente independientes.

La definición de este axioma se apoya en la definición de las variedades afines, que requiere A4. Es posible dar versiones equivalentes de \( dim_n^- \) en términos exclusivamente de los conceptos no definidos, y las traducciones e dichas versiones son demostrables en CO, de modo que la propiedad pitagórica no es esencial en este caso.

En la demostración vamos a usar un hecho fundamental: como en CP se pueden demostrar las traducciones de los axiomas A1-A8 y A10, también se pueden demostrar todas las consecuencias lógicas de estos axiomas, es decir, todo lo que hemos demostrado a partir de ellos.

Demostración

Se trata de probar la traducción de \( \exists a^0\cdots a^n\ I(a^0,\ldots, a^n) \). Esto supone definir números \( a^j_i \) que cumplan la traducción de \( I(a^0,\ldots, a^n) \), es decir, que para cada \( k< n \) se cumpla la traducción de \( a^{k+1}\notin A^k(a^0,\ldots, a^k) \).

Definimos concretamente \( a^j_i=1 \) si \( i=j \) y \( a_i^j=0 \) si \( i\neq j \). Notemos que las coordenadas \( a_i^0 \) son todas nulas.

Vamos a probar por inducción sobre \( k \) que la traducción de \( x\in A^k(a^0,\ldots a^k) \) es \( x_i=0 \) para \( i>k \), es decir, que la variedad afín \( A^k(a^0,\ldots a^k) \) está formada por los puntos cuyas últimas coordenadas (a partir de \( k+1 \)) son nulas.

En efecto, sabemos que \( x\in A^0(a^0)\leftrightarrow x=a^0 \), luego se cumple la traducción de esto, que es que \( (x\in A^0(a^0))^A \) es equivalente a que \( x_i=a^0_i=0 \) para todo i.

Supongamos cierto el resultado para \( k \), es decir, que si llamamos \( A'=A^k(a^0,\ldots, a^k) \), se cumple que \( (x\in A')^A \) si y sólo si \( x_i=0 \) para \( i>k \).

En particular, \( (a^0\in A')^A \), porque los \( a^0_i \) son todos nulos. Si definimos \( p_{k+1}=-1 \) y \( p_i=0 \) para \( i\neq k+1 \), es inmediato comprobar que se cumple \( (p-a^0-a^{k+1})^A \), luego también \( (p-A'-a^{k+1})^A \).

Ahora, \( x\in A^{k+1}(a^0,\ldots, a^{k+1})=A^{k+1}(A',a^{k+1}) \) es equivalente a que se dé uno de estos tres casos:

• \( x\in A' \)
• \( x-y-a^{k+1} \), para cierto \( y\in A' \)
• \( x-y-p \), para cierto \( y\in A' \) y cualquier \( p \) prefijado que cumpla \( p-A'-a^{k+1} \).

Por lo tanto, la traducciónd de esta equivalencia es demostrable en CP, lo que significa que \( (x\in A^{k+1}(a^0,\ldots, a^{k+1}))^A \) es equivalente a que se dé uno de los tres casos siguientes:

• \( x_i=0 \) para todo \( i>k \) (por hipótesis de inducción)
• \( y_i-a^{k+1}_i=t(x_i-a^{k+1}_i) \), para ciertos \( y_i \) tales que \( y_i=0 \) si \( i>k \) y cierto \( 0\leq t\leq 1 \)
• \( y_i-p_i=t(x_i-p_i) \), para ciertos \( y_i \) tales que \( y_i=0 \) si \( i>k \) y cierto \( 0\leq t\leq 1 \)

Hay que probar que eso equivale a que \( x_i=0 \) para \( i>k+1 \). Ciertamente, si se da cualquiera de estos tres casos, entonces \( x_i=0 \) para \( i>k+1 \), pues todas las coordenadas involucradas distintas de las \( y_i \) son \( 0 \) a partir de \( k+1 \). Hay que probar el recíproco.

Suponemos, pues, que \( x_i=0 \) para \( i>k+1 \). Si también se cumple \( x_k=0 \) entonces se da el primer caso y hemos terminado. Supongamos, pues, que \( x_k\neq 0 \). Vamos a suponer que \( x_k>0 \) y probaremos que se da el tercer caso. Análogamente se concluye el segundo caso si \( x_k<0 \).

Tenemos que definir un \( 0\leq t\leq 1 \)  de modo que si definimos \( y_i=p_i+t(x_i-p_i) \) se cumpla que \( y_i=0 \) para \( i>k \). Ciertamente, esto se cumple para todo \( i>k+1 \), cualquiera que sea \( t \), porque todas las coordenadas involucradas son nulas. Hay que elegir \( t \) para que \( -1+t(x_{k+1}+1)=0 \). Obviamente, tiene que ser \( t=\dfrac{1}{x_{k+1}+1} \) y, como \( x_{k+1}>0 \), es claro que \( 0<t< 1 \).

[cerrar]

Teorema En CP se demuestra el axioma \( dim^+_n \), es decir, que no existen \( n+2 \) puntos afínmente independientes o, lo que es lo mismo, que el espacio completo es una variedad afín de dimensión \( n \).

Demostración

En la prueba del teorema anterior hemos definido unas coordenadas \( a_i^j \) tales que\( (x\in A^n(a^0,\ldots, a^n))^A \) es equivalente a que \( x_i=0 \) para \( i>n \), pero esta condición es vacía, pues no hay índices mayores que \( n \), luego hemos demostrado que

\( \forall x_1\cdots x_n\ (x\in A^n(a^0,\ldots, a^n))^A \), que es la traducción de \( \forall x\ x\in A^n(a^0,\ldots, a^n) \), y esto implica \( \dim^+_n \), luego su traducción analítica implica la traducción analítica del axioma.

