[castrokin]

Saludos Chicos tengo un ejercicio que me ha dado muchos quebraderos de cabeza y me gustaría que me ayudaran

El ejercicio dice de la siguiente manera

Sea A la matriz la siguiente matriz

\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \)

Hallar \( A^n \) \( n\in{}\mathbb{N} \)

según he leído en algunos libros debo seguir la formula

\( A^n =A^{n-1}*A \)



\( A^2=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \)

quedando

\( A^2=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{2}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \)

si hago \( A^3 \) quedaría

\( A^3= \begin{bmatrix}{1}&{0}&{2}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \)

quedando

\( A^3=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{3}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \)

El libro me dice que debo encontrar un patrón en todas las operaciones que haga y esta es la parte en la que estoy confundido ya que no se si es correcto o no hacerlo de esta manera.

he hecho lo siguiente

\( A^n= \begin{bmatrix}{1}&{0}&{n+1}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}  \)

Me gustaría saber si estoy en lo correcto o hay una mejor forma de hacer el ejercicio.

muchas gracias

[ingmarov]

Hola

A es una matriz elemental que se obtiene a partir de la matriz identidad sustituyendo la primera fila por la suma de la primera fila más la tercera. La multiplicación de esta (A) matriz por otra (B) tendrá el mismo efecto, resultará en una matriz que surge de sustituir la primera fila de B por la suma dicha, dejando las otras dos filas iguales.

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_elemental

El resultado que pones no está bien, debe ser

\[ A^n= \begin{bmatrix}{1}&{0}&{\bf\color{red}n}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \]


Saludos

[castrokin]

Muchísimas gracias amigo

[Fernando Revilla]

Se puede también aplicar el método de inducción o bien aplicar la fórmula del binomio de Newton para matrices que conmutan, es decir:

        \( A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}=I+\underbrace{\begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}}_{N} \)

Como \( IN=NI \) se puede aplicar la fórmula del binomio de Newton, y al ser \( N^2=0 \):

        \( \displaystyle A^n=(I+N)^n=\binom{n}{0}I^n+\binom{n}{1}I^{n-1}N+\binom{n}{2}I^{n-2}0+\binom{n}{3}I^{n-3}0+\ldots=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{n}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \).