Tengo bastante claro que los números son valores (o un sistema de valores), es decir, nociones estrictamente nuestras con que dar sentido y significado a cuanto apreciamos, imaginamos, abstraemos; por ejemplo a formas geométricas. En tal sentido que pueda imaginar dibujar algo no significa, que luego, con nuestro sistema de valores pueda sacar un valor determinado, coherente, concreto.

Aquí hay dos aspectos clave para poder ponernos de acuerdo en a qué nos referimos. Por un lado está el significado de las palabras “concreto” coherente”, y por otro la posibilidad de un mundo físico distinto del que percibimos.


Piensa en un hombre que hincha un globo en una habitación y al cabo de un tiempo “t” el globo dobla su tamaño; ¿es el mismo globo?
Dirás que sí, pero que su medida, su “número”, ya no es la misma.
Ésa es la realidad que tienes en la cabeza y, como es la que percibes, no consideras la posibilidad de que exista otra; y esto ocurre no sólo porque lo percibes, sino “porque te lo han dicho”, desde pequeño te has visto rodeado de personas que interpretan el mundo como algo estacionario y te han modelado de esa forma.
Ahora bien, supongamos que mientras ese hombre hincha el globo, él también aumenta el doble con la misma “aceleración” constante, y que, a la vez, la distancia que le separa de la pared aumenta igualmente el doble; y la que separa el techo... y así con todo. En estas circunstancias, el observador no tiene ningún origen de coordenadas ni punto de referencia para poder darse cuenta de que está pasando eso.
Así que en ese caso no sólo dirá que el globo es el mismo después de ese tiempo “t”, sino que también dirá que mide lo mismo que en el tiempo inicial.
Con este paradigma, se puede decir que el globo mide lo mismo y no mide lo mismo; y sin violar el principio del tercero excluido, porque las afirmaciones se harán o bien considerando un espacio visto desde “dentro” o bien considerando un espacio (y mundo material) expansivo visto desde fuera.
Yo tengo asumida esta posible realidad desde hace más de 22 años (porque hace 22 años que registré la idea, pero ya la tenía de unos años antes) y por eso no me cuesta pensar así.

Si el Universo, su espacio, su materia y hasta sus propias unidades “doblan” su tamaño con el tiempo como la masa de los cruasanes, entonces, aqui [0,1], caben infinitos puntos a modo de “partes materiales” constantes de esos objetos que aumentan en el tiempo; y, sean de verdad o no esas “partes materiales”, eso ayuda a tener una idea “visual” de un compacto (topológicamente hablando) mientras que el espacio estacionario sólo hace que aparezcan paradojas y cosas que no podemos comprender.
Si tú me dices que la materia no crece, que al pan, pan (con levadura o sin ella) y al vino, vino, que las cosas sólo son como se perciben, a mí me parece bien; cada uno tiene sus creencias. Pero ésa no es mi creencia, yo no creo eso.
Por tanto, desde ese punto de vista, para mí, no hay tanta dificultad en ver que los números irracionales sean “materialmente” concretos.

Saludos.

No he vuelto a intervenir por aquí porque este hilo ha vuelto a las discusiones de siempre que no me interesan demasiado, pero por alusiones:

Cita de: feriva en 09 Abril, 2024, 10:14 am

Pues ya que lo dices voy a hacerle una pregunta a Geómetracat sobre el tema, para al menos quitarme alguna duda.

Geómetracat, por favor, si pasas por aquí...

¿El modelo intuicionista ése niega la existencia de números cuyas representaciones en una base numérica tengan infinitas cifras ceros aparte? ¿Qué se puede decir así grosso modo sobre esto para aclarar un poco la cuestión?

No. Primero, tienes los racionales que se construyen igual que en matemática clásica (clases de equivalencia de enteros), y a cada racional le puedes asociar su expansión decimal.

Por otro lado, ya dije que aquí hay varias nociones distintas de números reales. En general, existen reales con expansiones decimales, pero también reales que no tienen expansión decimal. Pero desde luego sí que existen reales con expansión decimal (p.ej. los racionales).