[cerrar]

En definitiva, hemos demostrado que todos los axiomas, y por lo tanto, todos los teoremas que pueden demostrarse a partir de los axiomas que hemos dado para la geometría sintética \( n \)-dimensional pueden se traducen a afirmaciones analíticas demostrables a partir de los axiomas de cuerpo ordenado pitagórico.

Observemos que, si estamos dispuestos a trabajar en la teoría de conjuntos, como es usual, y no en una axiomática ad hoc para los cuerpos pitagóricos, todos los argumentos que hemos empleado aquí se traducen trivialmente (y se simplifican) a la demostración de que si \( K \) es un cuerpo pitagórico entonces el producto cartesiano \( K^n \) cumple todos los axiomas que hemos dado para la geometría sintética \( n \)-dimensional. Más aún, es fácil caracterizar las variedades afines como las definidas usualmente en la geometría analítica sobre un cuerpo arbitrario (hemos visto un caso particular del argumento en la prueba de los axiomas de dimensión).

Pero el trabajar con una axiomática ad hoc nos proporciona un resultado adicional: ahora sabemos que si la teoría CP es consistente (que es una teoría mucho más débil que la teoría de conjuntos), entonces la geometría que hemos presentado es consistente. En efecto, si a partir de los axiomas sintéticos pudiera probarse una contradicción, se podría probar cualquier cosa, por ejemplo, \( \exists x\ x\neq x \), y entonces sabemos que en CP se podría demostrar la traducción de esta afirmación, es decir, que existen \( x_1,\ldots, x_n \) tales que \( x_i\neq x_i \) para algún \( i \), lo cual sería una contradicción en CP.

El recíproco también es cierto: si la geometría sintética es consistente, entonces CP es consistente, esencialmente porque a partir de los axiomas de la geometría sintética hemos construido un cuerpo pitagórico.

Sin embargo, con esto hemos demostrado sólo la parte fácil de la relación entre la versión sintética y la versión analítica de la geometría. En el próximo mensaje probaremos el recíproco: si la traducción de una afirmación sintética es demostrable analíticamente en CP, entonces dicha afirmación es demostrable directamente a partir de los axiomas sintéticos.

[Carlos Ivorra]

En el mensaje anterior hemos visto cómo traducir cualquier afirmación sintética \( \phi(x^1,\ldots, x^k) \) (del lenguaje \( L_S \)) a una afirmación analítica equivalente \( \phi^{A,n}(x^j_i) \) del lenguaje \( L_A \), que tiene \( n \) variables \( x^j_1,\ldots, x^j_n \) por cada variable \( x^j \) de la fórmula de partida.

Decimos "equivalente" en el sentido de que "pretenden" significar lo mismo, si bien no tiene sentido decir que son equivalentes en sentido estricto ya que cada una pertenece a un lenguaje distinto, luego no podemos demostrar que una implica la otra y viceversa. Lo que sí que hemos probado es que si podemos probar \( \phi \) a partir de los axiomas que hemos dado para la geometría sintética \( n \)-dimensional, entonces podemos demostrar \( \phi^{A,n} \) a partir de los axiomas de CP.

Ahora vamos a definir una traducción similar de cada fórmula de \( L_A \) a otra de \( L_S \), aunque la traducción es un poco más delicada porque el equivalente a los números de los que habla \( L_A \) no son todos los puntos de los que habla \( L_S \), sino únicamente los puntos de una recta prefijada en la que hemos determinado un origen y una unidad.

Por ello, si \( \phi(x^1,\ldots, x^k) \) es una fórmula de \( L_A \), definimos \( \phi^*(o,e,x^1,\ldots, x^k) \) como la fórmula de \( L_S \) que tiene además dos variables libres \( o,e \) que no aparecen en la fórmula original y que se obtiene de hacer los cambios siguientes:

• Sustituir las constantes \( 0 \) y \( 1 \) por las variables \( o \) y \( e \), respectivamente.
• Sustituir los signos no definidos \( +, \cdots, \leq \) de \( L_A \) por los signos correspondientes que hemos definido en \( L_S \) con respecto a \( o, e \).
• Sustituir cada \( \forall x\cdots  \) por \(  \forall x(Ar_{oe}x\rightarrow \cdots ) \)
• Sustituir cada \( \exists x\cdots  \) por \(  \exists x(Ar_{oe}x\land \cdots ) \)

Las dos últimas condiciones significan que la traducción de "para todo número" no debe ser "para todo punto", sino "para todo punto de la recta \( \overline{oe} \)", e igualmente con "existe".

De este modo, es claro que si en CP puede demostrarse \( \phi(x^1,\ldots, x^k) \), entonces a partir de los axiomas A1-A8 más A10 (los necesarios para demostrar que las rectas tienen estructura de cuerpo ordenado pitagórico) puede probarse

\( Ar_{oe}x^1\cdots x^k\rightarrow \phi^*(o,e,x^1,\ldots, x^k) \)

En efecto, lo que estamos diciendo es que si a partir de los axiomas de CP puede probarse que todos los números \( x^1,\ldots, x^k \) cumplen lo que dice \( \phi \), entonces a partir de los axiomas de la geometría sintética podemos demostrar que todos los puntos de una recta dada cumplen \( \phi^* \), porque podemos probar que los puntos de la recta cumplen (las traducciones de) los axiomas de CP, luego también deben cumplir las consecuencias lógicas de dichos axiomas.

Ahora necesitamos rizar un poco el rizo:

Consideremos una fórmula \( \phi(x^1,\ldots, x^k) \) de \( L_S \), formamos su traducción analítica \( \phi^{A,n}(x^j_i) \), y a su vez volvemos a \( L_S \) mediante \( \phi^{A,n*}(o,e,x^j_i) \). Vamos a probar que a partir de los axiomas A1-A10 (tomando como axiomas A8 y A9 los axiomas \( dim^-_n \) y \( dim^+_n \)) se puede demostrar:

\( SC_{oe}su_1\cdots u_n\land\bigwedge\limits_{j=1}^k Coord^{oe}_{su_1\cdots u_n}x^j x^j_1\cdots x^j_n \) \( \rightarrow (\phi(x^1,\ldots, x^k)\leftrightarrow \phi^{A,n*}(o,e,x^j_i)) \)

(supuesto que las variables \( o, e, s, u_1,\ldots, u_n \) no aparecen en la fórmula \( \phi \)).

Esto significa que si hemos fijado una recta graduada (determinada por el par de puntos \( o,e \)) y un sistema de coordenadas \( s, u_1,\ldots, u_n \), y consideramos \( k \) puntos \( x^j\in A=A^n(s,u_1,\ldots, u_n) \) y sus coordenadas \( (x^j_i) \), entonces dichos puntos cumplen \( \phi \) si y sólo si sus coordenadas cumplen la traducción \( * \) de la traducción analítica de \( \phi \).

Demostración

Por inducción sobre la longitud de la fórmula \( \phi \). La fórmula más corta posible es una de la forma \( x=y \). Entonces \( (x=y)^{A,n} \) es \( \bigwedge\limits_{i=1}^n(x_i=y_i) \) y su traducción \( * \) es ella misma, porque no tiene realmente nada que traducir. Lo que hay que probar es que

\( SC_{oe}su_1\cdots u_n\land Coord^{oe}_{su_1\cdots u_n}x x_1\cdots x_n\land Coord^{oe}_{su_1\cdots u_n}y y_1\cdots y_n \) \( \rightarrow (x=y\leftrightarrow \bigwedge\limits_{i=1}^n(x_i=y_i)) \),

y esto ya lo tenemos probado. Se trata simplemente de que dos puntos son iguales si y sólo si sus coordenadas son iguales.

Otra posibilidad es que \( \phi \) sea \( x-y-z \). Entonces su traducción analítica es

\( \exists t(0\leq t\leq 1\land \bigwedge\limits_{i=1}^n(y_i-x_i=t(z_i-x_i)) \),

y la traducción \( * \) de esta fórmula es

\( \exists t(Ar_{oe}t\land o\leq t\leq e\land \bigwedge\limits_{i=1}^n(y_i-x_i=t(z_i-x_i)) \).

Lo que hay que probar en este caso es bajo el supuesto:

\( SC_{oe}su_1\cdots u_n\land  Coord^{oe}_{su_1\cdots u_n}x x_1\cdots x_n\land Coord^{oe}_{su_1\cdots u_n}y y_1\cdots y_n\land Coord^{oe}_{su_1\cdots u_n}z z_1\cdots z_n \), que se da la equivalencia

\( x-y-z\leftrightarrow \exists t(Ar_{oe}t\land o\leq t\leq e\land \bigwedge\limits_{i=1}^n(y_i-x_i=t(z_i-x_i)) \),

pero esto es el teorema 157.

Si \( \phi \) es \( xy\equiv zw \) razonamos análogamente, y terminamos apelando al teorema 156.

Para fórmulas de tipo \( \lnot\phi \) usamos la hipótesis de inducción. Es obvio que si podemos probar (bajo las hipótesis indicadas) la equivalencia \( \phi\leftrightarrow \phi^{A,n*} \), también podemos probar la equivalencia \( \lnot\phi\leftrightarrow \lnot \phi^{A,n*} \), y la parte derecha es por definición \( (\lnot\phi)^{A,n*} \). Lo mismo se aplica a fórmulas de tipo \( \phi\rightarrow \psi \) o construidas por cualquier otro conector lógico.

Sólo falta considerar el caso de fórmulas de tipo \( \forall x\ \phi(x, x^1,\ldots x^k) \) (el caso del cuantificador existencial puede reducirse a éste y al caso del negador porque "existe" es lo mismo que "no para todo no").

La hipótesis de inducción es que podemos demostrar que, bajo la hipótesis de que

\( SC_{oe}su_1\cdots u_n\land\bigwedge\limits_{j=1}^k Coord^{oe}_{su_1\cdots u_n}x^j x^j_1\cdots x^j_n\land Coord^{oe}_{su_1\cdots u_n}x x_1\cdots x_n \),

se cumple

\( \phi(x,x^1,\ldots, x^k)\leftrightarrow \phi^{A,n*}(o,e,x_i, x^j_i) \)

Y lo que tenemos que probar es que, bajo las hipótesis

\( SC_{oe}su_1\cdots u_n\land\bigwedge\limits_{j=1}^k Coord^{oe}_{su_1\cdots u_n}x^j x^j_1\cdots x^j_n \),

se cumple

\( \forall x\phi(x,x^1,\ldots, x^k)\leftrightarrow \forall x_1\cdots x_n(Ar_{oe}x_1\cdots x_n\rightarrow \phi^{A,n*}(o,e,x_i,x^j_i) \)

La prueba es sencilla. Supongamos primero que \( \forall x\phi(x,x^1,\ldots, x^k) \) y tomemos puntos cualesquiera de la recta graduada \( Ar_{oe}x_1\cdots x_n \). Sabemos que existe un único punto \( x \) cuyas coordenadas son \( x_1,\ldots, x_n \) y por hipótesis se cumple \( \phi(x,x^1,\ldots, x^k) \). Por la equivalencia que tenemos por la hipótesis de inducción  \( \phi^{A,n*}(o,e,x_i, x^j_i) \), que es lo que había que probar.

