Hola, castrokin; una cosa:
Tú tienes que llegar, efectivamente, a transformar la matriz asociada en la base canónica (con su correspondiente transformación para los términos independientes). Pero esto se puede hacer de distintas formas, con método (o métodos) y sin método (mirando a ver qué operaciones fila apropiadas ves por ahí; según los numeritos particulares). Guauss-Jordan es un método, entonces entiendo que no alude en sí a hacer esa transformación, sino que se refiere a la forma de llegar. Como tal método consiste en una serie de pasos ordenados, en algo rutinario. Haciéndolo así... pues quizá a veces es más pesado que viendo atajos, pero en otras ocasiones te quitas de líos, porque no te las tienes que ingeniar a ver si viene bien esta fila o la otra; es automático. Y equivocarnos en las operaciones... pues nos vamos a equivocar más o menos lo mismo.
Voy a hacértelo, a ver cómo ando de oxidado (va a ser terrible, hace décadas quizá que no lo hago, pero bueno).
Tenemos
\( \begin{bmatrix}{-2} & {1} & {1} & {1}\\
{7} & {4} & {3} & {2}\\
{2} & {7} & {6} & {3}
\end{bmatrix}
\)
y vamos a empezar a hacer ceros por la primera columna y de arriba a abajo; después por la segunda columna... y cuando acbemos con el triángulo de abajo, hacemos ceros en el triángulo superior de arriba; también ordenadamente.
.
1ª por (7/2)=\( \begin{bmatrix}{-2\cdot\dfrac{7}{2}} & {\dfrac{7}{2}} & {\dfrac{7}{2}} & {\dfrac{7}{2}}\end{bmatrix}
\)
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Con 2ª+1ª por (7/2)=\( \begin{bmatrix}{-2} & {1} & {1} & {1}\\
{0} & {\dfrac{15}{2}} & {\dfrac{13}{2}} & {\dfrac{11}{2}}\\
{2} & {7} & {6} & {3}
\end{bmatrix}
\)
.
Con 1ª+3ª =\( \begin{bmatrix}{-2} & {1} & {1} & {1}\\
{0} & {\dfrac{15}{2}} & {\dfrac{13}{2}} & {\dfrac{11}{2}}\\
{0} & {8} & {7} & {4}
\end{bmatrix}
\)
.
Multiplico la 2ª por 2 \( \begin{bmatrix}{-2} & {1} & {1} & {1}\\
{0} & {15} & {13} & {11}\\
{0} & {8} & {7} & {4}
\end{bmatrix}
\)
.
Segunda por (-8/15)\( \begin{bmatrix}{0} & {-8} & {-\dfrac{104}{15}} & {-\dfrac{88}{15}}\end{bmatrix}
\)
.
Sumada a la tercera \( \begin{bmatrix}{-2} & {1} & {1} & {1}\\
{0} & {-8} & {-\dfrac{104}{15}} & {-\dfrac{88}{15}}\\
{0} & {0} & {\dfrac{1}{15}} & {-\dfrac{28}{15}}
\end{bmatrix}
\)
.
Multiplicamos la tercera por 15 \( \begin{bmatrix}{-2} & {1} & {1} & {1}\\
{0} & {-8} & {-\dfrac{104}{15}} & {-\dfrac{88}{15}}\\
{0} & {0} & {1} & {-28}
\end{bmatrix}
\)
Ahora los ceros de arriba:
Tercera por (104/15)= \( {0},{0},{\dfrac{104}{15}},{-\dfrac{2912}{15}}
\)
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Sumamos a la segunda \( \begin{bmatrix}{-2} & {1} & {1} & {1}\\
{0} & {-8} & {0} & {-200}\\
{0} & {0} & {1} & {-28}
\end{bmatrix}
\)
.
Con la tercer por (-1) sumada a la primera tenemos \( \begin{bmatrix}{-2} & {1} & {0} & {29}\\
{0} & {-8} & {0} & {-200}\\
{0} & {0} & {1} & {-28}
\end{bmatrix}
\)
.
Y con la segunda por (1/8) sumada a la primera
.
\( \begin{bmatrix}{-2} & {0} & {0} & {4}\\
{0} & {-8} & {0} & {-200}\\
{0} & {0} & {1} & {-28}
\end{bmatrix}
\)
Dividiendo la primera por -2 la primera ecuación, etc., para tener la matriz de unos:
\( \begin{bmatrix}{1} & {0} & {0} & {-2}\\
{0} & {1} & {0} & {25}\\
{0} & {0} & {1} & {-28}
\end{bmatrix}
\)
(No estoy seguro ahora, pero creo que esta forma de hacerlo es la de Gauss -sin Jordan- que así sirve también para lo mismo)
Saludos.
