Me parece que el conjunto F es incorrecto.
Yo razono así:
\( \alpha\equiv{x\in A} \)
\( \beta\equiv{x\in B} \)
\( \gamma\equiv{x\in C} \)
\( \phi\equiv{x\in F} \)
Estoy usando el signo \( \equiv{} \) para indicar "equivalencia lógica".
Es un "si, y sólo si". O como un \( \Longleftrightarrow{} \)...
Así que
\( \phi\equiv{}x\in A\textsf{\ y\ }(x\in B\Longrightarrow{x\in C})\equiv{}\alpha\textsf{\ y\ }(\beta\Longrightarrow{\gamma}) \)
Usando que \( (\beta\Longrightarrow{\gamma})\equiv \textsf{no-}\beta\textsf{\ ó\ }\gamma \), puedo escribir ahora:
\( \phi\equiv{}\alpha\textsf{\ y\ }(\textsf{no-}\beta\textsf{\ ó\ }\gamma) \)
Aplicando ley distributiva de la conjunción "y":
\( \phi\equiv{}(\alpha\textsf{\ y\ }\textsf{no-}\beta)\textsf{\ ó\ }(\alpha\textsf{\ y\ }\gamma) \)
Si reescribimos el significado de estas proposiciones en función de "x", se ve que esta última condición que es equivalente a la condición \( \phi \) que determina a los elementos de F, nos dice que:
\( F=(A-B)\cup(A\cap C) \)
Hace un rato me habías preguntado si podrías usar "operaciones algebraicas de conjuntos".
En rigor no, pero fijate que "casi" las he usado, porque las mismas propiedades algebraicas de los conjuntos valen para las operaciones lógicas.
Esto es así por la propia definición de las operaciones conjuntísticas, que se hacen en paralelo a dichas operaciones.
Se "traduce" negación por "diferencia", "disyunción" por "unión", y "conjunción" por "intersección".
Y con las operaciones lógicas se puede aplicar "leyes distributivas" y "leyes de De Morgan", aunque en su propio contexto, claro está.
Creo que esto aclara muchos pasos en las demostraciones.
Saludos