Recíprocamente, si se cumple \(  \forall x_1\cdots x_n(Ar_{oe}x_1\cdots x_n\rightarrow \phi^{A,n*}(o,e,x_i,x^j_i) \), tomamos un punto cualquiera \( x \). Aquí es donde usamos los axiomas de dimensión que establecen que el espacio tiene dimensión \( n \), por lo que todo punto está en \( A^n(s,u_1,\ldots, u_n) \), luego \( x \) tiene unas coordenadas \( x_1,\ldots, x_n \) respecto del sistema de referencia dado. Por definición de coordenadas tenemos \( Ar_{oe}x_1,\ldots, x_n \), luego por la fórmula que estamos suponiendo tenemos que \(  \phi^{A,n*}(o,e,x_i,x^j_i) \) y por la equivalencia que tenemos por hipótesis de inducción \( \phi(x,x^1,\ldots, x^k) \), que es lo que había que probar.

[cerrar]

En particular, sin más que aplicar lo que acabamos de probar al caso de una sentencia (es decir, de una fórmula sin variables libes), tenemos demostrado lo siguiente:

Teorema Si \( \phi \) es una sentencia de \( L_S \) y \( n\geq 2 \) es un número natural, entonces a partir de los axiomas A1-A10 (con los axiomas A8 y A9 correspondientes a dimensión \( n \)) se puede demostrar \( Ar_{oe}\rightarrow (\phi\leftrightarrow \phi^{A,n*}(o,e) \).

Y a su vez:

Teorema  Una sentencia \( \phi \) de \( L_S \) puede demostrarse a partir de los axiomas A1-A10 (con los axiomas A8 y A9 correspondientes a dimensión \( n\geq 2 \)) si y sólo si su traducción analítica \( \phi^{A,n} \) puede demostrarse a partir de los axiomas de CP.

Demostración

Una implicación la hemos demostrado en el mensaje precedente. Ahora supongamos que \( \phi^{A,n} \) es demostrable en CP. Hemos visto que entonces \( Ar_{oe}\rightarrow\phi^{A,n*}(o,e) \) es demostrable a partir de los axiomas A1-A10 (de hecho, sin necesidad de los axiomas sobre dimensión), así como  \( Ar_{oe}\rightarrow (\phi\leftrightarrow \phi^{A,n*}(o,e) \).

Por lo tanto, fijando dos puntos tales que \( Ar_{oe} \) (es decir, dos puntos distintos) concluimos que se cumple \( \phi^{A,n*}(o,e) \) y también \( \phi\leftrightarrow \phi^{A,n*}(o,e) \), luego se cumple \( \phi \).

[cerrar]

En resumen, hemos demostrado que una sentencia es demostrable a partir de los axiomas que hemos dado para la geometría sintética \( n \)-dimensional si y sólo si su traducción analítica es demostrable a partir de los axiomas de cuerpo pitagórico.

Podríamos pensar que esto significa que una afirmación geométrica es demostrable sintéticamente si y sólo si es demostrable analíticamente, y en cierto sentido así es, pero hay algo de "trampa" en esta afirmación, porque el método que hemos dado para demostrar sintéticamente una afirmación probable analíticamente es construir coordenadas a partir de los axiomas de la geometría sintética y usar la demostración analítica, luego no hemos probado exactamente que toda afirmación demostrable "con coordenadas y ecuaciones" pueda demostrarse "sin coordenadas ni ecuaciones".

De todos modos, este resultado (cuya prueba se basa en todos los resultados que hemos demostrado en este hilo) es un teorema muy profundo que permite reducir muchos problemas lógicos sobre la geometría sintética (sobre su consistencia y completitud) al estudio de teorías mucho más simples, como son CP y sus extensiones.

Por ejemplo, si CP fuera completa, ahora podríamos afirmar que los axiomas A1-A10 determinan una teoría completa (pues dada una sentencia \( \psi \), será demostrable o refutable a partir de dichos axiomas según que lo sea su traducción analítica a partir de los axiomas de CP). Pero sucede que CP no es completa, aunque veremos que es posible extenderla hasta una teoría completa con más axiomas, y en correspondencia también es posible añadir axiomas a A1-A10 para obtener una geometría completa.

Hay una última relación de interés entre la geometría analítica y la geometría sintética. En primer lugar observemos que la traducción analítica de \( Col(abc) \) es

\( \exists t\ \bigwedge\limits_{i=1}^n\ b_i-a_i=t(c_i-a_i) \)

(notemos que ahora no exigimos \( 0\leq t\leq 1) \).

En efecto, si se cumple esto y \( 0\leq t\leq 1 \), entonces \( (a-b-c)^A \), luego \( Col(abc)^A \).

Si \( t\geq 1 \), entonces \( c_i-a_i=\frac1t(b_i-a_i) \), con \( 0\leq \frac1t\leq 1 \), luego \( (a-c-b)^A \), luego \( Col(abc)^A \). Si \( -1\leq t\leq0 \), entonces \( a_i-b_i=-t(a_i-c_i) \), luego \( (a-b-c)^A \), luego \( Col(abc)^A \). Por último, si \( t\leq -1 \), entonces \( a_i-c_i=-\frac1t(a_i-b_i) \), luego \( (a-c-b)^A \), luego \( Col(abc)^A \).

El recíproco se demuestra análogamente.

Con esto podemos derivar todos los resultados conocidos de la geometría analítica de las rectas.

Ahora consideremos la traducción de la fórmula \( Su^{e'}_{oe}(abc) \), que es una fórmula con variables \( o_i, e_i, e'_i, a_i, b_i, c_i \), para \( i=1,\ldots, n \).

Vamos a particularizarla al caso en que \( o_i=0 \), \( e_1=1 \) y \( e_i=0 \) para \( i>1 \), \( e'_1=0, e'_2=1 \) y \( e'_i=0 \) para \( i>2 \).

La suma está definida para sumandos \( a, b \) en la recta \( \overline{oe} \), y hemos visto que \( x\in A^1(oe) \) se cumple cuando \( x_i=0 \) para \( i>1 \), luego la traducción (fijados los valores de \( o_i, e_i, e'_i \)) sólo tiene sentido cuando todos los \( a_i, b_i, c_i \) son \( 0 \) para \( i>1 \).

Por lo tanto, en \( (Su^{e'_i}_{o_ie_i}(a_ib_ic_i) \) podemos sustituir los valores que hemos fijado de \( o_i, e_i, e'_i \) así como \( a_i=b_i=c_i=0 \) para todo \( i>1 \) y nos queda una fórmula con tres variables libres, que podemos representar por \( z=x+y \), es decir, \( z \) es la primera coordenada de la suma de los puntos de coordenadas (x,0,\ldots, 0) e \( (y, 0,\ldots, 0) \) respecto de los puntos \( o_i, e_i, e'_i \) que hemos fijado.

Del mismo modo podemos particularizar la traducción de \( Pr_{oe}^{e'}(abc) \), con lo que obtenemos una fórmula \( z=xy \), y la de \( a\leq_{oe}b \), que nos da una fórmula \( x\leq y \).

Como a partir de los axiomas geométricos se demuestra que la suma, el producto y el orden geométricos dotan a cualquier recta de estructura de cuerpo ordenado, en CP se demuestra que estas operaciones que acabamos de definir cumplen también los axiomas de CP. Ahora bien, lo que sucede es lo siguiente:

Teorema La suma, el producto y el orden geométricos definidos en CP como la traducción analítica de la suma, el producto y el orden para los puntos \( o=(0,\ldots, 0) \), \( e=(1,0,\ldots, 0) \) y \( e'=(0,1,0,\ldots, ) \) son simplemente la suma, el producto y el orden de CP.

En términos conjuntistas esto tiene una interpretación más simple: si partimos de un cuerpo pitagórico \( K \) y consideramos a \( K^n \) como modelo de la aritmética de Tarski, entonces la estructura de cuerpo ordenado definida sobre la recta de ecuación \( x_2=\cdots x_n=0 \) es la dada por

\( (x,0,\ldots, 0)+(y,0,\ldots, 0)=(x+y,0,\ldots, 0) \),    \( (x,0,\ldots, 0)(y,0,\ldots, 0)=(xy,0,\ldots, 0) \),     \( (x,0,\ldots, 0)\leq (y,0,\ldots, 0)\leftrightarrow x\leq y \).

Por consiguiente, toda recta de \( K^n \), con su estructura de cuerpo ordenado, es isomorfa a \( K \). El cuerpo que obtenemos geométricamente es el cuerpo que hemos usado para construir el espacio algebraicamente.

Demostración

Es un ejercicio de geometría analítica. Por ejemplo, para el caso de la suma, partimos de un punto de coordenadas \( x_1=x, x_2=0, \ldots, x_n=0 \) y otro de coordenadas \( y_1=y, y_2=0, \ldots, y_n=0 \) (en lo sucesivo no mencionaremos ninguna coordenada de índice \( >2 \) porque todos los puntos que vamos a considerar tendrán dichas coordenadas nulas).

Para calcular la suma, de acuerdo con la definición geométrica, consideramos la recta que pasa por \( e=(1,0) \) y \( e'=(0,1) \), que es la formada por los puntos que cumplen \( u+v=1 \), luego formamos la paralela a esta recta que pasa por \( (x,0) \), que es la de ecuación \( u+v=x \), luego buscamos el corte de esta recta con la que pasa por \( o=(0,0) \) y \( e'=(0,1) \), que es la recta de ecuación \( u=0 \) y el corte es \( (0,x) \). Luego consideramos la recta que pasa por \( (0,0) \) y \( (1,0) \), que tiene ecuación \( v=0 \) y formamos su paralela por \( (0,x) \), que es \( v=x \). Luego formamos la intersección de esta recta con la paralela a la \( u=0 \) que pasa por \( (y,0) \). Dicha paralela es \( u=y \) y la intersección es \( (x,y) \). Por último formamos la paralela a \( u+v=1 \) por este punto, que es \( u+v=x+y \) y calculamos su intersección con \( v=0 \), que es \( (x+y,0) \).

Esto prueba que \( (x,0)+(y,0)=(x+y,0) \).

Igualmente se prueba que \( (x,0)(y,0)=(xy,0) \), considerando la traducción analítica de cada paso de la definición geométrica de producto, e igualmente con la relación de orden.

[cerrar]

[Carlos Ivorra]

Vamos a llamar \( T'_n \) a la teoría axiomática que consta de los axiomas A1-A10 con los axiomas A8 y A9 en su versión n-dimensional. Hemos probado que esta teoría es equivalente a la de los cuerpos pitagóricos, en el sentido de que los teoremas de \( T'_n \) son exactamente aquellos cuya traducción analítica es demostrable en CP.

Sucede que ninguna de estas dos teorías es completa. Existen afirmaciones geométricas que pueden enunciarse en \( T'_n \), pero no pueden demostrarse ni refutarse. Las más sencillas tienen que ver con circunferencias.