Como primera aproximación se puede entender esto como que toda sucesión de dígitos da lugar a un real (pero no al revés), donde en este contexto sucesión de dígitos se debe entender en un sentido efectivo: tienes un algoritmo que te permite recuperar la sucesión infinita de dígitos. Por ejemplo, esto ocurre en el caso de un racional (el algoritmo de la división te da tantas cifras decimales como quieras).

¿Pero esto resultará limitado o escaso a la hora de hacer matemáticas en todas sus parcelas, no?

Muchas gracias, Geómetracat.

Dicho esto, me da la impresión que esta lógica constructivista irá creciendo y en 20 años puede ser ya importante, por sus utilidades, en bastantes ámbitos.

Pues a lo mejor sí, no lo sé, porque me llevaría demasiado tiempo estudiar eso; y no es que no me interese, que sí que me da curiosidad, es que me cuesta ver los vídeos en inglés, porque sé menos que poco, tengo que poner los subtítulos, leer despacio, buscar palabras que no entiendo y otras que tengo olvidadas (que son muchas también) en fin. Así que, al menos de momento, no puedo opinar.

Pero no veo el motivo para que le hagas tantos ascos a que un número tenga una representación de infinitas cifras. Si esto fuera evitable, como con los racionales, si yo encontrara la manera de demostrar que existe una representación finita en una base numérica natural, lo haría, porque no es que yo quiera que sea así, es que es así, es que (ya lo has visto) cuando razono y hago cuentas no le veo otra salida.

Pero claro que si pudiera lo haría; y me haría famoso en la historia de las matemáticas. Tú fíjate lo que significaría, resucitarían los pitagóricos para abrazarme, los administradores me pondrían 400 puntos de karma (o más) saldría en la tele más veces que las estrellas del fútbol... (bueno, en honor a la verdad, a estas alturas de la vida, la fama no me gustaría nada de nada; dinero sí me vendría bien, y más con los precios a los que está la compra).

Cuando calculas “pi” poco a poco, por ejemplo inscribiendo polígonos en una circunferencia y doblando sus lados a cada paso, las primeras cifras se van fijando también poco a poco, y van cambiando las de atrás, pero en la medida que vas inscribiendo polígonos de más lados, van fijándose más cantidad de ellas; de izquierda a derecha.

Lógicamente, por muy pequeño que sea un lado, al partirlo en dos nunca va a ser cero, no se puede convertir en cero del todo. Así que, la “división” (porque es una división, pero de otro tipo, una división de lados de un polígono) no acaba nunca. Si acabara, el número pi, que depende del valor de ese lado que al final es sólo un punto, sería racional. Pero eso no sería lo peor, eso querría decir que habría un último polígono, un polígono con un máximo de lados, con un lado mínimo, y la circunferencia no estaría hecha de puntos, sino de segmentos; no existiría la circunferencia. O sea, si las infinitas cifras de la representación de pi son una fantasía, la circunferencia es otra fantasía; necesariamente.

Si uno se pone a hacerlo, lo ve (yo me puse en su día, y también se lo expliqué a alguien en el foro haciendo un dibujo y un programa; lo aprendí con un libro que compré cuando estaba en la UNED. Lo hacían con un hexágono, pero yo lo hice con un cuadrado; y da igual, sale lo mismo).

Se ve que pasaría eso, el número que se va obteniendo es un valor cambiante porque depende de la medida de un lado cada vez más pequeño. El característico, único y singular “redondel”, como ente, significa también en esencia que "1/n" no tiene mínimo, o sea, que “n” no tiene máximo. A la vez, significa la simetría total, es expandir un punto, una nada, con la misma medida en todas las direcciones del plano, de forma que aparecen infinitos puntos más y todos a la misma distancia del primigenio; esto con una exactitud infinita, porque, si no, ya no es una circunferencia matemáticamente hablando.

¿Hay algo que se pueda confundir con una circunferencia? No, lo habría si la representación decimal de pi no tuviera infinitas cifras.

Así que, yo no sé cómo será eso del constructivismo, y no voy a estar en contra de nada que funcione bien matemáticamente, pero dudo de que deje de hacerme ver lo que veo; quizá el mundo entero podría llegar a decir lo contrario, pero yo soy de los que digo lo que veo yo, no de los que dicen ver lo que los demás dicen que ven (y puedo estar equivocado, porque me equivoco más que nadie, eso es aparte).

Saludos.

Creo que no es lo habitual, aunque lo tengo oxidado.

Sí, es como dices. Si diera por respuesta -64, digamos que la solución estaría ligeramente inacabada, pero no estaría mal. Es como si la respuesta a un problema fuera 16 (como solución) y un alumno escribiera 9+7, por ejemplo, sin hace la suma. Pues yo le aprobaría si fuera matemático o profesor (incluso con el despiste le aprobaría; conmigo aprobarían todos los despistados del mundo ).

Saludos.

Cita de: feriva en 07 Abril, 2024, 05:20 pm

Cita de: picuartos en 07 Abril, 2024, 04:50 pm

Entonces, sería \( -64\equiv{29}(mod 31) \) ¿no?

Muchas gracias

Sí, es equivalente (es que ni me fijé en más detalles, lo hice con Wlfram, si no me hubiera dado cuenta de que sólo era el signo; pero aprovecho para recomendarte que siembre que hagas algo de esto lo verifiques con un programa o algo).

Saludos.

Verifica sobre todo sabiendo que está mal seguro, ya que dividiendo por 31 no te puede dar un resto mayor de 30.

Sí, pero le podrían dar por buena una equivalencia cualquiera del resto, como \( 31+29=60 \), como también -64 es equivalente a 29 módulo 31 debido a que 31+31+31-64=29.

Saludos.

Por tanto, tal y como lo interpreto, cabría discernir las operaciones de sus soluciones, y por tanto las operaciones de los números. En las operaciones que dan números concretos el concepto de operación y de número coinciden. Pero en las operaciones sin solución concreta ambos conceptos no coinciden. Estas operaciones, como la de Pi o 1/7 o $$\sqrt[ ]{2}$$, no darían números; considerando que una cadena de infinitas cifras no sería un número. 

Pero vuelvo sobre lo que ya dije. Esta operación 1/7 no está definida metodológicamente, como ésta, 7/5, tampoco. Yo puedo operar y obtener

\( \dfrac{7}{5}=1,1012101210121... \)

https://www.wolframalpha.com/input?i=7%2F5+to+base+3&lang=es

¿Está operación tampoco da un número?

Si se subdividen las unidades en 3, sale periódico, porque el divisor, el numerador y la subdivisión de las unidades del numerador son coprimos.

Cualquier número racional tiene infinitas cifras según subdivida la unidad, puedo elegir bases para que todos los racionales sean infinitamente largos; o viceversa, para que todos tengan una cantidad finita de cifras.

Y no hay nada esencialmente distinto, es como si partes una barra de pan en tres en vez de en diez; la unidad sigue valiendo 1, cuando unes las partes tienes 1 en ambos casos, el mismo 1, no un uno diferente.

Y en esto sí que son distintos los irracionales, porque cambiando la base no se transforman en números de una cantidad finita de cifras. Si es eso a lo que te refieres, es verdad que hay diferencia (si no la hubiera no habría irracionales).

Las operaciones... es un tema de metodología más que de teoría, porque la teoría no puede depender de la base numérica que elija una civilización u otra. Esto es independiente de Dedekind.

En tal sentido, pues, no toda operación matemática nos da un número (solución concreta y finita). Pero ante operaciones irresolubles siempre podemos tomar una solución concreta como aproximación de la operación si nos interesa; o podemos emplear la operación para relacionarse con otras operaciones sin necesidad de pretender resolverla. Por ejemplo, cuando Euler resuelve el problema de Basilea emplea la noción de Pi, no como número, sino como operación, y la manipula mediante otras operaciones hasta poner la serie que plantea el problema de Basilea en relación a la operación de Pi. Pero en ningún momento precisa saber la solución a la operación de  Pi. Si lo hubiera requerido Euler no hubiera solventado el problema de Basilea porque la operación de Pi no tiene solución. 

Euler no necesita escribir pi con cifras, obviamente, porque es imposible, pero utiliza (entre otras cosas) que \( sen(x)=0 \) de tal forma que \( sen(x)=0 \) sólo ocurre cuando “x” es un múltiplo de \( \pi \). Y \( sen(x) \) lo iguala al polinomio de Taylor. O sea, al considerar “x” múltiplos de “pi”, está igualando el polinomio a cero, de manera que esos múltiplos de “pi” serán raíces del polinomio en equis

Así que, pues eso, pi y los demás múltiplos de pi que usa son los argumentos del seno tal que hacen el seno igual a cero.

Es como si decimos que aquí, \( sen(37) \), el número 37 es el argumento; pues en ese caso son los múltiplos de pi, son números, como aquí el 37 es un número, no es una operación, no va calculando pi poco a poco ni nada de eso.

Saludos.

-Por tanto la duda está en si cadenas de infinitas cifras se pueden considerar como entidades bien definidas, con una coherencia interna, con una identidad propia y un orden claro. ¿Se pueden concebir como puntos bien definidos en un recta abstracta imaginaria?

Bueno, como los demás números, son existencias matemáticas. En cuanto uno piensa sólo un poquito en el espacio físico, la existencia de los números como “cosas que están ahí” se hace muy dudosa.

Yo puedo decir: nunca llego a la última cifra de “pi”, luego la última cifra de “pi” no existe, entonces no puede existir la penúltima, ni la antepenútlima... y al final no va a existir” pi”.

Del mismo modo puedo decir: 1, 2, 3, 4... nunca llego al último número natural. No existe el último número natural, luego no existe el antepenúltimo... y así al final no existe el 1 y, como yo soy una unidad, no existo y, como diría Descartes pero al revés, “pienso, luego no existo”.

Pero es que estoy imaginando las cosas en “fila”, tomando prestada una visión externa a la matemática pura. Con la misma visión, si la recta está hecha de ceros, entonces la recta, a partir de la idea de espacio físico, debería no ser nada, ser un punto y no una recta. Los puntos deberían tener todos el mismo valor numérico al estar éstos a distancia cero entre sí, ya que, a-b=0 implica a=b. Y al final sólo va a existir el cero (ya lo dicen en los entierros, “no somos nada” ).

Saludos.

Cita de: feriva en 07 Abril, 2024, 01:49 am

Los puntos no dan problemas por una parte, pero sí por otra. Dado que son adimensionales, la hipotenusa tiene tantos puntos como los catetos; a cada punto (x,0) del cateto base le corresponde un punto (x,y) de la hipotenusa, hay biyección, tienen los mismos puntos, pero no pueden medir lo mismo ambos segmentos; esto no importa en principio dado que los puntos todos miden cero, pero no desparece el misterio de que las longitudes sean distintas.

Este problema es porque se considera que el infinito es una entidad y como tal debe ser idéntica a sí misma (todos sus infinitos elementos se pueden poner en biyección consigo mismos). Pero si se considera que el infinito no sigue el principio de identidad, con lo cual S=1+1+1+1++... entonces S=S+1 y S=S-1 . Dicho en otras palabras, la idea de preguntarse cómo es posible que haya los mismos números reales entre 0 y 1 que entre 0 y un millón, sería desafortunada. Pero claro eso no permite tratar de forma lógica estos elementos. Es más útil darles una entidad, una identidad. Cantor supo hacerlo. Cabe reconocerselo.

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Si introducimos el tiempo, podemos pensar que los puntos se agrandan, se transforman en pequeños segmentos con el paso del tiempo y, según su posición en el espacio, esos puntos se alargan más o menos (tiene que ver con una idea mía de la que he hablado en otros hilos) pero yo no sé si eso se puede considerar en la matemática intuicionista, porque no sé cómo es.

Una unidad “universal”, “estática” y distinta de cero, va a dar guerra. Siguiendo con lo de antes, imaginemos que podemos dibujar con precisión infinita una línea de 5 cm (o de 5 unidades, la unidad que sea).

Como es un experimento mental, también podemos suponer que dicho segmento lo dibujamos en el papel a 45º sobre la horizontal, también con precisión infinita.

Ya puestos, nada nos impide dibujar los catetos con precisión infinita para que quede un triángulo perfecto. ¿Cuánto mide la hipotenusa? 5 cm. Pero si intentamos medir en una cantidad entera de centímetros los lados que acabamos de dibujar, no podemos. No podremos ya hayamos dibujado la raya de 5 centímetros o de 78u o cualquier otra cantidad entera de “us”, siendo ésta una unidad racional cualquiera tan pequeña como se quiera.

Físicamente, el problema lo causa una relación o disposición geométrica, que provoca la imposibilidad de medir todo con una misma unidad, no causa el problema el número en sí. Pero matemáticamente esos 5cm no dejan de valer raíz de 2; porque los números en matemática pura no tienen unidad de medida, no es física.

Como dice Sugata y Richard, ese valor, valor matemático, es un punto como otro cualquiera en la recta real, un punto que no mide nada y tiene una ubicación en la recta tan difícil de encontrar como la del número 1 o cualquier otro (es imposible, ya por el mero hecho de que los puntos miden cero de “ancho” y cada punto se corresponde con un real distinto).

En fin, es muy abstracto, lo de menos es que raíz de 2 tenga infinitos decimales, es más problemático no poder encontrar una unidad de medida para todo; pero es que es así, no se puede.

Saludos.

Exacto no es un problema físico, ni geométrico, sino de valores o medida. No se puede reducir todo a la unidad, a una misma razón de ser. Eso es lo que trastocó a los Pitagóricos.

Po otro lado,  ¿Qué es un número? ¿Un punto en la recta real? Eso me dice muy poco. Pero parece que me dice mucho por analogía a la burda experiencia física de tener una regla midiendo un trazo y poniéndole marcas o puntos. Sin embargo los números representan otras cosas muy distintas también:  una posición en un listado. Partes de una pizza. Grados o niveles de algo, y por tanto una jerarquía. Repeticiones. Etc.   

De hecho, cuando se dice que un número es un punto en el fondo no se queire decir que un número sea esto "·", y por tanto la recta de los reales sea algo así "·······", pero más juntos. La idea de punto es que un número sea una entidad, y como tal tenga identidad propia -una coherencia interna. La identidad de cada número vendría determinada completamente por su relación con la unidad, es decir, con el entidad "1".

Como señalas, feriva, un número irracional es una supuesta entidad que es incapaz de relacionarse de forma coherente con la unidad. Pero esto es un dilema completamente abstracto, no es físico ni geométrico. Es decir, no tengo problema, dado un radio, dibujar un círculo. Incluso de dotarlo de un valor perfecto si le atribuyo al círculo el valor de "unidad" -Los sumerios le dieron el valor de 360 al círculo-. Ahora bien, el problema surge cuando intento darle un valor al círculo a partir de un valor dado previamente al radio. Eso resulta imposible. Y a lo máximo que puedo aspirar, entonces, es mediante aproximaciones.

En fin, por el mero hecho de relacionar dos objetos ello no implica que haya una relación exacta y coherente entre ambos. Esto es lo que significan los irracionales. Pero si se quiere interpretar como que sí hay una relación exacta, coherente y precisa, pero es desconocida, simplemente porque se pueden relacionar ambos objetos, pues vale.

El infinito tiene dos caras; una como “valor” y otra como proporción. Dos “cantidades” infinitas son la misma “cantidad”, pero proporcionalmente una puede ser el doble, el triple o lo que sea, que la otra. Es decir, dependiendo de qué consideremos, podemos entender que son iguales o no.

...

El concepto de número nació, supongo, al abstraer las unidades físicas. Los antiguos medía en palmos, en pies... en distintas unidades, pero en todas ellas, una unidad era una unidad, aunque fueran cosas distintas. El concepto de unidad, de forma más primaria, quizá venga del propio “yo”; uno es uno, una persona tiene una entidad y las cosas las piensan las personas. Después, la persona observa que hay otras cosas que puede entender como unidades; las otras personas para empezar. ¿Pero se pueden contar las personas que, por ejemplo, hay en el mundo? Contarlas lleva tiempo, cuando empiezas a contar hay personas vivas que cuando las vas a contar ya no están vivas y además han nacido otras. Si nacieran y murieran de forma constante en la misma cantidad a lo largo del tiempo, se podría dar también una cifra constante, pero eso no ocurre.

El otro día leí sobre esto algo curioso. Desde 2018 o 2019, en la mayoría de los países, contando país por país (algunos muy grandes, como China) ha habido más muertes que nacimientos por término medio (esto contando por censados, dado que las inmigraciones más recientes pueden alterar los datos de forma engañosa en algunos países). Sin embargo, si tú consultas los datos en internet sobre cuánta gente hay en el mundo ahora, aparecen 2000 millones más que en 2019 (un exceso bestial que contrasta mucho con los otros datos). ¿Qué puede pasar? Pues varias cosas, quizá un cúmulo de circunstancias, como que una inteligencia artificial cuente por perfiles de internet en redes sociales (yo tengo varios, por ejemplo) o que cuente muertos como vivos debido a otras razones; o quizá también nacimientos ficticios... yo qué sé. Lo cierto es que los datos estadísticos se antojan muy raros, no parecen encajar.

Naturalmente, lo que es claro es que la cantidad de gente no es infinita, pero sí que varía sin fin (si algún día deja de existir el Universo, pues ya no variarán los seres vivos ni nada que haya en él, pero es una circunstancia física, no matemática).

Ahora, si tú cuentas la cantidad de veces (veces como unidades) que varía una cosa, ahí puedes tener, al menos teóricamente, la existencia de una “cantidad” infinita en el mundo físico. Lo que no tienes es un número natural.

El tamaño tampoco es algo a tener en cuenta en matemáticas, no hay tal cosa, un número puede crecer o decrecer infinitamente en cuanto a valor numérico sin llegar a una cota; una cosa algo parecida sólo podría ocurrir en el mundo físico (donde sí consideramos tamaños) si la materia fuera inadvertidamente expansiva; de esa forma podría haber variación sin fin de tamaño sin notarse, sin verificarse tamaños infinitos.

El propio cálculo diferencial es tan complicado precisamente porque no existe una misma unidad para medir todas las curvas, áreas, superficies... Cuando partes una curva en trozos buscando hacer de ella pequeños segmentos rectos, como no hay la misma curvatura en todos los puntos, pues no todos los segmentos pueden medir lo mismo. Si hubiera una unidad para todo, no haría falta cálculo infinitesimal, porque el tamaño no importa en sí mismo, no es problema que haya que considerar particiones muy “pequeñas”, sino el hecho de que no exista una partición concreta como patrón universal.

Si alguien quiere comprender “físicamente” cómo caben infinitos números aquí [0,1], no lo puede entender si piensa en un intervalo estacionario (como con la idea antigua del Universo) porque está pensando en un tamaño invariante. Puede comprender (pero va a dar problemas de comprensión en otro aspecto) que todos midan cero, que todos sean puntos; y así no hay problemas con que haya todos los que se quiera, porque no aumentan el “tamaño” del intervalo, de la “cajita”.

Pero a un matemático puro no le importa esa cuestión, porque piensa en abstracto, no le importa la física ni la filosofía a la hora de hacer matemáticas, sino deducir y calcular cosas. En matemáticas los números irracionales existen; bajo unas definiciones, naturalmente, tiene que existir antes el concepto de número entero, después el de racional como a/b... tienen que existir también, en definitiva, unos conceptos previos. Y con esos conceptos previos se deduce la existencia de los irracionales. Si se cuestionan los irracionales, hay que cuestionar también los racionales y muchas otros conceptos que son los que llevan a deducir esa existencia.

Saludos.

Cita de: sugata en 06 Abril, 2024, 08:44 pm

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Lo que descubre Hiparso es que no todo puede convertirse en algo medible

No voy a volver a ese tema.... Pero la diagonal de un cuadrado se puede medir, y si tiene lado 1,mide raíz de 2.

O la diagonal mide 1 si tomas, precisamente, la diagonal como unidad.

