[Michel]

Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia.
El centro O de ésta se une con D, punto medio de BC.
Demostrar que los ángulos BOD y BAC son iguales.

[El Geek]

Notemos que \( $\overline{OD}$ \) está contenido en la altura de \( $\overline{AD}$ \), luego \( $\angle{ODB}=90°$ \), y como \( $\angle{DBO}=30°$ \) (pues O funciona como incentro, ortocentro y gravicentro, entonces cualquier recta que pase por ahí bisecta los ángulos del triángulo), entonces \( $\angle{BOD}=60°$ \), al igual que el ángulo BAC.

Saludos.

[Michel]

Hola El Geek.

En este problema se trata de un triángulo a secas, sin ninguna propiedad especial; por tanto no hay que partir de que sea isósceles, ni equilátero, ni rectángulo; por eso llegas a resultados falsos.

Creo que los problemas de Geometría deben ir acompañados siempre de la correspondiente figura, junto a una explicación detallada, para beneficio de los que lo leen.

Intenta hacerlo con un triángulo que no tenga nada especial, sólo ser triángulo. Si no te sale, lo dices y enviaré la solución.

Saludos.

[El Geek]

Bah, no sé donde había leido "equilátero", mis disculpas. Bueno, la demostración es casi la misma cosa, ya que como O es centro se tiene un triángulo isósceles BOC de base BC y por ende la mediana OD está contenida en la altura y en la bisectriz. Luego por ángulos en la circunferencia se puede concluir fácilmente


Saludos y disculpa lo del dibujo, pero Geogebra no me abre 

[Michel]

Los arcos BE y CE son iguales por ser E el punto medio del arco BC.

<BOD=arc BE por ser un ángulo central

<BAC=1/2(arc CB) por ser ángulo inscrito

Entonces los ángulos BOD y BAC son iguales.