Fijado un plano \( P \) y dos puntos distintos \( O, r\in P \), podemos definir la circunferencia

\( C(O,r)=\{x\in P\mid Ox\equiv Or\} \)

Equivalentemente, en lugar de dar el centro y uno de sus puntos, podemos fijar una recta graduada \( \overline{oe} \) y, para cada \( r\in \overline{oe} \), \( r>0 \), podemos definir

\( C(O,r)=\{x\in P\mid Ox=r\} \),

es decir, la circunferencia de centro \( O \) y radio \( r \) en \( P \) está formada por todos los puntos de \( P \) cuya distancia al centro es igual al radio.

Los puntos \( x\in P \) que cumplen \( ox<r \) se llaman puntos interiores de la circunferencia, y los que cumplen \( ox>r \) se llaman puntos exteriores.

Es fácil probar que una circunferencia está determinada por su centro y dos de sus puntos, o también por tres cualesquiera de sus puntos.

Sabemos que si una recta \( R \) pasa por el centro \( O \) de una circunferencia de radio \( r \) (y está contenida en su plano), entonces corta a la circunferencia exactamente en dos puntos. Esto se debe a que sólo hay dos puntos \( x, x'\in R \) que cumplan que \( Ox=Ox'=r \), por la unicidad del transporte de segmentos.

En cambio, consideremos esta afirmación:

Si una recta pasa por un punto interior de una circunferencia y está contenida en su plano, entonces la corta exactamente en dos puntos.

Esto no puede demostrarse en \( T'_n \). Ni siquiera se puede probar que la recta tenga que cortar a la circunferencia en al menos un punto.

Tenemos así un posible axioma que añadir a \( T'_n \). Sin embargo, conviene adoptar una versión equivalente que sólo involucre los conceptos básicos (no definidos) de la teoría:

Axioma de la circunferencia (AC) \( c-q-p\land c-p-r\land ca\equiv cq\land cb\equiv cr\rightarrow \exists x(cx\equiv cp\land a-x-b) \)

Para interpretar este axioma consideramos la circunferencia de centro \( c \) y radio \( cp \) contenida en el plano determinado por \( c, a, b \) (o cualquier plano que los contenga si son colineales). La hipótesis es que \( ca=cq\leq cp \), luego \( a \) es un punto interior, o bien un punto de la circunferencia. Por otro lado, \( cb=cr\geq cp \), luego \( b \) es exterior a la circunferencia o está en ella. La conclusión es que hay un punto de la circunferencia entre ambos. Si \( a \) o \( b \) está en la circunferencia, entonces basta tomar \( x=a \) o \( x=b \) y el resultado es trivial. El caso no trivial que impone este axioma es que si un punto es interior y otro exterior, hay un punto intermedio en la circunferencia.

En términos de longitudes de segmentos, podemos enunciar el axioma (eliminando sus casos triviales) de esta forma:

\( Ar_{oe}r\land ca<r<cb\rightarrow \exists x(cx=r\land a-x-b) \)

Teorema 154 Son equivalentes:

a) Si una recta pasa por un punto interior de una circunferencia y está contenida en su plano, entonces la corta exactamente en dos puntos.

b) \( Ar_{oe}r\land ca<r<cb\rightarrow \exists x(cx=r\land a-x-b) \)

Demostración:

Si se cumple a), consideremos la recta \( R=\overline{ab} \), que pasa por el punto \( a \), que es interior a la circunferencia de centro \( c \) y radio \( r \). Sean \( x, x' \) los puntos de corte y sea \( a' \) su punto medio. Así, \( x'-a'-x \).

Entonces \( a'a< a'x<a'b \). En efecto, si \( a'=c \) entonces \( a'a=ca<r=cx=a'x<cb=a'b \). Si \( a'\neq c \) entonces, como \( cx=cx'=r \), tenemos que \( \overline{ca'}\perp R \) y tenemos tres triángulos rectángulos \( Rca'a \), \( Rca'x \), \( Rca'b \), como sus hipotenusas cumplen \( ca<cx<cb \), por el teorema de Pitágoras \( a'a<a'x<a'b \).

Si \( a=a' \) basta elegir, entre \( x \) y \( x' \) el que cumpla \( x\sim_ab \), con lo que la relación \( a'a<a'x<a'b \) implica \( a-x-b \).

Si \( a\neq a' \) y \( a\sim_{a'}b \), basta elegir, entre \( x \) y \( x' \), el que cumpla \( x\sim_{a'}a\sim_{a'}b \) y la conclusión es la misma.

Si \( a-a'-b \) elegimos el punto que cumple \( x\sim_{a'}b \), de modo que \( b-x-a' \) y esto implica \( b-x-a \).

Supongamos ahora que se cumple b) y sea \( R \) una recta que pasa por un punto interior \( a \) de una circunferencia de centro \( c \) y radio \( r \). Sea \( a' \) el punto de corte entre \( R \) y su perpendicular por \( c \), si es que \( c\notin R \), o bien \( a'=c \) en caso contrario. Sea \( b\in R \) tal que \( ba'>r \) y sea \( b'=S_{a'}b \), de modo que también \( b'a'>r \). Entonces \( bc>r \) y \( b'c>r \) trivialmente si \( c=a' \) y porque \( bc \) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de cateto \( a'b \) en caso contrario.

Por b) tenemos que existen puntos \( x \) y \( x' \) tales que \( cb=cb'=r \), \( a'-x-b \) y \( a'-x'-b' \). Como \( x\neq a\neq x' \), tenemos que \( x\neq x' \) son puntos distintos en \( R \) y en la circunferencia. No puede haber un tercero, porque si \( y\in R \) está en la circunferencia, entonces \( cy=r \) y el teorema de Pitágoras determina la longitud \( a'y=a'x=a'x' \), luego \( y=x\lor y=x' \), por la unicidad del transporte de segmentos.