El problema es que si tomas el lado del cuadrado como unidad, entonces el sistema métrico empleado no te da un valor concreto para la diagonal.

Lo que quiere decir la irracionalidad de raíz de 2, más exactamente, es que si tomas una unidad “u” tan pequeña o tan gande como quieras, la que sea (el racional que sea) no puedes medir con ella la hipotenusa y el lado del triángulo de manera que obtengas dos mútliplos de “u”.

Es decir, no existe “u” tal que \( nu=lado \) y \( mu=hipotenusa \) con n,m enteros.

Ya que, de existir, \( mu \) sería racional por la cerradura, por ser producto de dos racionales, y no puede ser nunca igual a raíz de 2.

Saludos.

El vídeo es largo y necesita verse con atención, así que no sé todavía (no sé además i lo entenderé en caso ce verlo entero con atención).

Yo veo más “de verdad” la no numerabilidad de los reales.

Cuando entré aquí, lo veía distinto y discutí con Argentinator, pero en realidad era porque no sabía bien las definiciones, si las hubiera sabido, hubiera estado de acuerdo a la primera, porque, sin saberlo y en cuanto a una idea más física que matemática, de alguna manera ya estaba de acuerdo antes de entrar al foro.

Se me ocurre pensar así:

Sea \( r_{I1} \) un irracional y sea \( R_{I1d} \) el conjunto de los irracionales mayores o iguales que \( r_{I1} \) (por derecha) con la condición de \( |R_{I1d}|=\aleph_{0} \).

Si puedo hacer eso, entonces puedo difinir también un \( r_{I2}>r_{I1} \) y el conjunto \( R_{I2i} \) de números menores o iguales que \( r_{I2} \) (por izquierda) pero mayores que \( r_{I1} \) y tales que \( |R_{I2i}|=\aleph_{0} \).

Si ahora elijo \( R_{I1d}\cap R_{I2i}\neq\{\} \) entonces podré hacer la unión de unos conjuntos númerables (junto con los racionales que rellenan eso) y obtener con ello los números asociados a los puntos de un segmento; y sería un conjunto numerable al ser pensado como unión de conjuntos numerables. ¿Pero estarán todos? Puede parecer que sí por esa intersección no vacía, pero...

Si decimos que están todos, estamos diciendo que entre dos irracionales muy próximos (los extremos de ese intervalo) tan próximos como se quiera, caben “exactamente” \( \aleph_{0} \) irracionales (racionales aparte).

Sin embargo, eso implicaría que en ese intervalo existieran irracionales que entre medias sólo tuvieran racionales, porque el propio cardinal \( \aleph_{0} \) implica que haya “agujeros” entre todos los irracionales existentes ahí; y esos agujeros no son vacíos, son números, números que no pueden ser irracionales dado que ya están todos los \( \aleph_{0} \) irracionales considerados.

Entonces surge esa contradicción, porque el continuo no es así, entre dos irracionales, sean cuales sean, no puede haber solamente racionales.

Yo no creo en la numerabilidad de los reales como tal, en sentido matemático. Sí creo en los números de doble naturaleza, racional e irracional, pero no en sentido matemático puro, sino más bien físico; serían valores que se registrarían como constantes (siempre nos parecerían los mismos números al verificarlos) pero no lo serían realmente, debido a que nuestros instrumentos de medida y nosotros mismos cambiaríamos con el tiempo sin apreciarlo.

Así, por ejemplo, sabemos que el Universo se expande, pero lo sabemos de forma indirecta. Es decir, no apreciamos que las galaxias se vean más pequeñas con el tiempo según se alejan de la nuestra; yo llevo toda la vida mirando de vez en cuando el cielo, porque vivo en el campo, y entre otros objetos veo la galaxia de Andrómeda con los prismáticos; no la veo cambiar en cuanto a tamaño aparente, ni ningún otro objeto celeste. Sí, ya sé que se piensa que para eso tiene que pasar muchísimo tiempo más, pero yo sopeso otra idea, una teoría por medio de la cual siempre se verá del mismo tamaño (salvo que las galaxia explote o algo así).

Saludos.