Buenos días,
Hoy me gustaría compartir con ustedes la demostración del Teorema de Pitágoras, ya que es un teorema ampliamente usado y sin embargo muchos no conocen su origen. Además, su demostración es bastante sencilla y no requiere de un cálculo muy complejo.
El famoso teorema dice que, para cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Es decir, si tenemos un triángulo rectángulo como el de la figura, entonces se cumple que \( a^{2} + b^{2} = c^{2} \).
Para demostrarlo, es necesario tener una "idea feliz". En el ámbito de las matemáticas, se le da el nombre de "idea feliz" a una táctica o enfoque ingenioso que permite demostrar un teorema o resolver un problema. Lo interesante de esta idea es que no parece estar relacionada con el contexto o los resultados previos del tema en cuestión, sino que parece surgir de manera inesperada o inusual. En este caso, nuestra idea feliz se basa en construir un cuadrado, cuyos lados son \( a+b \), como el que se ve a continuación:
Así pues, si pensamos un poco, podemos ver que el área total (o el área del cuadrado grande) es igual a la suma del área del cuadrado interior (o cuadrado pequeño) más el área de los cuatro triángulos (o lo que es lo mismo, multiplicar por cuatro el área de uno de los triángulos, ya que los cuatro triángulos son el mismo). Con esto, ya solo falta operar:
\(
Area_{total} = Area_{cuadrado\text{ }interior} + 4·Area_{triángulo} \Rightarrow
(a+b)^{2} = c^{2} + 4·\dfrac{ab}{2} \Rightarrow \\
\Rightarrow (a+b)^{2} - 4·\dfrac{ab}{2} = c^{2} + \cancel{4·\dfrac{ab}{2}} -\cancel{4·\dfrac{ab}{2}} \Rightarrow
(a+b)^{2} - 2ab = c^{2} \Rightarrow \\
\Rightarrow a^{2} + \cancel{2ab} + b^{2} - \cancel{2ab} = c^{2} \Rightarrow
\boxed{a^{2} + b^{2} = c^{2}}
\)
Y así de fácil queda demostrado el Teorema de Pitágoras.