El teorema siguiente explica por qué el axioma de la circunferencia no es demostrable en \( T'_n \):

Teorema 155 Las afirmaciones siguientes son equivalentes:

a) El axioma de la circunferencia

b) Si \( Ar_{or}ab \) y \( o<b<a \), existe un triángulo rectángulo con un cateto de longitud \( b \) e hipotenusa de longitud \( a \).

c) \( Ar_{oe}ab\land a\geq 0\rightarrow \exists b\ a=b^2 \)

Demostración: a) \( \rightarrow \) b)  consideremos dos rectas perpendiculares \( R, S \) que se corten en un punto \( x \). En \( S \) consideremos un punto \( c \) tal que \( cx=b \) y consideremos la circunferencia contenida en el plano determinado por las dos rectas de centro \( c \) y radio \( a \). Como \( cx=b<a \), el punto \( x \) es interior, luego existe \( y\in R \) que está en la circunferencia, de modo que \( cy=a \) y es la hipotenusa del triángulo rectángulo \( Rcxy \).

b) \( \rightarrow \) c)

Obviamente b) implica esta propiedad: si \( o<c<a \), existe un \( b \) tal que \( a^2-c^2=b^2 \) (simplemente, \( b \) es la longitud del otro cateto de un triángulo rectángulo de cateto \( c \) e hipotenusa \( a \)).

Tomemos \( a\geq 0 \). Si \( a=o\lor a=e \) trivialmente \( a=a^2 \). Si \( a>e \) entonces \( o<\dfrac{a-e}{2}<\dfrac{a+e}2 \), luego existe un \( b \) tal que

\( b^2 = \left(\dfrac{a+e}2\right)^2-\left(\dfrac{a-e}2\right)^2=a \).

Si \( o<a<e \) aplicamos la parte ya probada a \( 1/a>e \), con lo que existe un \( b \) tal que \( 1/a=b^2 \), y entonce \( a=(1/b)^2 \).

c) \( \rightarrow \) a)  Sea \( R \) una recta que pase por un punto interior \( a \) de una circunferencia de centro \( c \) y radio \( r \) y que esté contenida en su plano. Si \( R \) pasa por \( c \) es inmediato que \( R \) corta a la circunferencia en dos puntos por el transporte de segmentos. En caso contrario sea \( a'\in R \) el punto por el que pasa la perpendicular a \( R \) por \( c \). Se cumple que \( ca'<ca<r \), pues \( ca' \) es el cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa \( ca \). Por c) existe un triángulo rectángulo de cateto \( ca' \) e hipotenusa \( r \), que podemos transportar para que uno de sus lados sea \( ca' \) y esté en el plano de la circunferencia. Digamos que su tercer vértice es \( x \). Claramente entonces \( x \) está en \( R \) y en la circunferencia, y el punto \( x'=S_{a'c}x \) cumple lo mismo.

Un cuerpo euclídeo es un cuerpo ordenado en el que todo elemento positivo es un cuadrado. Obviamente, todo cuerpo euclídeo es pitagórico, pero puede probarse que hay cuerpos pitagóricos que no son euclídeos. La teoría CO de los cuerpos ordenados puede extenderse hasta la teoría CE de los cuerpos euclídeos añadiendo el axioma

E) \( a>0\rightarrow \exists b\ a=b^2 \)

De este modo, el axioma de la circunferencia (AC) equivale a que las rectas sean cuerpos euclídeos. Más aún, en CP puede demostrarse que \( AC^{A,n}\leftrightarrow E \).

En efecto, sabemos que \( AC^{A,n} \) es equivalente a que las rectas sean cuerpos euclídeos, pero hemos visto que las operaciones geométricas construidas en CP son las propias operaciones de CP, luego que cumplan la propiedad euclídea equivale a que se cumpla E.

A su vez esto implica:

Teorema Una sentencia \( \phi \) del lenguaje de la geometría sintética es demostrable en \( T'_n+AC \) si y sólo si su traducción geométrica puede probarse en CE.

Demostración: \( \phi \) es demostrable en \( T'_n+AC \) si y sólo si \( AC\rightarrow \phi \) es demostrable en \( T'_n \), si y sólo si su traducción \( AC^{A,n}\rightarrow \phi^{A,n} \) es demostrable en CP, pero esto es equivalente a \( E\rightarrow \phi^{A,n} \) sea demostrable en CP, que a su vez equivale a que \( \phi^{A,n} \) sea demostrable en CE.

En otros términos: en \( T'_n \) son demostrables todas las sentencias que se cumplen en todos los espacios \( K^n \), donde \( K \) es un cuerpo pitagórico, mientras que en \( T'_n+AC \) son demostrables todas las sentencias que se cumplen en todos los espacios \( K^n \), donde \( K \) es un cuerpo euclídeo. Como el axioma de la circunferencia no se cumple en los cuerpos pitagóricos no euclídeos y existen tales cuerpos, no puede probarse a partir de los axiomas de \( T'_n \).

Puede probarse que el menor cuerpo euclídeo es el formado por los números reales algebraicos constructibles (con regla y compás), lo cual significa que en \( T'_n+AC \) pueden probarse todos los resultados geométricos que pueden justificarse mediante construcciones con regla y compás.

En cambio, no puede probarse ni refutarse que existan heptágonos regulares, o que todo ángulo se pueda trisecar, etc., pues no puede construirse un heptágono regular con regla y compás, ni tampoco trisecarse un ángulo.

En el próximo mensaje veremos cómo extender \( T'_n \) hasta una teoría completa, en la que cualquier afirmación expresable en el lenguaje \( L_S \) es demostrable o refutable.

[Carlos Ivorra]

La axiomatización de Tarski de la geometría euclídea es la teoría formada por los axiomas A1-A10 que hemos presentado hasta ahora (con una versión de los axiomas A8, A9 para cada dimensión posible \( n\geq 2 \) más el esquema axiomático siguiente (axioma de continuidad):

A11:  \( \exists a\forall xy(\alpha(x)\land \beta(y)\rightarrow a-x-y) \) \( \rightarrow \exists b\forall xy(\alpha(x)\land \beta(y)\rightarrow x-b-y) \)

Donde \( \alpha(x) \) y \( \beta(y) \) son fórmulas cualesquiera del lenguaje \( L_S \) de la geometría sintética (de modo que \( \alpha \) no contenga las variables \( a, b, y \) y \( \beta \) no contenga las variables \( a,b,x \)). Tenemos un axioma distinto para cada par de fórmulas que elijamos.

La idea es que estas fórmulas definen dos conjuntos de puntos:

\( A=\{x\mid \alpha(x)\} \)  y   \( B=\{y\mid \beta(y)\} \)

Si alguno de ellos es vacío, el axioma se cumple trivialmente. En caso contrario, es fácil concluir de las hipótesis del axioma que \( A \) y \( B \) tienen que estar contenidos en una semirrecta de extremo \( a \), de modo que todos los puntos de \( A \) están más cerca de \( a \) que cualquiera de los puntos de \( B \):

El axioma afirma entonces que existe un punto \( b \) situado entre cualquier punto de \( A \) y cualquier punto de \( B \).

La figura muestra dos conjuntos \( A \) y \( B \) bien separados, pero la gracia del axioma está en que vale aunque \( A \) y \( B \) ``se toquen".

El axioma está enunciado así para que su estructura lógica sea lo más sencilla posible, pero se prueba fácilmente que es equivalente a esta versión más elaborada:

\( Ar_{oe}ab\land \forall x(Ar_{oe}x\rightarrow \alpha(x)\lor \beta(x)\land \alpha(a)\land \beta(b) \) \( \land \forall xy(Ar_{oe}xy\land \alpha(x)\land \alpha(y)\rightarrow x\leq y) \) \( \rightarrow \exists c(Ar_{oe}c\land \forall xy(Ar_{oe}xy\land \alpha(x)\land\beta(y)\rightarrow x\leq c\leq y)) \)

Si una recta puede dividirse en dos conjuntos no vacíos \( A \) y \( B \) (definidos por fórmulas) de modo que todo punto de \( A \) es menor que todo punto de \( B \), entonces existe un punto \( c \) que es mayor o igual que todos los de \( A \) y menor o igual que todos los de \( B \).

Si enunciamos este axioma para subconjuntos arbitrarios de una recta (cosa que requeriría dejar el lenguaje formal \( L_S \) y trabajar en el contexto de la teoría de conjuntos) entonces podríamos demostrar que las rectas, con las operaciones geométricas, son cuerpos ordenados isomorfos a \( \mathbb R \), y resulta que el único modelo de la geometría n-dimensional con ese axioma de continuidad fuerte es \( \mathbb R^n \) (salvo isomorfismo).

En cambio, con la versión débil que requiere que los conjuntos sean definibles mediante fórmulas de \( L_S \) (de modo que es expresable mediante infinitas fórmulas de \( L_S \), sin necesidad de recurrir a la teoría de conjuntos), la información adicional que obtenemos de la estructura de cuerpo de las rectas es que son cuerpos realmente cerrados.

Existen muchas caracterizaciones de los cuerpos realmente cerrados. La más próxima a nuestro contexto es que un cuerpo es realmente cerrado si es euclídeo y todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz. La teoría CE puede extenderse a CRC (la teoría de los cuerpos realmente cerrados) añadiendo infinitos axiomas de la forma:

\( \exists x\ x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1 x+a_0=0 \),

(un axioma para cada número natural \( n \) impar).

Demostrar que las rectas geométricas cumplen estos infinitos axiomas a partir del axioma de continuidad A11 supone formalizar en \( L_S \) la prueba del teorema de Bolzano (no es necesario definir el concepto general de función continua, sino que se pueden tomar unos cuantos atajos). Menos trivial es probar que si las rectas son cuerpos realmente cerrados entonces se cumple el axioma de continuidad. La prueba usual requiere algo de teoría de modelos, y pasa por probar que un cuerpo ordenado es realmente cerrado si y sólo si cumple las mismas sentencias de \( L_A \) que el cuerpo ordenado \( \mathbb R \).

Usando esto, obtenemos inmediantamente la extensión del teorema de equivalencia que hemos probado en los mensajes anteriores: una sentencia \( \phi \) es demostrable en la geometría de Tarski \( n \)-dimensional si y sólo si su traducción analítica es demostrable en CRC.

Y el interés de esto es que puede demostrarse que CRC es una teoría consistente y completa, por lo que lo mismo vale para la geometría de Tarski: cualquier afirmación expresable en el lenguaje \( L_S \) es demostrable o refutable a partir de sus axiomas, y de hecho existe un algoritmo que determina cuál es el caso en un tiempo finito.

Pero eso son ya cosas que se encuentran en muchos libros de la teoría de modelos. El objeto de este hilo era proporcionar una traducción (libre) del libro de Schwabhäuser et al. que contiene desarrollada con detalle la parte geométrica del argumento, pues todas las fuentes que he visto remiten al libro en alemán.